线段公理在代数中的应用

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 线段公理在代数中的应用 线段公理（两点间线段最短）在 平面几何中的应用是众所周知的.本文仅 谈一谈它在研究和解决代数问题中的应 用. 中国论文网 /9/view-13002728.htm 请看一个解析几何问题.设 A（a，b） ，B（c ，d）是坐标平面上的 两点，其中 b0，d0.试在 x 轴上找一 点，使它到 A，B 两点的距离的和最小； 或到 A，B 两点的距离的差最大.如图所 示，设 M（x，0）是 x 轴上的任一点， B1（c，-d ）是点 B 关于 x 轴的对称点， M 到 A，B 两点的距离的和为 |MA|+|MB|.由线段公理可知 |MA|+|MB|=|MA|+|MB1|AB1|，当且仅 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 当 M 在 A，B1 的连接线上 P 点位置时， 上式等号成立. P（ x，0）在 A，B1 的连接线 上，ba-x=dx-c. 于是，有结论： （x-a ） 2+b2+（x-c）2+d2 （a-c）2+（b+d）2.（） 当且仅当 x=bc+add+b 时， （ ）式中的等号成立，即此时 M 到 A，B 两点的距离的和最小. 又 M 到 A，B 两点的距离的差是 |MA|-|MB|. 同理，|MA|-|MB|AB|， 当且仅当 M 在 AB 的延长线上的 N 点位置时（如上图所示） ，等号成立. N（x，0）在 AB 延长线上， bx-a=dx-c. 从而有结论：|（x-a ）2+b2- （x-c） 2+d2|（a-c）2+（b-d ）2， （ ） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 当且仅当 x=bc-adb-d（bd）时， （）式中的等号成立，即此时 M 点到 A，B 两点的距离的差最大. 可以证明，上述结论及公式对任 意 a，b，c，d 都成立. 上面的结论，应用颇多.请看以下 例子： 例 1 解方程|4x2+4x+26- x2+4x+20|=x2-2x+2. 解由公式（）得 |4x2+4x+26-x2+4x+20| =|（2x+1）2+52- （ x+2）2+42| =|x- （-1-x ）2+52-x-（-2 ） 2+42| （-1-x ）-（-2） 2+（5-4）2 =x2-2x+2. 由结论可知，要上式等号成立， 当且仅当 x=5（-2 ）-（-1-x）45-4=- 6+4x，解此方程，得 x=2，故 x=2 是此 方程的解. 例 2a， b 是小于 1 的正数，求证 a2+b2+ （1-a ）2+b2+a2+（1-b） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 2+（1-a）2+（1-b）222，当且仅当 a=b=12 时，上式等号成立. 证明由公式（）a2+b2+（1- a）2+（1-b）2（0-1）2+（b+1-b）2=2. 再由结论得，当且仅当（1）： a=b1+0（1-b）b+（1-b）=b 时等号成 立.同理有（1-a）2+b2+a2+（1-b ） 2（1-0）2+（b+1-b ）2=2，当且仅当 （2）：a=1 （1-b ）+b0b+（1-b）=1- b 时，等号成立. 综上所述，有 a2+b2+a2+（1-b） 2+（1-a）2+b2+（1-a）2+（1-b）222. 联立（1） （2）解方程组可知， 当且仅当 a=b=12 时，上式等号成立 .证 毕. 例 3 在宽为 2 千米的河的两岸， 各有一点（记为 A，B） ，它们各自离岸 边 3 千米.已知 A，B 间的距离为 10 千 米，有一人在陆地上行走速度为 10 千 米/时，在水中游泳速度为 1 千米/时， 问此人游泳的起点应在河岸何处，才能 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 使这个人由 A 到 B 的时间最短？ 解因为陆上的行走速度是游泳速 度的 10 倍，故此人游泳的距离最短为 宜，即应垂直河岸游去.如图所示，设 E 为下水点，CE=x，则 AE=x2+32， AN=AC+CM+MN=3+2+3=8， BN=AB2-AN2=102-82=6 ，于 是 DF=6-x， BF=DF2+BD2=（6-x）2+32. 设由 A 到 B 所用r 间为 T（x） ， 由题意有 T（x）=2+110x2+32+（6-x） 2+32. 由结论可知，当 x=03+363+3=3 时，（x）达到最小 值，此 x 即为所求. 故，此人游泳时的起点应在距离 C 点 3 千米处，才能使这个人由