高中数学必修1《指数函数及其性质》教案

课题：指数函数及其性质教材：人民教育出版社高中数学必修 1 第二章第一节第二课（2.1.2）一、教材分析1 教材的地位与作用函数是高中数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已经掌握了函数的一般性质和指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其性质，为今后进一步研究其他基本初等函数和性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容不仅是本章的重点内容，也是中学阶段的主要研究内容之一，它对知识起到承上启下的作用。此外，指数函数的图像及其性质与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。本节内容的主要特点是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。3教学重点：指数函数的图像和性质。4教学难点：指数函数的性质与底数的关系。突破难点的关键：在教学过程中让学生动手画图和利用多媒体动画演示，使学生自己感受指数函数的图象和性质是这一堂课的突破口。二、目标分析1知识目标：学生通过画指数函数的图象，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质并会简单运用。2能力目标：通过类比，归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质，使学生获得研究函数的规律和方法，培养学生观察、分析、总结能力和探索的精神。3情感目标：（1）在平等教学氛围中，通过教学互动，促进师生情感交流，激发学生的学习兴趣；（2）体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题；（3）领会数学科学的应用价值。三、学情分析我校是县级重点中学，学生素质较高，学生已经初步会指数运算，掌握了函数的一些基本性质。学生对函数和图像的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：1知识维度：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。2技能维度：学生对采用“描点法”描绘函数图像的方法已基本掌握，能够为研究指数函数图象及性质做好准备。3素质维度：由具体到抽象的数学活动已有一定的体会，初步了解了数形结合的思想。四、教法分析创新教育与主体教育强调：在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性和积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质。根据以上的教育观点及所要完成教学目标，采用如下教学方法和手段；教学方法：主要是发现法、探究法、讨论法和启发式教学，即探究型教学与开放式教学相结合。教学手段：根据本节内容的特点，为了更有效地突出重点，突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节的教学任务，采用多媒体的教学手段，通过动态演示，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，会收到事半功倍的效果。五、过程分析教学流程：创 设 情 境教学序目标序导 入 新 知启 发 诱 导发 现 新 知自 主 合 作探 究 新 知深 入 研 究理 解 新 知强 化 训 练巩 固 新 知小 结 归 纳拓 展 新 知布 置 作 业内 化 新 知问题与情境 师生活动 设计意图活动一：创设情境，导入新知情境 1某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，那一个细胞分裂 x 次后的细胞数 y 是多少呢？分裂次数 x 1 2 3 4 x细胞数 y情境 2:庄子天下篇中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。 问：木棰截取 x 次后，剩余量 y 与 x 有怎样的函数对应关系？截取次数 x 1 2 3 4 x木棰剩余长 y 问题：你 能 归 纳 出 这 类 函 数 的 一 般 式 吗 ？师：利用多媒体展示两个教学情境，组织学生计算并填写表格，注意引导学生从函数的实际出发，解释两个变量之间的关系。师：在情境 1 中细胞个数 y 与 x 有怎样的函数对应关系？生：细胞个数 y 与x 的函数关系式是 y=2x,师：在情境 2 中木棰截取x 次后，剩余量 y 与 x 有怎样的函数对应关系？生：木棰的剩余量 y与 x 的函数对应关系是 y=)21(。师：在这两个函数关系中，底数是一个常量，指数是一个变量，我们把这样的函数叫做指数函数，你能给出它的一般形式吗？教师提出问题，注意引导学生把解析式概括到 xya形式。学生思考，归纳概括函数特征。引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现 2x， 1是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。问题与情境 师生活动 设计意图活动二：启发诱导，发现新知说一说1引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。2归纳给出指数函数的概念。3研究一下自变量 x 的取值范围。4你知道为什么 0a且 1吗？师：1指数函数定义：一般地，我们把函数 (0xya且 )1叫做指数函数，其中 x 是自变量，定义域为 R。生：思考、发表见解。师：引导、启发。2对于底数的分类，可将问题分解为：假设 0a,那么当x时， x，当时， 无意义；假设 ,那么 x对某些 值可能没有意义，如 1a时，24(),无意义；假设 ,那么xy对任意 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定 0a且 1。1抽象出指数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。2对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值，对 a 的限定由学生自己进行讨论得出。