2013中考总结复习冲刺练： 动态型问题

2013 中考总结复习冲刺练： 动态型问题 动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、 全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确 变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。 动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起 来，实际上是一般化与特殊化方法当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特 殊位置关系和值时，常建立方程模型求解 类型之一 探索性的动态题 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经 过推断。探索型问题一般没有明确 的结论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过 观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来 确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。 1.（宜昌市）如图，在 RtABC 中，AB=AC ，P 是边 AB（含端点）上的动点，过 P 作 BC 的垂线 PR，R 为垂足，PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS 上存在一点 T，若以线段 PT 为一边作正方 形 PTEF，其顶点 E、F 恰好分别在 边 BC、AC 上. （1）ABC 与SBR 是否相似？说明理由； （2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系； （3）设边 AB=1，当 P 在边 AB（含端 点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和 最大值. 2.（南京市）如图，已知 OA的半径为 6cm，射线 PM经过点 O， OA C B x y 10cmOP，射线 PN与 OA相切于点 Q AB， 两点同时从点 P出发，点 A以 5cm/s 的速度沿射线M 方向运动，点 B以 4cm/s 的速度沿射线 PN方向运动设运动时间为 ts （1）求 Q的长； （2）当 t为何值时，直线 A与 相切？ 类型之二 存在性动态题 存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后 通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 3.如图，直线 43xy和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0） （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的 速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S=4 的情形？若存在， 求出对应的 t 值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值 4(湖州市) 已知：在矩形 AOBC中， 4， 3OA分别以 BOA， 所在直线为 x轴和 y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 F是边 BC上的一个动点（不与 BC， 重合），过 F点的反比例函数(0)kyx 的图象与 A边交于点 E （1）求证： O 与 的面积相等； （2）记 EFCS ，求当 k为何值时， S有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 CEF 沿 对折后， C点恰好落在 OB上？若存在， 求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 5.（白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）平行于 对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、 N，直线 m 运动的时间为 t（秒） (1) 点 A 的坐标是_，点 C 的坐标是_； (2) 当 t= 秒或 秒时，MN= 21AC； (3) 设OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由 类型之三 开放性动态题 开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜 测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。解答开放性问题的思维方法及途径是多 样的，无常规思维模式。开放性问题的条件、结论和方法不是唯一的，要对问题充分理解，分析条件引出 结论，达到完善求解的目的。 6.（苏州）如图，在等腰梯形 ABCD中， B ， 5ADC， 6， 12BC动点P 从 D点出发沿 C以每秒 1 个单位的速度向终点 运动，动点 Q从 点出发沿 以每秒 2 个单位的 速度向 B点运动两点同时出发，当 P点到达 点时， 点随之停止 运动 （1）梯形 A的面积等于 ； （2）当 PQ 时，P 点离开 D 点的时间等于 秒； （3）当 C， ， 三点构成直角三角形时， P点离开 D点多少时间？ 7.（福州）如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分 别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题 ： （1）当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（ cm2），求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APRPRQ？ 8.（苏州）课堂上，老师将图 中 AOB 绕 O 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变， 但位置发生了变化当AOB 旋转 90时，得到A 1OB1已知 A（4，2），B（3，0） （1）A 1OB1 的面积是 ；A 1 点的坐标为（ ， ）；B 1 点的坐标为（ ， ）； （2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图中AOB 绕 AO 的中点 C（2，1）逆时针旋 转 90得到 AOB，设 OB交 OA 于 D，OA交 x 轴于 E此时 A，O和 B的坐标分别为（1，3）， （3，-1 ）和（3，2），且 OB经过 B 点在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与 AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到 90时重叠部分的面积（即四边形 CEBD 的面积）最小，求四边形 CEBD 的面积 （3）在（2）的条件下，AOB 外接圆的半径等于 参考答案 1.