高中数学论文：同课异构课例“方程的根与函数的零点”对比与感悟

第 1 页 共 9 页拾阶而上，无限风光尽收眼底同课异构课例“方程的根与函数的零点”对比与感悟【摘要】概念，是理解其它相关知识的基石，是形成能力的基础，概念教学是高中数学的重要内容数学概念教学，常常使数学教师面临重大挑战：如何精心地设计我们的教学（不仅仅是教案），去建构一种适合概念生成的教学策略，让学生能在概念的发生、发展和同化过程中，领悟数学，运用数学，形成数学的理解力？我们的教育教学理念，都基于什么？本文通过对比同课异构“方程的根与函数的零点”的两个课例，探讨如何紧扣概念教学过程中的关键节点：引入、概括、理解、应用，聚焦概念教学设计，探索概念教学的基本认知与规律【关键词】同课异构 概念教学 概念节点众所周知，一个数学概念的形成，特别是要在学生的大脑中生根，这无疑需要一个较长的心智过程，但从教育的角度来说，某一数学概念在课堂上与学习者“第一次”相遇时，会发生什么？在那些关键之处，我们应该如何用力去思考、设计我们的教学？因“第一印象”太重要了，于是， “概念教学”在很多教师的眼里、心里，都特别重视不过，因经历、素养和观念的差异，在概念教学的课堂中，在我们彰扬个性建构之同时，仍有许多值得反思的东西上学期，我们教研组以公开课的方式开设主题教研，要求在常态课的意义下，进行全方位教学能力“PK” ，高一年级选择的主题是“概念课中的预设与生成探究” 为此，笔者有幸聆听了两位有经验教师的概念课，再加上其他教师的点评指导，感触颇多课题是方程的根与函数的零点 ，本节是函数应用的第一课，具有承前启后的作用，也可以说是“函数与方程”这重要的数学思想货真价实地为学生提供亲历体验的平台笔者就借助于这一“主题”课例的分析、对比，以此反思概念的教学中关键节点处的点滴，谈一点个人的思考，愿与大家共享一、概念的引入-立足起点处的“切入点”数学概念是数学这所辉煌大厦的基石而学习者的数学概念学得怎样，首当其冲是其领悟数学的“起点”是否坚实而这起点的确定，全凭教师对学生、对教材的细致“解读” ，及借助于对数学教学规律的感悟与把握，让新知识的“起点” ，建立在原来知识基础上的生长点，精心设计教学于是，这“起点”处的探究设计，以什么方式切入，大有举足轻重之感！【案例片断】函数“零点”概念的引入拾阶而上（甲教师上课伊始，教师给出问题 1，并强调看谁求得最快）高中数学论文第 2 页 共 9 页问题 1：求下列方程的实数根： ；3x 2 6 x+1=0 0)(1x（点评后给出变式：求下列方程的实数根： lnx+2x-6=0）13（学生一脸疑惑，教师一脸平静，说：如果我问它们有解吗，你怎么思考？）（乙教师上课伊始，教师屏幕显示一幅图（见右图）并提出了如下问题）问题：图中有几种颜色，你从图中看到了什么？生：一个酒杯或两个头像师：都对，一幅图，从两个不同的角度看，或观察重点不同，得出了不同的结果类似，你对 ，有怎样1xy的思考？问题 2：说出对 不同角度的思考结果？1xy生：一次函数，图象是一条直线师：不错，从函数、图像看的确如此，那么，我们还可以将它看成什么，又可得出什么？并请思考如下问题：问题 3：令 ，得 ，问“”怎样理解？ 0y1x【评析】引入方式无论哪种，只要站在 “学”的立场上去设计教学， 为学生提供概念认知的环境，使学生处于一种问题思考的情景中，由疑及思，吸引学生的注意力，激发学习兴趣，充分发挥学生的积极性和能动性，使学生尽快融入 课堂活动中，引入就是成功的本节课两位教师的引入方式不同，都以生为本，相比而言，甲起点低，在学生认知的“原有发生区”与“最近发展区”的过渡处设问，学生思维 易激活，加之可操作性 强，课堂效果好乙教师借一幅图的教育功能，引发思考，激情凝趣，数形结合及转化的思想从起始就开始渗透，课堂品味较高，但随之思维要求也高，自然更适合于数学认知能力较好的学生两位教师从习得者的视角切入，营造概念认知的氛围，着力于 “认知冲突”或“认知自然”的教学精心设计！但从实效来看，笔者认为乙教师的“ 拾阶而上” 式引入方式，不仅也适合像我校这类学校学生的数学基础，长此以往，学生的数学素养，必有一个质的飞跃！有经验的教师，不是有什么秘密，而是具有一种对数学的较成熟的感悟，并能适当地把 这种感悟“ 传染”给学生！