有限元分析第3章弹性力学基础知识1

李建宇李建宇 天津科技大学天津科技大学 有限元分析 Finite Element Analysis 内容 3 弹性力学基础知识 ( ) 3.1 基本假定 3.2 基本概念 3.3 基本方程 要求 理解： 弹性力学 基本假定 的含义 了解： 弹性力学 基本概念 的提炼和用途 掌握： 2D 弹性力学的 基本方程 课后作业 阅读弹性力学基本概念、方程文献 内容回顾 弹性力学与材料力学的联系弹性力学与材料力学的联系 为何要有弹性力学？为何要有弹性力学？ 1、研究内容、研究内容 2、研究对象、研究对象 3、研究方法、研究方法 研究内容的联系：研究内容的联系： 材料力学材料力学 ： 弹性弹性 变形体变形体 在外力作用下的平衡、运动等在外力作用下的平衡、运动等 问题，及相应问题，及相应 变形变形 和和 应力应力 弹性力学弹性力学 ： 弹性弹性 变形体变形体 在外力作用下的平衡、运动等在外力作用下的平衡、运动等 问题，及相应问题，及相应 变形变形 和和 应力应力 内容回顾弹性力学与材料力学的联系弹性力学与材料力学的联系 基本没有区别基本没有区别 研究对象的联系：研究对象的联系： 材料力学材料力学 (研究变形体的第一门力学研究变形体的第一门力学 )： 仅为杆、梁、柱、轴等 杆状 变形构件 弹性力学弹性力学 ： 任意形状 变形体 内容回顾弹性力学与材料力学的联系弹性力学与材料力学的联系 弹性力学研究对象更普遍弹性力学研究对象更普遍 研究方法的联系：研究方法的联系： 材料力学材料力学 ： 要作出一些关于构件变形状态或应力分布的 假设 ，例如 拉压、扭转、弯曲 平面假设 ，数学推演 简单 , 但解是 近似 的 弹性力学弹性力学 ： 不作假设不作假设 ，数学推演，数学推演 复杂复杂 ，但解比较，但解比较 精确精确 内容回顾弹性力学与材料力学的联系弹性力学与材料力学的联系 弹性力学研究方法更严密，但也更复杂 弹性力学与材料力学的联系弹性力学与材料力学的联系 一个例子一个例子 考虑如下简支梁，由材料力学，当梁跨度 l 与高度 h 之比大 于 5（即为细长梁）时，平面假设近似成立，并有 但，当跨高比小于 5时，上述公式不成立， 什么原理？ 如何分析？ Ansys演示演示 弹性力学基本假设 工程问题的 复杂性 是诸多方面因素组成的。如果不分 主次考虑 所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难 ，将使得问题无法求解。 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出 一些 基本假设 。使问题的研究限定在一个可行的范围 。 基本假设是学科的 研究基础 。 超出基本假设的研究领域是固体力学 其它学科 的研究 。 工程材料的特点 金属材料 晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。 高分子材料 非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。 工程材料 内部的缺陷、夹杂和孔洞 等构成了固 体材料微观结构的复杂性。 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 五个基本假定：五个基本假定： 1、 连续性 (Continuity) 2、 线弹性 (Linear elastic) 3、 均匀性 (Homogeneity) 4、 各向同性 (Isotropy) 5、小变形假定 (Small deformation) 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 1、 连续性 (Continuity) 整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填 满 , 不留任何空隙 .即， 各个质点之间不存在任何 空隙 好处 ：物体内的物理量 ,例如应力形变和应变 , 才可能是连续的 , 才可以用 连续函数 来表示 ; 宏观假设 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 2、 线弹性 (Linear elastic) 物体的变形与外力作用的关系是 线性 的，除 去外力，物体可 回复原状 ， 而且这个关系和时 间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹性材 料 好处 ：应力应变之间的函数简化为 线性函数 ， 且 材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 3、 均匀性 (Homogeneity) 物体是均匀的 , 整个物体由 同一材料 组成 好处 ：各部分物理性质相同，不因位置改变而改 变。