【解析】要想证明ABC 与 SBR 相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到 TS=PA，只 要证明TPS PFA 即可；对于（3），需要建立正方形 PTEF 的面积 y 与 AP 的函数关系式，利用函数的 极值来解决. 【答案】解：(1) RS 是直角PRB 的平分线，PRSBRS45. 在ABC 与SBR 中， CBRS45，B 是公共角， ABCSBR (2)线段 TS 的长度与 PA 相等 . 四边形 PTEF 是正方形， PFPT， SPTFPA180TPF90, 在 RtPFA 中， PFA FPA90, PFA TPS， RtPAFRtTSP， PATS. 当点 P 运动到使得 T 与 R 重合时， 这时PFA 与 TSP 都是等腰直角三角形且底边相等，即有 PATS. 由以上可知，线段 ST 的长度与 PA 相等. (3)由题意，RS 是等腰 RtPRB 的底边 PB 上的高， PS BS, BSPSPA 1, PS 12PA. 设 PA 的长为 x，易知 AF=PS， 则 yPF 2PA PS 2,得 yx 2( ) 2, 即 y 514x，(5 分) 根据二次函数的性质，当 x 15时，y 有最小值为 15. 如图 2，当点 P 运动使得 T 与 R 重合时，PATS 为最大. 易证等腰 RtPAF等腰 RtPSR等腰 RtBSR， PA 13. 如图 3，当 P 与 A 重合时，得 x0. x 的取值范围是 0x 13. 当 x 的值由 0 增大到 5时， y 的值由 14减小到 5 当 x 的值由 增大到 时， y 的值由 增大到 29 15 29 4， 在点 P 的运动过程中， 正方形 PTEF 面积 y 的最小值是 15，y 的最大值是 14. 2.【解析】本题是双动点问题，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变 化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。 【答案】解：（1）连接 OQPN 与 A相切于点 ，OQ ，即 90P10 ， 6，28(cm)P （2）过点 作 CAB，垂足为 点 A的运动 速度为 5cm/s，点 的运动速度为 4cm/s，运动时间为 ts，5t ， 4t10PO ， 8Q， PO ， AB 90 BQOC ， 四边形 为矩形， BQOCA 的半径为 6，B 时，直线 A与 相切 当 运动到如图 1 所示的位置 84BQPt 由 6，得 6解得 0.5(s)t 当 A运动到如图 2 所示的位置48BPt 由 6Q，得 6 解得 3.5(s)t 所以，当 为 0.5s 或 3.5s 时直线 AB与 O相切 3.【答案】（1）将 0y代入 43x，得 3， 点 B的坐标为 (30)， ； 将 0x代入 43x，得 y， 点 C的坐标为 (04)， 在 RtOBC 中， ， B， 5 又 (2)A， ， 5， A， 是等腰三角形 （2） ，故点 MN， 同时开始运动，同时停止运动 过点 N作 Dx轴于 ， 则 4sin5BOCtA， 当 02t时（如图甲），Mt ，14(2)25SONDtAA45t 当 时（如图乙），2OMt ，14(2)5SNDttAA245t （注：若将 的取值范围分别写为 02t 和 5t 也可以） 存在 4S的情形 当 时， 25t 解得 1t， 21（不合题意，舍去） ，故当 4S时， 1t秒 当 MNx轴时， ON 为直角三角形3cos5BtA ，又 5MBt35t ， 28t 当点 N， 分别运动到点 C， 时， N 为直角三角形， 5t 故 MO 为直角三角形时， 5t秒或 t秒 4. 【答案】（1）证明：设 1()Exy， ， 2()Fxy， ， AOE 与 FB 的面积分别为 1S， 2， 由题意得 1kyx， 211S ， 221Sxyk2 ，即 AOE 与 FB 的面积相等 （2）由题意知： ， 两点坐标分别为 3kE， ， 4kF， ，11423ECFSA ，OOEBFECBSS 矩 形121Ckk 12OEFCECFSkS 4321k 当 162k时， S有最大值3142S最 大 值 （3）解：设存在这样的点 F，将 CE 沿 F对折后， C点恰好落在 OB边上的 M点，过点E 作 NOB，垂足为 由题意得： 3EA， 143Mk， 134k，90MFBF ， EMNFB 又 90N，E MBF ， 14323kk ，94 22BF ， 2291344kk ，解得 18143k 存在符合条件的点 ，它的坐标为 2143， 5.【解析】该题所蕴涵的知识量较大，并以动态形式，着重考查了四边形、三 角形、相似形、平面 直角坐标系、二次函数、不等式组等知识点，且解法思路多样化，易于发展学生的各种思维能力。 【答案】解：(1)（4，0），（0，3）； (2) 2，6； (3) 当 0t4 时， OM=t 由OMNOAC ，得 OCNAM， ON= t43，S= 28t 当 4t8 时， 如图， OD=t， AD= t4 方法一：由DAM AOC，可得 AM= )4(3t， BM=6 t43 由BMN BAC，可得 BN= BM4=8t， CN =t4 S=矩形 OABC 的面积RtOAM 的面积 RtMBN 的面积 RtNCO 的面积 =12- )4(23t- 1（8t ）（6- t43）- )4(2t = 8 方法二：易知四边形 ADNC 是平行四边形， CN=AD=t-4，BN =8-t 由BMN BAC，可得 BM= BN43=6 t， AM= )4(3t，以下同方法一 (4) 有最大值 方法一：当 0t4 时， 抛物线 S= 28t的开口向上，在对称轴 t=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， 当 t=4 时，S 可取到最大值 243=6； 当 4t8 时， 抛物线 S= t8的开口向下，它的顶点是（4，6）， S6 综上，当 t=4 时， S 有最大值 6 方法 二： S= 230488ttt， ， 当 0 t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示 显然，当 t=4 时， S 有最大值 6 6.【解析】这是一个集几何、代数知 识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体 现学生的实际水平和应变能力，其解题策略是“动”中求“ 静 ”，“一般” 中见“ 特殊” ，抓住要害，各个击破 【答案】解：（1）36；（2） 158秒； （3）当 PQC， ， 三点构成直角三角形时，有两种情况： 当 B时，设 点离开 D点 x秒， 作 DEC于 ， PE PQ ， 523x， 15x 当 B时， 点离开 D点 秒 当 QPCD时，设 点离开 点 x秒，90E ， CP CQD 523x 51x 当 时，点 离开点 D秒 由知，当 PC， ， 三点构成直角三角形时