11年数学中考研讨资料—2011中考样卷解读

2011 中考样卷解读 江西省永丰县恩江中学 邓武高 一样卷的作用是什么 二样卷告诉了我们什么 （一）注重核心内容的考查 （二）注重运动变化的考查 （三）注重课题学习的考查 三样卷该怎样使用 自我省课改以来，中考样卷命制工作，已步入第 7 个年头了,随着 对课改理念认识的不断深入,中考样卷的试题形式与结构也日趋成熟与完善,今年样卷秉承了 以往我省样卷命制的一贯风格并做了适当的调整，更注重对基础知识、基本技能、基本数 学思想的考查，体现了关注初中数学核心知识、侧重应用意识和解决实际问题的能力的特 点.卷面形式生动活泼、图文并茂，部分原创试题生活气息浓厚，彰显时代脉搏.样卷中有一 定量的开放探索性创新试题，用来考查学生的探究创新能力.同时，部分试题回归课本，更 好地体现了中考评价体系向全面考查学生的数学素养的转变. 一样卷的作用是什么 我们知道 2011 年中考数学学科说明由两部分组成，第一部分是文字说明，它包括考试 内容与考试要求、考试形式和试卷结构，第二部分是样卷，一共六套，它以更直观、更直 接的方式反映了中考说明文字部分的要求，它既有样例的性质，又有训练的价值，它与一 般的模拟卷或适应性卷不同，因为它既基于新课程理念，又遵循考试目标，还满足评价功 能等要求下编制出来的.所以它具有一定的纲领性和导向性，而且各套试卷均是高质量，卷 中有不少题目是新编试题，试卷的形式和结构均比较合理，更好的体现初中数学的主干知 识和核心内容.因此用好样卷对于把握命题方向、提高复习效率有着不可替代的作用.尽管样 卷也许存在这样那样的一些不尽人意的小问题，或碰到个别陈题，这并不碍于试卷所具有 的指导性或对某问题示例性的说明等功能. 按理说样卷就是中考内容与要求的解读，但在解读过程中我们还得去仔细思考， 认真分析试题的内在结构和思想，领悟它究竟告诉我们一些什么？ 二样卷告诉了我们什么 （一）注重核心内容的考查 初中数学的基础知识内容可以分为“数与代数” 、 “空间与图形”以及“统计与概 率”三部分，每部分内容都有各自的特色和核心，今年我省的中考数学样卷中的试题就体 现了对各部分核心内容的考查.当然这里的核心内容还包括重要的基本技能和基本的思想方 法. 1数与代数 样卷中对数与代数的内容侧重于考查了数、函数、方程等重要的知识内容或思想 方法，着重考查学生从现实问题中抽象出代数模型进而解决问题的数学建模思想，突出对 代数思维方式、抽象思维水平的考查. 【1】数 从样卷试题反 映来看，数的核心是实数的有关概念，具体说来是正、负数意义、 数轴、绝对值、科学记数法、数的近似估计.试题形式一般是创设合适的情境，着力体现与 生活实际相联系的角度考查这一核心内容. 例 1a.（2011 年样卷 1）2010 年江西省发生了特大洪灾,洪灾无情人有情，在此期间，社 会各界高度关注灾情，纷纷慷慨相助，奉献爱心.从 6 月 18 日至 6 月 29 日 16 时，江西 省民政厅救灾捐赠接收办公室共接收捐款 3002.317 万元，其中 3002.317 万这个数字 （保留四个有效数字）用科学记数表示为（ ） A.3.002 B. 30.02 C.3.00231 D. 3.002 303107 b.（2011 年样卷 2）2010 年上海世界博览会是一届规模空前的人类盛会，共有 246 个国家 和国际组织参展，逾 7308 万人次的海内外游客参观，7308 万可用科学计数法表示为 万. c.（2011 年样卷 3）长度单位 1 纳米 米，目前发现一种新型病毒直径为 23150 纳米，90 用科学记数法表示该病毒直径是 2.3 米（保留两个有效数字）. 5 d.（2011 年样卷 4）温家宝总理在 2010 年 3 月 5 日的十一届全国人大第三次会议的政府工 作报告中指出，就业形势依然严峻，中央财政拟投入亿元用于促进就业.433 亿用科 学记数法表示应为( ) A B C 8310.10 D . 说明：此类题六份样卷中有 4 道这样的题，如此反复考查并不是说明科学记数法一定 会考，而是要说明把“数”的概念放在生活情境中来考查，也是对“数的概念”的一种考 查的方式.因为这样既体现了数来源于实际，又能引导大家在教学中要增强学生数感，务必 联系实际（如近似估计） ，带着问题去感受数的大（小）.