二、概念的概括-立足生成处的“生长点”对新数学概念的学习，有些可直接“输入”（用下定义的方式），而有的却不行，如本课时的“零点”，定义虽简单，却包含着重要的数学思想所以概念的习得，需要一个过程，经历数学思想与数学概念的诞生与交融，也即学生原认知结构，需在不断地问题解决与认知中，不断同化、发展和完善教学设计就必须为此营造出适合学生基础、激活学习兴趣、具有一定思维力度的氛围，精心设计我们的教育行为，并做好细致地思维铺垫工作正像小说戏剧为主角出场做好铺垫一样，教师要让这种数学思想“重现江湖”时，自然、必然和释然，使学生于过程能体验它的存在，使学生在这一过程中，能以主人翁的态度去探索、抽象、概括出新的数学概念一句话：立足于生成处的概念自然“生长点”第 3 页 共 9 页【案例片断 2】函数“零点”概念的形成层层深入师（甲）：请根据“问题”解答结果，和自己相关数学知识依次完成下列“任务”表 一元二次方程 03x012x032x二次函数 2yyy函数的图象（简图）方程的根图象与 轴交x点的坐标思考：根据表中每“列”完成情况，与同桌交流，并思考一元二次方程的根，对应二次函数的简图及函数图象与 轴交点的横坐标，三者之间的联系如何？ x思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 02cbxa及相应的二次函数 的图象与 轴交点的横坐标的关系，你)0(a )0(2acbyx如何探究上述的结论是否还成立？（见下表）判别式=b 24ac 方程 0cbx的根)0(a函数 cbxy2的图象)0(a图象与 轴交点的坐标x在阅读课本关于“零点”定义后，给了如下问题：你认为下列函数有没有零点？若有，请求出；若没有，说明理由 ， ； ； ；32)(xf xf2)(1ln)(xf 1)(2xf3|xy师（乙）：通过解方程 ，易知它的根为 和 ，那么，它对相应的二033次函数 的图像有何作用？（即从“形”上看） ，从数的角度看，是什么？课本2中，还将它称为函数的什么？生 1：方程的根，也称之函数的零点生 2：其实就是二次函数的图象与 轴交点的横坐标x师：是的，正如我们观察“那幅图”一样，同是一个“数” ，它在不同的背景下，我们有了不同的认识，你能简单地将它们“串连”起来吗？用谁来“判定”它们的不同情况？生 3：我感觉用“根交点横坐标零点”将它们“串连”起来，比较适合，y(a0)oyx1 =x2(a0)oy (a0)x1 x2o y (a0，函数在区间(a，b) 上一定没有零点吗？你怎么验证这一观点？生 10：不一定可以没有，也可以有，如图 2 和图 3师：若函数 在区间(a，b) 内有零点，一定得出 f(a)f(b)0生 1：图有两个零点，应该一个一个看，比如左边的零点的所在的区间（a，d） ，函数值异号师：现在我们发现可以是异号，也可以是同号，那你觉得哪个更靠谱？生 3：我在图上取区间（a，b） ，此时 f(a)f(b)0，但函数没有零点，所以我觉得用f(a)f(b)0 时，函数在区间(a，b) 可能有零点，可能没有而当 f(a)f(b)0 时函数肯定有零点师：生 4 说的很好，除此外图象本身有什么要求？生 5：图象要连续不断以图 1 为例，取区间（a，b） ，f(a)f(b)0，则函数没有零点师：由此说明要使函数零点存在，则必须满足什么条件？生 6：函数 在区间a,b上连续不断，并且有 f(a)f(b)0，函数存在零点)(xf师：满足定理条件的零点唯一吗？为什么？增加什么条件零点是唯一的？生 7：不唯一如图，我可以画很多个零点，函数在区间（a，b）单调递增或单调递减时，零点唯一 【评析】oyxab图 6第 7 页 共 9 页概念的理解要努力从学生的认知水平出发，创造适合学生思 维能力的情境，保 证学生参与概念本质特征的理解活动，相信学生能解决深入、复杂的问题，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是非常要紧的两位教师都为学生精心设计台阶，搭建思 维的脚手架， 于 定 理 理 解 的 关 键 处 环 环 突 破 ，或 曲 径 通 幽 ，吸 取 精 华 ，或 发 现 疑 点 ，窥 出 纰 漏 ，思 维 进 入 多 向 性 、多 维 性 、多 变 性 ，不仅让学生明白一些原理，更让 学生学会对一种数学精神的 领悟甲教 师将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数 图象，理解为一种动态的过程对熟悉定理的编排非常细腻 ，不断 