3讨论出 0且，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。活动三：强化训练、巩固新知练一练1 请同学写出一两个指数函数？例 1：下列函数是不是指数函数？ 3().8(2)0.9()0456371.xxxyyy变一变. 2()(xaa是常数）是指数函数， 的值为 。师：请两位同学到黑板各写两个指数函数式。生：回答例 1，板书变式题 1。加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。活动四：强化训练、巩固新知用一用例 2：已知指数函数 ()xfa0,1)且 的图象经过点 ),3(，求 ,(3f的值。解：因为 xf的图象经过点 ，所以 即 3，解得 31，于是)(xf。所以 )(,),0(ff。师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。通过本题加深学生对指数函数的理解；让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。问题与情境 师生活动 设计意图活动五：自主合作，探究新知画一画1请同学们分成两组用描点法画出分别做出以下函数图像并讨论总结图象规律：（1） 2xy和 1x的图象；（2） 3x和x的图象；展示同学们的手作图，投影电脑已制作好的图象，2、从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系？生：独立画图，同学间交流。师：课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的个别同学图象。生 ： 个 别 同 学 尝 试 回 答 。师：引导学生发现、观察、对比底数不同指函数图象的影响。会用描点法画出函数的图象。由具体的几个指数函数的图像发现规律总结这类函数性质让学生自己动手做图，互相讨论发现规律。借助多媒体，在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。为指数函数的图象和性质作铺垫。活动六：想一想1目前研究函数一般可以包括哪些方面；2.研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？师：可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值） ；当然也可以用列表法研究函数，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）O xy12xO xy13xy3x2xy问题与情境 师生活动 设计意图活动七：深入研究，理解新知1让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助图象的角度入手研究指数函数；2每一大组再分为若干合作小组（建议 4 人一小组） ；3每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。4你能思考并归纳出 xya0(a且 )1中，当 和时，两种图象的特点吗？5其他规律（指数函数间图象的特性）师：让学生独立思考，小组讨论生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界， 生：观察图象讨论、交流合作。各研究的小组上台汇报研究成果；其它小组不同的看法，上台补充，归纳出指数函数的共同性质（下表） 。师：当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y 轴对称；当底数 a1 时，底数越大函数值增长越快越靠近 y 轴即底大图高，底数00 且 a 1)的 图 象 和 性 质 。10a图象定义域(,)x值域(0,)过定点（0，1）在 xR上为增函数当 (,)y时 ，当 01时 ， 在 xR上为减函数当 (0,)1y时 ，当 时 ， 通 过 指 数 函 数 图象 的 观 察 ， 分 析 总 结出 指 数 函 数 的 性 质 ，有 利 于 加 深 学 生 对 性质 的 理 解 和 掌 握 ， 使学 生 经 历 从 特 殊 到 一般 的 过 程 ， 体 验 知 识的 产 生 形 成 过 程 ， 逐步 培 养 学 生 的 抽 象 概括 能 力 。1 xyuO 1 xyuO问题与情境 师生活动 设计意图活动八：试一试下列函数的图象中，哪一条是 2xy， 1()x， 3xy，1()3x的图象。生：独立完成并回答。师：（1）在第一象限自下而上，幂的底数增大；（2）底数互为倒数的两个函数图象关于 Y轴对称。函数图象性质，得到进一步的巩固和提高。活动九：强化训练、巩固新知例 3比较下列各题中两个值的大小：（1） 2.537,;（2） 0.1.28（3） .3.,9变一变：已知下列不等式，试比较 m、n 的大小：（1） 23mn；（2） 1n师：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？ 生：小组交流：其中(1)、(2)两题由学生解出；（3）引导 0.171,3.0.1.39本题主要是帮助学生掌握指数函数的单调性和数值变化活动十：小结归纳，拓展新知议一议：1、怎样的函数称为指数函数？2、指数函数的图象形状与底数有怎样关系？3、指数函数有怎样的性质？小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。学生在教学反思中，进一步巩固和提高指数函数及其性质。活动十一：布置作业，内化新知作业：P59，习题 21A 5，6。巩固学习成果。O xy1教学设计说明本节课力求体现如下特点：1兴趣引入，激发学习热情。本教学从两个 实际问题 引出指数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，提高学生学习新知识的积极性以及初步感受指数函数是刻画现实世界的一个重要数学模型。2精心设计问题情境，突出数学的再发现过程。在教学过程中，从指数函数的概念引入、图象的生成到性 质的归纳， 层层设问，引 导学生用特殊到一般的方法探究指数函数图象的形成过程，加深感性认识。 让 学生动手画图、 观察图象，启发学生思考、实验、分析、归纳，指数函数的