2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_7

1 第 2 章 几个重要的不等式 学业分层测评 10 简单形式的柯西不等 式 一般形式的柯西不等式 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1已知 a， b 为正数，且 a b1，则 P( ax by)2与 Q ax2 by2的关系是( ) A P Q B P Q C P Q D P Q 【解析】 设 m( x， y)， n( ， )，a b a b 则| ax by| mn| |m|n| ax 2 by 2 a 2 b 2 ，ax2 by2 a b ax2 by2 所以( ax by)2 ax2 by2.即 P Q. 【答案】 A 2已知 x y1，那么 2x23 y2的最小值是( ) A. B 56 65 C. D 2536 3625 【解析】 2 x23 y2(2 x23 y2) ( 12 13) 65 (x y)2 . 65(2x22 3y33)2 65 65 【答案】 B 3已知 x， y， z 均大于 0，且 x y z1，则 的最小值为( ) 1x 4y 9z A24 B30 C36 D48 【解析】 ( x y z)( 1x 4y 9z) 36，( x1x y2y z3z)2 36. 1x 4y 9z 【答案】 C 2 4设 x， y， m， n0，且 1，则 u x y 的最小值是( ) mx ny A( )2 Bm n m C. D( m n)2n 【解析】 根据柯西不等式，得 x y( x y) ( ( mx ny) (xmx yny)2 m )2，n 当且仅当 时，等号成立， xm yn 这时 u 取最小值为( )2.m n 【答案】 A 5函数 y 2 的最大值是( )x 5 6 x A. B3 5 C3 D5 【解析】 根据柯西不等式，知 y1 2 x 5 6 x 12 22 . x 5 2 6 x 2 5 【答案】 B 二、填空题 6函数 y 的最大值为_x 3 x 【解析】 由 ， 非负且( )2( )23，x 3 x x 3 x 所以 x 3 x 2 x 2 3 x 2 .23 6 【答案】 6 7设 x， y 为正数，且 x2 y8，则 的最小值为_. 9x 2y 【导学号：94910031】 【解析】 ( x2 y)( 9x 2y) ( )2( )2x 2y ( 3x)2 (2y)2 25，( x3x 2y2y)2 又 x2 y8， . 9x 2y 258 3 【答案】 258 8设 a， b， c， x， y， z 都是正数，且 a2 b2 c225， x2 y2 z236， ax by cz30，则 _. a b cx y z 【解析】 由柯西不等式， 得 2536( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)230 2. 当且仅当 k 时取“” ， ax by cz 由 k2(x2 y2 z2)22536，解得 k ， 56 所以 k . a b cx y z 56 【答案】 56 三、解答题 9已知实数 x， y， z 满足 x2 y z1，求 t x24 y2 z2的最小值 【解】 由柯西不等式得 (x24 y2 z2)(111)( x2 y z)2. x2 y z1， 3( x24 y2 z2)1，即 x24 y2 z2 . 13 当且仅当 x2 y z ，即 x ， y ， z 时等号成立 13 13 16 13 故 x24 y2 z2的最小值为 . 13 10已知 为锐角， a， b 均为正数 求证：( a b)2 . a2cos2 b2sin2 【证明】 设 m ，( acos ， bsin ) n(cos ，sin )， 则| a b| | acos cos bsin sin | | mn| m|n| ( acos )2 ( bsin )2 1 4 ， a2cos2 b2sin2 ( a b)2 . a2cos2 b2sin2 能力提升 1已知 x， y 为正数，且 xy1，则 的最小值为( )(1 1x)(1 1y) A4 B2 C1 D 14 【解析】 (1 1x)(1 1y) 12 (1x) 2 12 (1y)2 2 24.( 11 1x1y)2 (1 1xy)2 【答案】 A 2设 a1， a2， an为正数， P ， Q ，则 P， Q 间 a1 a2 ann n1a1 1a2 1an 的大小关系为( ) A PQ B P Q C PQ D P Q 【解析】 ( a1 a2 an)( 1a1 1a2 1an) n2，(1 1 1)2 n个 . a1 a2 ann n1a1 1a2 1an 即 P Q. 【答案】 B 3已知函数 y3 4 ，则函数的定义域为_，最大值为x 5 6 x _ 【解析】 函数的定义域为 5,6，且 y0， y3 4x 5 6 x 5，32 42 x 5 2 6 x 2 当且仅当 3 4 ，6 x x 5 5 即 x 时取等号 13425 ymax5. 【答案】 5,6 5 4 ABC 的三边长为 a， b， c，其外接圆半径为 R. 求证：( a2 b2 c2) 36 R2.( 1sin2A 1sin2B 1sin2C) 【证明】 由三角形中的正弦定理得： sin A ，所以 ， a2R 1sin2A 4