另一方面,说明在中考卷中，基础 性的常见试题应当占有较大的比重，同时，出现少量有创意或有着鲜活现实意义且难度不 大的基础性小题也是必需的，它体现了注重基础，适当创新的命题原则；选择题或填空题 往往能对概念的理解或简单技能掌握情况进行有效的考查，因此选择，填空题等是考查双 基的主体. 【2 】式 这里所指的式是整式、分式、根式.它们是初中数学的重要内容.其中分式核心是命题的 重点，也是熟练运算、灵活运用的基础. 例 2a.（2011 年样卷 2）先化简，再 求值： ，其中 31a-+5a= b. （2011 年样卷 3）先化简，再求值：2222bba-+ 其中 a=-3,b=2. c.（2011 年样卷 6）化简： 2 11()a-+- d. （2011 年样卷 5）如图，自行车每节链条的长度为 2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为 0.8cm. （1）4 节链条长 cm； （2）n 节链条长 cm； （3）如果一辆 22 型自行车的链条由 50 节这样的链条组成，那么这辆自行车上 链条总长度是多少？ 说明：本例中 a、b 是数、式运算的代表，它既有分式的化简或运算，又包含着 整式运算，并突出考查了三个乘法公式的正向与反向运用，以及分式的性质和意义.同时说 明了化简求值以及简单的实数混合运算等都属于对运算技能考查的载体，也是中考解答题 必要的组成部分. 本例中的 d 题是代数式的实际生活中的问题，从题型角度来说是数式规律探究， 也就是告诉我们对代数式的考查并不一定就是运算或化简，对有一定思考性和需要进行归 纳探究的实际问题也是我们在复习过程中应关注的问题之一. 【3】方程与不等式 说明：方程与不等式是“数与代数”的主干、核心内容的一部分，样卷中对 这一内容是从三个方面考查的. 考查方程、不等式的基本解法 对于基本解法的考题（样卷 1、3、5、6.中均有）是属于对运算技能考查的载体， 也是中考卷的中档解答可能设计的内容.复习时作一定量的训练也是必要的. 考查以方程为载体的规律探究性问题 例 3 （2011 年样卷 1） 已知下列关于 的分式方程:x 方程 1. , 2x=-1 节链条 2 节链条 n 节链条2.5cm0.8cm 方程 2. , 23x1=+ 方程 3. , ,方程 n, 42 （1）填空：分式方程 1 的解为 ，分式方程 2 的解为 ； （2）解分式方程 3； （3）根据上述方程的规律及解的特点，直接写出方程 n 及它的解. 说明： 此题是对分式方程既新颖又有特色的考查模型，它既考查了分式方程基本解法， 又存在着对方程和方程解的规律探究，同时它还是典型的教材习题拓展题，它对复习分式 方程和规律性探究问题起到了一个很好的导向作用，当然理应成为大家的一个关注点. . 建立方程、不等式的模型，解决相关的实际问题 课程标准特别强调数学背景的“现实性”和“数学化” ，以熟悉的现实生活为问题 背景，从具体的问题情境中抽象出数量关系，最终解决实际问题,这一思想理念一直在中考 中有所体现. 应用问题的 立足点可以落在初中数学的很多知识点上，而运用方程、不等式解决实际 问题是中考中常考常新的核心考点之一. 例 4 a. （2011 年样卷 1）如图 1，是某单位的透空护栏，如图 2 是它的示意图，它是用外径为 3cm 的圆钢管与外圆直径为 15cm 的圆圈焊接而成的（圆圈由扁钢筋做成，两圆钢管之间 夹一个圆圈） ，若要做高度统一为 2m，长为 7.41m 的护栏.试问：需要圆钢管和展直扁钢 筋的总长度各是多少 m？ b. （2011 年样卷 4）一张长方形桌子有 6 个座位. (1)按甲方式将桌子拼在一起. 甲方式： 3 张桌子拼在一起共有 个座位， n 张桌子拼在一起共有 个座位； (2)按乙方式将桌子拼在一起. 3 张桌子拼在一起共有 个座位，m 张桌子拼在一起共有 个座位； （3）某食堂有 A，B 两个餐厅，现有 200 张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两 个餐厅，每个餐厅都要放有桌子.将 张桌子放在 A 餐厅,按甲方式每 6 张拼成 1 张大桌子；a 将其余桌子都放在 B 餐厅,按乙方式每 4 张桌子拼成 1 张大桌子,若两个餐厅一共有 790 个 座位，问 A，B 两个餐厅各有多少个座位？ c. （2011 年样卷 6）小明到某品牌服装专卖店做社会调查了解到该专卖店为了激励营业 员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，而“计件奖金销 售每件的奖金月销售 件数” ，并获得如下信息： （1）列方程（组） ，求营业员的月基本工资和销售每件的奖金； （2）营业员丙月总收入不低于 1800 元，这位营业员当月至少要卖服装多少件？ 说明：此三题可以说是 2010 年中考应用题特色延续，题中特别注重了应用性问题的背 景设置，充分体现生活气息、时代感.因此中考复习要重视在解题教学中培养学生的应用意 识，提高捕捉应用题解题信息建模的能力. 【4】三个函数 对于一次函数、反比例函数、二次函数的考查重点是:解析式的确定、图象的理解、性质 的应用以及函数模型的建立. （1）一次函数、反比例函数 一次函数，反比例函数知识含量丰富，在初中阶段，需要运用这二种函数解决问题的 试题的类型很多，例如下面两例只是其中二个方面而已. 对函数关系的考查 例 5 （2011 年样卷 3） 如图，在平面直角坐标系中，点 B（1，1） ，半径为 1、圆心角为 90的扇形外周有一动点 P，沿 ABCA 运动一圈，则点 P 的纵坐标 y 随点 P 走过的路 程 s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 营业员来源:Z 求二次函数表达式是二次函数问题的基础，二次函数的三种表达形 式(一般形式，顶点式，交点式）是二次函数一条贯穿始终的脉线，许多与二次函数有关的 综合问题无法回避求二次函数表达式，当然也是中考中的重要考点之一. 例 8.（2011 年样卷 1）已知抛物线 m： +2ax+a-1，顶点为 A，若将抛物线 m2yax= 绕着点（1，0）旋转 180后得到抛物线 n，顶点为 C. （1）当 a=1 时.试求抛物线 n 的顶点 C 的坐标，再求它的解析式； （2）在（1）中，请你分别在抛物线 m、n 上各取一点 D、B（除点 A、C 外） ， 使得四边形 ABCD 为平行四边形（直接写出所取点的坐标，并至少写出二种情况） ； 3）设抛物线 m 的对称轴与抛物线 n 的交点为 P，且 =6，试求 a 的值 说明:本题最大特色是把抛物线问题放在旋转变换的情景下来探究，这是一个大胆的 想法，也是一个新的考查角度，也许有人会 认为是“超标”或超“要求”之举，但只要细 心琢磨一下就可得知题中所涉及的知识并没有超“标”的内容，同时也可发现是一道典型 的知识点重组型的综合性问题，完全符合初中生的认知水平，至于能力要求与该题所处位 置也应是吻合的. 例 9. a.（2011 年样卷 2）如图,抛物线 经过点 A(1,0)和点2yxab=-+ P(3,4). (1)求此抛物线的解析式,写出抛物线与 x 轴的交点坐标和 顶点坐标,并依此在所给平面直角坐标系中画出抛物线的大 致图象; (2)若抛物线与 x 轴的另一个交点为 B,现将抛物线向射线 AP 方向平移,使 P 点落在 M 点处,同时抛物线上的 B 点落在 点 D（BDPM）处.设抛物线平移前 P、B 之间的曲线部分与 平移后 M、D 之间的曲线部分，与线段 MP、BD 所围成的面积 为 m, 线段 PM 为 n,求 m 与 n 的函数关系式. b （2011 年样卷 3）矩形 OABC 的顶点 A(-8，0)、C(0，6) ，点 D 是 BC 边上的中点，抛物线 经过 A、D 两点，如图所示2yaxb=+ (1)求点 D 关于 y 轴的对称点 的坐标及 a、b 的值； (2)在 y 轴上取一点 P, 使 PA+PD 长度最短, 求点 P 的坐标； (3)将抛物线 向下平移,记平 移后点 A 的对应点为 ，点 D 的对应点为 ，当抛11 物线平移到某个位置时，恰好使得点 O 是 y 轴上到 、 两点距离之和 最短的一点，求此抛物线的解析式1AD1O+ c.（2011 年样卷 5）已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于 点 C. （1）若点 A、B 的坐标分别为（2，0）和（2，0） ，且 C（0，4） ，请直接写出该抛物 线的解析式及开口方向、顶点坐标. （2）将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与 y 轴交于点 E，而移动前 的点 B，却落在点 F 上， 问：是否存在 OE=OF0 的情形？若存在，请求出点 F 的坐标； 若不存在，请说明理由. 