销售额的回归模型

销售额回归模型20098511 袁少伟- 1 -摘要公司销售额是对公司综合收益的一个重要表现，某公司希望通过公司与全行业销售额进行对比来对公司未来销售额进行预测。我们利用统计回归的方法，建立了回归模型，并利用 MATLAB 软件进行模型的求解与分析，再通过对模型进行变换，建立了优化后的回归模型。针对问题一:利用已知数据绘制散点图并建立起来线性回归模型，其拟合度是非常的好，看起来是合适的。tt xy1763.0458.1针对问题二：利用残差 作为随机误差 的估计值，从 的散点图，tet1tte能够从直观上定性的判断随机误差 存在自相关性；也可以用 检验法去t WD定量判断，对于本文中，由 ，随机误差 存在自相关性。因此，模型LdDW1t是不可取的。tt xy763.0458.1针对问题三：为了消除随机误差 存在的自相关性，我们对模型进行优化t变换后得到新的模型：，再对此模型110.280.7636379.053712.0 tttt xxyy用 检验法进行判定，由于 ，随机误差 无自相关性，WDUUdDWd42 t因此，这个模型就可以作为预测公司的销售额的问题的回归模型。关键词： 回归模型 时间序列 拟合 自相关性 检验 WD- 2 -一、 问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，附录 I 给出了 1977-1981 年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元） 。（1） 画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。（2） 建立公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用 DW 检验诊断随机误差项的自相关性。（3） 建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。年 季 t 公司销售额 y 行业销售额 x 年 季 t 公司销售额 y 行业销售额 x19771978197912341234121234567891020.9621.4021.9621.5222.3922.7623.4823.6624.1024.01127.3130.0132.7129.4135.0137.1141.2142.8145.5145.319791980198134123412341112131415161718192024.5424.3025.0025.6426.3626.9827.5227.7828.2428.78148.3146.4150.2153.1157.3160.7164.2165.6168.7171.7表 1 某公司的销售额与全行业的销售额二、模型假设：公司的第 t 次季度销售额ty：全行业的第 t 次季度销售额tx:模型 I 中的常量与系数ba,：由模型求得的公司的第 t 次季度销售额ty- 3 -：公司的第 t 次季度销售额的残差te三、模型的建立与分析1. 绘制散点图利用已知表格（表 1）绘制出散点图，绘制方法及程序见附录图 1 行业销售额与公司销售额数据的散点图根据图 1，可以看出行业销售额增大，公司销售额也增大，且具有一定的线性关系，初步判断应以一次线性曲线为拟合目标，即选择线性回归模型，则目标函数为： ttbxay2. 模型分析 利用 Matlab 程序求解 a，b。程序设计见附录。得到回归系数估计值；1763.0,458.1则拟合的线性回归模型 I 为： tt xy参数 参数估计值 置信区间01.458 , 1.9047.810763 ,0.1793=0.99879 F=1488.8 p=0.0072R拟合系数 和 的 95%的置信区间分别为：-1.9047 -1.0048和1.9047 ab0.1793r 中的数据表示模型拟合残差向量 ； rint 中的数据表示模型拟合残te- 4 -差的 95%的置信区间；在 states 的数据中表示包含方差分析的 F 统计量 方差分析的显著性10. *41.e2R 8.14概率 模型方差的估计值7p0.2四、 自相关性诊断与处理从表面上看得到的基本模型I的拟合度非常之高（），应该很满意了。但是，这个模型并没有考虑到我10. *41.e2R们的数据是一个时间序列（即将表1的年份序号打乱，不影响模型I的结果）。实际上，在对时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差项 有可能存在相t关性，违背模型关于 （对时间 ）相互独立的假设。tt残差 可以作为随机误差 的估计值，画出 的散点图tttyet1tte（图1） ，能够从直观上判断 的自相关性。模型I的残差 可以在计算中得到，tt如表2，数据 的散点图如图2，可以看到，大部分点子落在第 1,3象限，1tte表明 存在正的自相关。