可以截取任意部分为研究对象。 对于 环氧树脂基碳纤维复合材料 ，不能处理为均 匀材料。 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 4、 各向同性 (Isotropy) 物体的 弹性性质 在所有 各个方向 都 相同 好处 ：物体材料常数不随坐标方向改变而改变 像 木材 ， 竹子 以及 纤维增强材料 等，属于各向异 性材料。 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 5、 小变形假定 (Small deformation): 物体的 位移 和 形变 是 微小 的 . 即物体的位移 远小于 物体原来的尺寸 , 而且应变和转角都远小 于 1 好处 ：变形与结构原尺寸相比属 高阶小量 ，可 略去 因变形引起的结构尺寸变化 弹性力学中的力 1、体力、体力 (body forces): 分布在物体体积内的力 . 设体积 V包含 P点 , V中的 体力为 F, 则 体力分量 : 体力 f 在 x, y 和 z 轴上的投 影 , 分别记为 fx, fy, fz 弹性力学的力 2、表面力、表面力 (surface forces): 分布在物体表面的力 . 设表面积 S包含 P点 , S中 的表面力为 F, 则 表面力分量 : 表面力 在 x, y 和 z 轴上 的投影 , 分别记为 弹性力学的力 3、 内力、平均应力和应力 . 内力 (internal forces) : 物体本身不同部 分之间相互 作用的力 应力 (stress)： 如果假设内力分布连续，命 A无 限减小并趋向 P点 , 则 F/A 将趋向一 个极限 p: 平均应力 ( the average stress):设作用在 包含 P点某一个截面 mn上的单元面积 A 上的力为 F ，则 F/A 称为 A 上的平 均应力； 弹性力学的的力 4、正应力与切应力、正应力与切应力 正应力 (normal stress) :应力在作 用截面法线方向的分量： 切应力 ( shear stress):设 应力在作 用界面切线方向的分量： 单位单位 Pa, Pa = 1 N/ 常用单位常用单位 MPa, 1 MPa= 106 Pa 弹性力学的力 5、 正平行六面体应力 从物体中取出一个微小的正平 行六面体，它的棱边分别平行 于三个坐标轴，长度分别为 dx, dy, dz.正平行六面体应力 切应力符号 的含义 受力面的法线方向受力面的法线方向 力的方向力的方向应力张量应力张量（ stress tensor） 弹性力学的运动与变形 1、位移、位移、 形变、正应变、剪应变的概念 正应变 (线应变 normal strain) :各线段单位长度的伸缩： 以伸长为正；缩短为负 切应应变 ( 角应变 shear strain):各线段之间的直角的改变： 以弧度表示，直角变小为正；变大为负 形变（ deformation） : 形状的改变，它包含长度和角度的改变 。 正应变和剪应变的量纲都为一，即无量纲。 位移（ displacement） : 是指位置的移动 . 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和 w。 正应变（线应变） xx dx dx u u +du 切应变（角应变） 直角改变量直角改变量 = + 弹性力学基本变量小结 弹性模量弹性模量 应应 力力 应应 变变 位位 移移 物体变形后的位置物体变形后的位置 物体的变形程度物体的变形程度 物体的受力状态物体的受力状态 物体的材料特性物体的材料特性 变形体的描述及所需变量变形体的描述及所需变量 弹性力学的基本方程 应应 力力 应应 变变 位位 移移 几何方程几何方程 物理方程物理方程 平衡方程平衡方程 弹性力学弹性力学 三大方程三大方程 弹性力学的基本方程之几何方程 设变形前为平面正方形 ABCD， 而变形后为 ABCD 从以下几个方面描述变形： （ 1） x方向的相对伸长量 （ 2） y方向的相对伸长量 （ 3）夹角的变化 弹性力学的基本方程之几何方程 （ 1） x方向的相对伸长量 弹性力学的基本方程之几何方程 （ 2） y方向的相对伸长量 弹性力学的基本方程之几何方程 （ 3）夹角的改变 同理同理 弹性力学的基本方程之几何方程 同样方法来考察体素在 XOZ和 YOZ平面内的变形情况，可得 以上是考察了体素在 XOY一个平面内的变形情况， 联立得到 几何方程 ，表明应变分量与位移分量之间的关系： 弹性力学的基本方程之平衡方程 以平面问题为例，截取正方形 微元体 ，考察其平衡条件： 考察平衡条件： （ 1）沿 x方向主矢投影为零 （ 2）沿 y方向主矢投影为零 （ 3）关于任意点的主矩为零 由于形状的任意性，弹性力学要求变形体的任意一点均满足平衡条件。 