说明:课本上通过对抛物线的平移、探究到一般抛物线的变化规律和相关性质; 而本例 正好嵌入对抛物线的平移和对称性的考查，同时考查了抛物线最本质东西，揭示了转化、 数形结合等数学思想方法在抛物线问题中的广泛运用. 例 10 （2011 年样卷 4）经过原点和 G（4，0）的两条抛物线 ， ，顶点分别为 A，B，且都在211yaxb=+2yaxb=+ 第 1 象限,连结 BA 交 X 轴于 T，且 BA=AT=3. (1)分别求出抛物线 和 的解析式; (2)点 C 是抛物线 的 x 轴上方的一动点,作 CDX 轴于 E,交抛物线 于 D,试判断 CD2 1y 和 DE 的数量关系,并说明理由; (3)直线 X=m,交抛物线 于 M,交抛物线 于 N,是否1y2 存在以点 M、N、B、T 为顶点的四边形是平行四边 形,若存在,求出 m 的值；若不存在,说明理由 说明:本例是 08、09 年中考对抛物线考查中某一角 度的延续，即平行于 y 轴的直线与两个函数图象的两交 点间的距离，用含这两点的共同横坐标的代数式来表示， 由此展现了对相关的几何问题的探讨，同时体现对数形 结合思想方法的考查. 整体说明：今年样卷中六道抛物线题,呈现形式新颖, 内涵丰富,突出了对核心内容的考查,题中: 1.都有求抛物线解析式的要求，并需要灵活运用“抛物线三种形式”来解答；都存在 与几何图形相关联的现象, , 尤其与特殊四边形结合的甚多.来源:学。科。网 2.以开放探索性型试题呈现的有：例 8，例 9.b,例 10.例 9.c； 3.以抛物线平移为动态背景的有：例 9.a,例 9.b,例 9.c，其中沿水平方向平移的有例 9.b, 例 9.c，沿一定角度平移的有例 9.a；以将抛物线旋转为背景的有例 8； 4 以平行 y 轴的直线上两点间距离来建立函数关系的有例 10. 2空间与图形 在新课程的理念下削弱了对传统封闭式的证明题，取而代之的是以发现、猜测和探究 为主线的新式几何试题，从今年样卷 中可看出这一事实. 样卷中的试题不仅突出空间与图形部分的核心，其情境一般存在开放性、探索性、对 称性、图形变化的规律性、操作性（平移、旋转、翻折）等特征，还关注了具有实际意义 的几何问题.比如以下三个方面. 2y14G 【1】 三角形与四边形 三角形内角和定理、勾股定理、三角形全等、特殊四边形性质与判定均是考查核心. 例 11 （2011 年样卷 3）如图，点 A, D, B,E 在同一条直线上，且 AD=BE, A=FDE,则 ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是 假命题请给出一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明. 说明：这个题不是原创的，选用这个题的目的，一方面是提醒 广大师生关注全等三角形的最基础问题；另一方面是有点新意的试 题呈现形式，先判断结论的真假，再给予证明. 例 12 （2011 年样卷 5）如图，将ABC 沿它的中位线 MN 折叠后， 点 A 落在点 A处，若 A28 ， B120，则ANC 度 说明：此题虽小，考查功能却不少，题中包含对由折叠产生的空间 想象力和三角形内角和定理、轴对称等知识的考查. 例 13 （2011 年样卷 6）如图，已知：在ABC 中， AB=AC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 外角CAM 的平分线， CEAN，垂足为点 E （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？ （不必证明） 说明：虽是一道陈题，但却说明如下几点： 突出考查了特殊四边形这个重要内容； 轻几何论证，重开放探索； 几何题不能烦难，必须是简洁明了，干脆利落，既要包含核心内容，又要有一定的思考 性. 【2】. 圆与相似三角形 今年样卷对于圆这一核心内容的考查有着它的新的新的元素，除圆的基本性质、 与圆的位置关系、圆的有关计算外，还要关注与相似三角形结合，或与旋转、平移、 折叠等情境进行有机的整合. 近两年我省中考中对圆的考查均是轻描淡写，但在今年样卷中，适当加强了对 圆的考查.六套样卷中各有一道大题，有的还增添二个小题，分值达 14 分之多（当然中 考卷占分比不一定有那么大）.并且每题各代表其不同的功能. 