论文_傅里叶变换的可视化及应用研究.doc

论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文傅里叶变换的可视化及应用研究作者：吴晓龙院系：物理系专业：物理学（师范）学号：1070600080指导教师：郭怀明日期：2011年5月9日I中文提要傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化IIAbstractFourierTransformisakindoftransformationfromthereal-spacetofrequency-space.ThereasonwhyFourierTransformisimportantisthatmanyrealisticproblemsaremoreeasilytobesolvedinfrequency-space.Specially,thedevelopmentofFastFourierTransformmakeitmoreconvenienttouse.ThispaperreviewsFourierSeries,FourierTransform,FastFourierTransformandGeneralizedFourierSeries.Wediscusstherelationshipandthedifferenceamongthem,andintroducetheirapplicationsinrealisticproblems,thenvisualizetheminMatLab.Finally，wemakesomecommentsonthemeaningofFourierTransform.Keywords：FourierSeriesFourierTransformFFTVisualization第1页目录一、引言1二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用12.1傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据12.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现22.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用3三、DFT、FFT的可视化及应用43.1DFT、FFT的数学依据43.2FFT的Matlab可视化实现53.3FFT的实际应用6四、广义傅里叶级数的可视化及应用84.1广义傅里叶级数的数学依据84.2广义傅里叶级数的Matlab可视化实现94.3广义傅里叶级数的实际应用9五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义11六、总结及结论12附录13参考文献17致谢18英文原文19中文译文30第1页一、引言傅里叶级数最初是法国数学家约瑟夫傅里叶在求解热传导方程时产生的，随后傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）应运而生，并不断的发展为一整套傅里叶分析理论体系。傅里叶分析在很多方面都有应用，但直到快速傅里叶变换（FFT）的诞生才把傅里叶分析推向了高潮。1965年，Cooley和Tukey两人在计算机科学上发表了机器计算傅里叶级数的一种算法一文，之后FFT开始大规模应用。时至今日，傅里叶分析已被广泛的应用于信号分析、信号处理、光谱分析、量子力学、天体物理学、微分方程求解、地质勘探、医学、生物学等领域，成为数据分析的一种有效的基础手段。同时，结合各领域自身的特点，以傅里叶分析为基础而发展起来的其他更有效的分析方法也得到了广泛的实际应用。比如小波分析以及Z变换，在信号分析中应用都很广泛。但毋庸置疑，以傅里叶级数、傅里叶变换、DFT、FFT为基础的傅里叶分析依然是一种不可替代的简单而有效的分析方法。二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用2.1傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据2.1.1傅里叶级数傅里叶级数以三角函数系1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,.xxxxnxnx为展开函数，可以证明三角函数系是正交归一的。以2l为周期的任意周期函数()fx的傅里叶级数形式为：011(cossin)2nnnnnaaxbxll（2-1-1）1()coslnlnafxxdxll(1,2,3,n)1()sinlnlnbfxxdxll(1,2,3,n)01()llafxdxl若()fx满足狄里克雷充分条件，即：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则()fx的傅里叶级数收敛于1()()2fxfx。()fx亦可写为复数形式的傅里叶级数：()nixlnrfxe（2-1-2）R.Courant，D.Hilbert.MethodsofMathematicalPhysics（VolumeI），Wiley，1989，49-50第2页1()2nixllnlfxedxl(0,1,2,)2.1.2傅里叶变换对定义在(,)上的非周期函数()fx，在傅里叶级数形式中令半周期l可得傅里叶积分公式形式，且若()fx满足条件：（1）在任意有限区间内满足狄里克雷条件，（2）()fx在(,)上绝对可积，则()fx的傅里叶积分收敛于1()()2fxfx。其展开形式为：00()()cos()sinfxAxdBxd（2-1-3）1()()cosAfxxdx1()()sinBfxxdx()fx亦可写为复数形式傅里叶积分：1()()2ixfxFed（2-1-4）()()ixFfxedx其中第二式即为傅里叶变换式，第一式又称傅里叶逆变换式。可以看出，两变换式前的系数存在一个自由度，因此变换式与对应的级数展开式之间也会相差一常数因子。同时也可以看出，变换的展开系数本身数值的绝对大小并不具有切实的物理意义，其相对大小才真正具有意义。2.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现在给定()fx形式后，运用Matlab中的积分命令“int()”可以实现对傅里叶级数、傅里叶变换中系数的计算，或运用傅里叶变换命令“fourier()”直接实现傅里叶变换，进一步作图可得到傅里叶变换的直观图像。下面我们就来看一个简单而典型的例子，以方波为例看看一个函数的傅里叶级数在MatLab中是怎样可视化实现的：例1.1：以T为周期的方波()ft的傅里叶级数的可视化。()ft=H()22t0(,)2222TTtt张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003第3页从定义式（2-1-2）可以很容易得到()ft的k级傅里叶展开系数为2/2/21kitTkHedtT，由积分命令int()计算可得sinkHkkT，又/20/21HHdtTT，故有基波及谐波振幅为0HAT，sinkHkAkT。用MatLab中的stem()函数做出基波及各级谐波振幅的直观图像，这里令H=1，T=2，0.25，图像如下（计算、作图程序见附录）图1.1方波的傅里叶级数谱图1.2方波脉冲的傅里叶变换谱从图中可以清晰地看出基波及各级谐波的振幅对比，振幅随级次的衰减、变化的趋势一目了然。我们还可以做一些拓展，来看看傅里叶级数与傅里叶变换之间存在的微妙联系。在例1.1中令T则()ft变为方波脉冲，其对应的傅里叶变换如图1.2。与图1.1对比可以看出实际上图1.2中的谱线就是图1.1中傅里叶级数谱的包络线，只是幅值大小相差倍。这也从侧面反映出了傅里叶级数与傅里叶变换之间的紧密联系。2.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用数学物理方程中波动方程（如一维波动方程：20ttxxuau）、输运方程（如一维热传导方程：20txxuau）的空间部分的本征函数解构成正交完备的三角函数系，因此可用傅里叶级数法或傅里叶变换法进行求解。傅里叶级数法适用于求解定义在有限区域内的问题，而傅里叶变换法则适用于求解定义在无限区域上的问题。同样的