同理同理 略去高阶小量，得略去高阶小量，得 剪应力互等定理剪应力互等定理 弹性力学的基本方程之平衡方程 二维问题平衡条件： 平衡方程： 3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程 三维问题微元体的平衡： 平衡方程： 弹性力学的基本方程之物理方程 广义 Hooke定律 z x y 材料常数：材料常数： E， G， v E： 弹性模量弹性模量 ，（，（ elastic modulus） 或：或： 杨氏模量杨氏模量 （ Youngs modulus） G： 剪切模量剪切模量 ，（，（ shear modulus） ： 泊松比泊松比 ，（，（ Poissons ratio） 三个常数之间的关系：三个常数之间的关系： 弹性力学的基本变量、方程小结 基本变量基本变量 ： 基本方程基本方程 ： 15个变量个变量 平衡平衡 方程方程 几何几何 方程方程 物理物理 方程方程 15个个 方程方程 可解否？ 如何解？ 弹性力学简史 弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到 1678年，胡克 （ R.Hooke ） 发现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法 探索物体的受力与变形之间的关系。 近代弹性力学的研究是从 19 世纪开始的。 柯西 1828年提出 应力、应变 概念，建立了 平衡微分方程 ， 几何方程 和 广义胡克定律 。 柯西的工作是近代弹性力学 的一个起点，使得弹性力学 成为一门独立的固体力学分 支学科。 柯西（ A.L.Cauchy） 而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究领 域，使弹性力学进入发展阶 段。 1856年， 圣维南 （ A.J.Saint -Venant）建立了 柱体扭转和 弯曲 的基本理论； 圣维南 （ A.J.Saint-Venant） 1862年， 艾瑞 （ G.B.Airy ）发表了关于弹性力学的 平面理论 ； 1881年， 赫兹 建立了 接 触应力理论 ； 赫兹 （ H.Hertz） 1898年， 基尔霍夫 建立了 平板理论 ; 1824年生於德国， 1887年逝世 。曾在海登堡大学和柏林大学 任物理学教授，他发现了电学 中的 “ 基尔霍夫定理 ” ，同时 也对弹性力学，特别是 薄板理 论 的研究作出重要贡献。 基尔霍夫 (G.R.Kirchoff) 1930年， 发展了应用 复变函数理论求解弹 性力学问题 的方法等。 另一个重要理论成果是建立 各种能量原理 ； 提出一系列基于能量原理的 近似计算方法 。 许多科学家 .像 拉格朗日 (J.L.Lagrange)， 乐甫 (A.E.H.Love)， 铁木辛柯 (S.P.Timoshenko)做出了贡 献。 中国科学家 钱伟长 ， 钱学森 ， 徐芝伦 ， 胡海昌 ,等在 弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重 要贡献。 钱伟长 钱学森 胡海昌 徐芝伦 杨桂通 弹性力学 促进数学和自然科学基本理论的建立 和发展； 广泛工程应用 造船、建筑、航空和机械制造等 。 发展 形成了一些专门的分学科； 现代科学技术和工程技术 仍然提出新的理论和 工程问题。 对于现代工程技术和科研工作者的培养 对于专 业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的 作用。 弹性力学的意义弹性力学的意义 研究对象 三维弹性体 微分单元体 入手 超静定问题 静力平衡 、 几何变形 和 本构关系 等三方 面的条件 弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法 数学 方法 实验 方法 二者结合的方法 弹性力学的基本方程 偏微分方程的边值问题 ， 求解的方法有 解析法 和 近似解法 。 解析法 在数学上 难度极大 ，因此仅适用于个别特殊 边界条件问题。 近似解法 对于弹性力学有 重