te为了对 的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如t下模型： tttttt ubxay 1,其中， 是自相关系数， ， 相互独立且服从均值为零的正态分布，1|tu,2,1ntt 1 2 3 4 5 6te-0.0261 -0.0620 0.0220 0.1638 0.0466 0.0464t 7 8 9 10 11 12te0.0436 -0.0584 -0.0944 -0.1491 -0.1480 -0.0531t 13 14 15 16 17 18- 5 -表 2 模型 I 的残差 te图 2 模型 I 的散点图1tte根据模型 I 得到的残差计算 统计量如下：DW7384.020121tttttete-0.0229 0.1059 0.0855 0.1061 0.0291 0.0423t 19 20te-0.0442 -0.0330- 6 -图 3 与 值对应的自相关状态DW对于显著性水平 ，查 D-W 分布表，得到检验的临界值2,0,5.kn和 。现在 ，由图 2 可以认为随机误差存在自相关。20.1Ld4ULd1且正自相关系数 的估计值 630791.7841.011 对模型中的变量作变换：；11*639.ttttt yyy.07ttttt xxx则模型 I 化为：；)1(,* aubayttt代入数据得到： ttt ux*0.76353712.0将式中 还原为原始变量 得到结果即是模型 II：*,ttxyttxy,；110.28.69.53712.0 tttt xx结果分析：根据模型 II 得到的残差计算 统计量如下：DW7496.120323ttttte现在 ，由图 2 可以认为随机误差无自相关，UUdDWd42从机理上看，对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据，加入自相- 7 -关的模型 II 更为合理，而且在本题当中，衡量与实际数据拟合程度的指标剩余标准差从模型 I 的 0.36514 减小到 0.28329 。我们将模型 II、模型 I 的计算值 与实际数据 的比较，以及两个模型的残差 表示在表 3 中，可以看出tyty te模型 II 更合适一些。表 3 模型 I、模型 II 的计算值 与残差tyte五、模型评价与预测通过对本文的分析，对于数据为时间序列的回归模型的建立后，必须检验随机误差 是t否存在自相关性。如果无自相关性，则可以用此模型进行预测：如果存在自相关性，则必须对模型进行变换，得到新的模型后重复上述步骤，直到无自相关性后，模型才可以进行预测。用模型 II 对未来的公司的销售额进行预测时，需先估计未来的全行业一季度的销售额 tx- 8 -比如,设 时， ，容易由模型 II 得到21t2.74tx 23.9ty六、参考文献1何晓群，刘文卿.应用回归分析，北京：中国人民大学出版社， 20012姜启源等 编著，数学模型（第三版） ，北京：高等教育出版社， 2003.83刘勇，白林 著 基于 MATLAB 的回归分析模型在经济预测分析中的应用 成都理工大学七、附录.由原始数据绘制散点图在 EXCEL 中建立输入数据，并根据数据绘制散点图，选择合适的坐标轴。. 模型分析在 MATLAB 中输入：% 构造资本论观测值矩阵mx=ones(20,1) ,x;alpha=0.05;% 线性回归计算b,bint,r,rint,states=regress(y,mx,alpha)输出结果：b = -1.4548 0.1763 bint = -1.9047 -1.0048 ； 0.1732 0.1793r = -0.0261 -0.0620 0.0220 0.1638 0.0466 0.0464 0.0436 - 9 -0.0584 -0.0944 -0.1491 -0.1480 -0.0531 -0.0229 0.1059 0.0855 0.1061 0.0291 0.0423 -0.0442 -0.0330rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ; -0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.1262 ; -0.2037 0.1578 ; -0.0664 0.2781 ; -0.0879 0.2589 ; -0.0621 0.2743 ; -0.1440 0.2023 ; -0.1287 0.2134 ; -0.2116 0.1233 ; -0.1972 0.1311rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ; -0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.015