例 14 （2011 年样卷 1）如图,同心O,大O 的直径 AB=2 ,小O 的直径 CD=2,连接5 AC、AD、BD、BC，AD、CB 分别交小O 于 E、F. （1）问四边形 CEDF 是何种特殊四边形？请证明你的结论； （2）当 AC 与小O 相切时，四边形 CEDF 是正方形吗？请说明理由. 说明：本题是一道原创性较强的圆与特殊四边形综合一起的试题， 由于试题中没有明确结论，需要先探索其结论，再给出相应的 理由，故此题应定性为探索题，这种题型具有数学独特教育功 能， 有利于发展学生的创新思维.因此我们理应关注加强，并 应予以高度重视. 例 15 （2011 年样卷 3， ）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是 ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE （1）求证：ACAE； （2）求ACD 外接圆的直径 来源:学_科_网 Z_X_X_K 说明：本题不但考查了圆的有关知识，还考查了勾股定理、相似三角形有关知识，相似三 角形一般是其它知识综合考查，今年的样卷中也只有样卷 4 才有一题专考相似三角形有 关知识. 例 16 （2011 年样卷 4， ）如图, O 的 半径为 4,AB 是O 的直径,BC 切O 于点 B ,且 BC=4,当点 P 在O 上运动时,是否存在点 P,使得PBC 为等腰三角形,若存在,有几个符 合条件的点 P,并分别求出点 P 到线段 BC 的距离；若不存在,请说明理由. 说明：本例不但是一道动态存在性探索题，而且还需运用重 要的分类讨论的思想方法来解答，因此这类题的解法要领应要求学 生熟练掌握. 例 17 （2011 年样卷 2）如图,已知PDC 是O 的内接三角形, CP=CD,若将PCD 绕点 P 顺时针旋转,当点 C 刚落在O 上的 A 处 时,停止旋转,此时点 D 落在点 B 处. （1）求证:PB 与O 相切; （2）当 PD=2 , DPC=30时,求O 的半径长.3 说明：圆渗透图形变换，可也算是一个新的考查角度，由于这 样能有效考查学生灵活运用知识的能力与综合数学素养，符合考查 考标准的又符合课标要求，所以应成为大家关注的方向之一. 3统计与概率 概率与统计是初中三大数学领域内容之一，近年来占分稳定地保持在大约总分的 14%，概率考法变化不大，而统计是年年翻新.但总体倾向于考查学生的统计意识与随机观 念，用数字说话与作出相应的决策，充分体现统计与概率的实用价值. . 例 18.（2011 年样卷 1）在 2011 年元旦期间有甲、乙两个小型超市举行有奖促销活动， 顾客每购货 20 元就有一回按下面规则转盘获奖机会，且两超市奖额等同.规则是甲、乙 两超市各把一转盘分成 4 个、3 个区域，并标上了数字（如图甲、乙） ，顾客一回转盘要 转两次，第一次与第二次分别停止后指针所指数字之和为奇数时就获奖（若指针停在等 分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）. （1）利用树形图或列表法分别求出甲、乙两超市顾客一回转盘获奖的概率； 例 16 图 B C o A 例 15 图 A C BD E （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由 说明：概率是必考内容，重点考查概率的 有关计算在实际生活中的应用.试题一般是以游戏为背景，减弱与其它知识的综合性，凸显 概率本质的考查，本例是一道典型的决策性试题，即以转盘游戏为载体，考查概率的计算 及应用等内容， 哪个超市购物合算，需要用数据说话，这个数据就是各超市在同样条件下 的中奖概率. 例 19.（2011 年样卷 4）. 为了调查某校全体初中生的视力变化情况，统计了每位初中 生连续三年视力检查的结果(如图 1)，并统计了 2010 年全校初中生的视力分布情况（如图 2、3）. (1) 从图1提供的信息用统计知识,预测2011年全校学生的视力在4.9及以下的学生人数 （从一个角度预测即可）; (2)根据 3 幅图中提供的信息补全图 2 与图 3； (3)学校计划在 2011 年加强用眼健康方面的教育.并通过治疗, 要求 2010 年视力在 4.9 及 以下的部分假性近视的学生,视力达到 5.0 及以上.使 2011 年学校视力的达标率(视力在 5.0 及以上就算达标)上升 10,求这个学校在 2011 年视力好转、达标的假性近视学生的人 数. 