让学生正反举例，举出不同的、极具主见的例子，这样，生动活泼的场面自然形成，而且在 举例过程中，有独立思考、合作交流，甚至有争辩， 这就形成了促进概念理解的机制乙教 师通过提供多个具体的图 象， 让学生体会这种知识的生成过程，通过观察、思考找它们的共同属性，总结成语句，这就是一个创新过程但这种方式具备一般性和抽象性，需要一定的观察能力和提取有效信息的能力具备扎实的数学基础知识、敏捷的思维能力和强烈的探究欲望才能顺利解决因此，相比而言，乙教师更注重给学生营造一个“创造、 发现”的心境，再造心智活 动过程，表 现为“逐 渐内心的敞亮，豁然开朗，悠然心会”，更适合于数学 认知能力 较好的学生， 长此以往，学生的数学领悟力和思维效果会更好四、概念的应用-立足成功处的“回归点”概念课上的是否成功还得看最后学生是否在应用上彻底掌握如何回归概念的本质，让学生在应用中“春风再度玉门关” ， “登高丘而望远海”？【案例片断 4】函数“零点”知识的应用登高望远师（甲）：回到之前的方程 lnx+2x-6=0，怎么判断是否有解？生 1：令 ，看函数 是否有零点62lnxy 62lnxy师：观察用计算机求出的部分 与 对应值表，你能判断零点的情况吗？)(fx )(f .3 1.099 3.486 5.609 7.792 9.9459 12.079 14.197生 2：因为 ， ，所以零点在区间（，） 0)(f)3(f师：观察由计算机（利用几何画板）作出的函数 图象，能验证刚才62lnxy作出的判断吗？师：由上面两问，可以判断函数在区间（，）上有零点，那是否可以断定该函数在定义域内只有惟一的零点？生 3：是，因为图象是单调递增的师：图象看上去只有一个零点，是否就一定眼见为实，下面请看图 7我放大后发现什么？ 90870650430210102304506708901201080604020 2040608010120 （图 7）32.521.510.50.511.522.54321 1234第 8 页 共 9 页生：有三个零点师：从形的角度直观易懂，但可能有误差，需要再从数的角度去证明如何证明单调性？生 4：用定义法 师（乙）：请看方程 lnx+2x-6=0，怎么判断是否有解？生 1：令 ，看函数 是否有零点62lnxy 62lnxy师：你可以想到用什么方法来判断函数的零点？（生说用定理） ，那么如何确定零点所在的区间？生 2：取值试试，比如取 ， ； ， ；0402lny,3x； 我发现后面继续取值，对应的函数值都为正，03lny5ln,yx我觉得零点的区间应该在（，）之间师：对生 2 估算，大家感觉有效果吗，为什么？这与问题的特点有何关系？生 3：应该可以，它的做法符合“存在性定理” ，因为“只问是否有解，没问多少呀” ，肯定可以生 4：其实只能有一个因为函数 是单调递增的，函数 也是单调递xyln62xy增的，由复合函数的性质，整个函数应该单调递增，所以它只能“穿过” 轴一次师：有点意思，不仅知道存在，还知道有只有一个，那么，能知道这个根的具体值是多少吗？大家想想生 5：不能，最多能估计更精确一点，比如再取得小一点， ，算算看5.2x师：是的，为什么叫“存在性定理” ，大家知道其真实含义了吧！（稍停）除此外，还有什么方法判断函数只有一个零点？生 6：用函数单调性的定义法证明生 7：把 移到等号另一端，观察函数 和函数 的图象，发现2x xyln62xy两个函数只有一个交点，因此方程只有一个根师：那么这个零点大约多少？生 8：继续取值估计一下我再取 2.5 试一试，估计是负的，那再取 2.25 【评析】应用概念解决问题有助于学生对概念的理解和巩固，成功应用概念，要回 归到定义本质两位教师都采用了书本的例题，甲教 师考虑到学生手中没有工具画 图，于是 铺垫了表格及借助图象让学生能成功运用定理，比 较直接，学生的思 维难度小而乙教师却放手让学生自己用估算思想去探索零点区间，并引 导学生尝试用多种方法去探索零点的个数，在这过程中不仅回顾零点的本质含义，同时 “身临其境”去找零点的区间、个数，与下节二分法求方程的近似解的思想一脉相承， “万籁此皆寂，惟闻钟磬音”这节课的教学内容平淡无奇，教学中很难出新、出彩，让学生在探索中求知，在思考中生智，在品味中赏美，是对教师教学智慧的极大地考验与挑战智慧的产生源于教师对教材的感悟与捕捉，概念教学的成功源于节点处得力的引导掩卷长思，如何进行数学概第 9 页 共 9 页