说明：本题借助源于生活实际背景的数据体现了统计知识在实际问题中的重要作用，同 时满足了对统计知识内容的考查一般应结合现实背景的要求；题中具体考查了从三种统计 图 1 图 2 2010 年全校初中生视 力分布情况统计图 40 图中获取数据信息的能力,和如何利用中位数、平均数等数据代表的概念和特点，从不同的 角度对有关问题发展作出合理的预测,同时设计出解决相应问题的方案. （二）注重运动变化的考查 从运动变化的角度思考数学，而不把数学看成是静止不变，这是新课程标准的重要理 念.在往年的中考命题中还是比较突出这一点，在今年六套样卷中以运动变化为情景的试题 大大小小共 8 道之多，运动变化包括很广，如某点在图形上运动，某线或整图进行平移、 旋转、翻折以及几何体的折叠、展开都是视为运动变化问题. 例 20.（2011 年样卷 5）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，且 AD=DC=4，BC=6，点 M 从点 A 开始，以每秒 1 个单位的速度向点 D 运动；点 N 从点 C 开始， 以每秒 1 个单位的速度向点 B 运动若点 M、N 同 时开始运动，当其中一点到达终点时，另一点也 随之停止运动；设运动时间为 t 秒（0t4） ， 过点 M 作 MQBC 于点 Q，交 AC 于点 P （1）若PCN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数 关系式； （2）点 M 在运动过程中，是否存在点 M，使 PNDC？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明 理由； （3）点 M 在运动过程中，当 t 为何值时，PNC 为直角三角形？ 说明:本题是以双点运动为背景设计的.它主要是考查在动点位置变化过程中,寻求函数 与面积或函数与方程之间关系,探究点在运动过程中处于什么位置时产生某种特殊结论. 这 让学生从运动变化的角度来学习数学,符合课程标准理念.有效于考查学生数学综合能力. （三）注重课题学习的考查 “课题学 习”是新课程标准下的教材中重要内容，其特征是： 突出综合性，加强学生对“数与代数” 、 “空间与图形” 、 “统计与概率”内容的 理解，体会各部分内容之间的联系.同时也是发展学生解决问题的能力，使大家获得研究问 题的经验和方法. 呈现学习过程，帮助学生掌握学习方法，培养学生主动获取知识，创造性地获 取知识的学习方式. 体现开放与探索，课题学习不单纯是数学知识的学习，更重要的是优化思维品 质，给学生创立一个猜想、实验、观察、归纳、应用等探究过程的平台，并给研究者有留 有开放、创新的思维空间. “课题学习”题江西近五年（09 年除外）都是作为压轴题出现，今年样卷中也有 五套试卷是以课题学习题压轴的（其中个别题不一定典型） ，这方面的复习工作显得较为重 要. 1. 以数学实践活动为素材的课题学习 P Q N M D CB A 例 20 图 本类型“课题学习”一般是研究：“测量” 、 “折叠” “拼接” “制作” 、 “设计”等实践 性活动型问题，在研究过程中，要求学生通过自己动手、动脑去探究、发现、归纳最终解 决某一实际问题，其实就是体现学生自主探索和合作交流，综合运用知识解决课题的一个 学习过程. 【1】折叠 例 21 （2011 年样卷 1）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关 数学问题的课题学习活动. 活动情境： 如图 2，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EG 折叠(折痕 EG 分别与 AB、DC 交于点 E、G)， 使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，FN 与 DC 交于点 M 处，连接 BF 与 EG 交于点 P 所得结论： 当点 F 与 AD 的中点重合时：（如图 1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论 （或结果）： 甲：AEF 的边 AE= cm， EF= cm； 乙：FDM 的周长为 16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务： （1） 填充甲同学所得结果中的数据； （2） 写出在乙同学所得结果的求解过程； （3）当点 F 在 AD 边上除点 A、D 外的任何一处（如图 2）时： 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明 EG=BF，再求出 S（S 为四边形 AEGD 的面积）与 x（AF=x）的函数关系式，并问当 x 为何值 时，S 最大？最大值是多少？ 【2】拼接 例 22. a.（2011 年样卷 2）.课题:探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式. 实验： (1)如图 1,三角形的三边长分别为 a、b、c，A60，现将六个这样的三角形（设面 积为 ）拼成一个六边形，由于大六边形三个角都是B+C=120,所以由 a 边围成了6s 一个大的正六边形，其面积可计算出为 ；由于所围成的小六边形的边长都是 ，其面积为 ，由此可得 .6s (2)如图 2, 三角形的三边长分别为 a、b、c，A120，试用这样的三角形拼成一个 正三角形(设面积为 ),先画出这个正三角形,再推出 的计算公式;3s3s 推广: (3)对于三角形的三边长分别为 a、b、c，当A 取什么值时,能拼成一个任意正 n 边形吗? 如果能,试写出A 和三角形的面积 的表达式;如果不能,请简要说明理由.n b.（2011 年样卷 4）平面内两条直线 ,它们之间的距离等于 a.一块正方形纸板 ABCD1l2 的边长也等 于 a.现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上. (1)如图 1，将点 C 放置在直线 上, 且 于 O, 使得直线 与 AB、AD 相交于 E、F,2l1lAC1l 证明:AEF 的周长等于 2a； 请你继续完成下面的探索： (2)如图 2，若绕点 C 转动正方形硬纸板 ABCD,使得直线 与 AB、AD 相交于 E、F,1l 试问AEF 的周长等于 2a 还成立吗?并证明你的结论; (3)如图 3，将正方形硬纸片 ABCD 任意放置,使得直线 与 AB、AD 相交于 E、F,直线 与1l 2l BC、CD 相交于 G,H,设 AEF 的周长为 , CGH 的周长为 ,试问 , 和 之间存在1m21m2a 着什么关系?试证明你的结论. 说明:以上三题都有实际操作过程，但并不是求解单个问题的操作题，从试题情景和设 问结构，可以看出试题包含着观察实验发现归纳验证等研究性学习过程. 也可说是从特殊到一般形式来展示对一个从操作中发现、验证数学问题的研究过程，所以 1l2lABCDEF 图 2 AC 图 3 1l2lBDEFGH1l2lABCDEF 图 1 O 本例是典型的以数学实践活动为素材的课题学习的试题.由于这类试题具有良好的考试功能， 又与课程标准理念相吻合.因此在复习时我们应把它作为一个重点来复习. 2. 以探讨数学问题为素材的课题学习 本类型的课题学习是对某一个数学问题进行全方位地探究，且包括这个问题的应用与 拓展，其过程就是一个研究性的学习过程. 例 23 a.（2011 年样卷 3）在 RtABC 中， ACB=90，AB=4，D 为 AB 的中点，将一直角DEF 纸片平放在ACB 所在的平面上，且 使直角顶点重合于点 D（C 始终在DEF 内部） ，设纸片的两直角边分别与 AC、BC 相交 于 M、N. （1）当A=NDB=45时，四边形 MDNC 的面积为 ； （2）当A=45，NDB45时，四边形 MDNC 的面积是否与（1）相同？说明理由； （3）当A=NDB=30时，四边形 MDNC 的面积为 ； （4）当A=30，NDB30时，四边形 MDNC 的面积是否发生变化？若不发生变化（即 与 （3）相同） ，说明理由，若发生变化，设四边形 MDNC 的面积为 S，BN 为 ，求 S 与 之x 间的关系. b.（2011 年样卷 6）矩形 ABCD 中，已知：AD=6，DC=8，矩形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分 别在矩形 ABCD 的边 AB、CD、DA 上，AH=2，连 接 CF，设 AE=x，FCG 的 面积=y. （1）如图 1，当四边形 EFGH 为正方形时，求 x 和 y 的值； （