定价策略-期权定价培训(ppt 66页)

期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它 涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个 金融工程学科的重要基础。 第六章 布莱克 -舒尔斯期权定价模型 期权价格的影响因素 o 期权价格的影响因素主要有六个 : o （一） 标的资产的市场价格 与期权的协议价格 o （二）期权的有效期 o （三） 标的资产价格 的波动率 o （四）无风险利率 o （五） 标的资产的收益 o （六） 红利 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要就是标 的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 (相对定 价法 ) 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的 预期差异变化 。 证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市场状况使 所有证券价格发生变化的基础和环境。 1965年，法玛（ Fama） 提出了著名的 效率市 场假说 。该假说认为， 1）投资者都力图利用可 获得的信息获得更高的报酬； 2）证券价格对新 的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格 能完全反应全部信息； 3） 市场竞争 使证券价格 从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而 与 新信息相应的价格变动是相互独立的 1、弱式效率市场假说认为，证券价格 变动的历史 不包含任何对预 测证券价格未来变动有用的 信息 ，也就是说不能通过技术分析获得 超过平均收益率的收益。 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获 得的 所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以 及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是 可能获 得的有关信息 都已反映在股价中，因此任何信息（包括 “ 内幕信息 ” ）对挑选证券都没有用处。 从定性到定量 从规范到实证 o 效率市场假说是 从定性的 角度研究证券市场的，为进一步的 研究提供了 基础和背景 ，但是它并不能告诉我们证券价格是 怎样 变动的 。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，并从中 找到证券价格变动的规律。 o 人们在对证券的价格进行研究时发现， 随机过程 能够很好地 反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，从规 范研究到实证研究的转变。 随机过程（ Stochastic Process） 是指某变量的值以某种 不 确定的方式 随时间变化的过程。 根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以 做如下的划分： 从严格意义上说，证券价格的变化过程属于 离散变量的离散 时间随机过程 ，为了研究方便，可以把它近似为连续变量的连 续时间的随机过程。 时间的连续性 离散时间随机过程 连续时间随机过程 变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程 一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（ Markov Stochastic Process） 是内在一致的。 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中 ， 只有变量的当前值才与未来的预测有关 ，变量过去的历史和变 量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概 率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说 是一致的。 布朗运动（ Brownian Motion） 起源于 物理学中 对完 全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。 对于标准布朗运动来说：设 代表一个小的 时间间隔长度， 代表变量 z 在 时间内的 变化 ，遵循标准布朗运动的 具有两种特征： 特征 1： 和 的关系满足： = 其中， 代表从标准正态分布（即均值为 0、标准 差为 1.0的正态分布）中取的一个随机值。 特征 2： 对于任何两个不同时间间隔 ， 的值 相互独立 。 标准正态分布 当 0时，可以得到极限的 标准布朗运动 ： 1、为何定义 = 而非 ？ 当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时， 独立的正态分布， 期望值和方差具有可加性 ，而标准差不具 有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时 间划分方法的影响。 相应的一个结果就是：标准差的单位变为 2、符合标准布朗运动的变量 z 在一段较长时间 T中的变化情 形：令 z（ T） z(0)表示变量 z 在 T 中的变化量，显然该 变量又可被看作是在 N 个长度为的小时间间隔中 z 的变化 总量，其中 N=T/ t 。 很显然，这是 n 个 相互独立 的正态分布的和： 因此， z（ T） - z（ 0） 也具有正态分布特征，其均值为 0， 方差为 N t =T， 标准差 。 普通布朗运动 若变量 x 遵循普通布朗运动： 其中： 1、 a和 b均为常数， dz 遵循标准布朗运动 。 2、 a为漂移率（ Drift Rate），是指单位时间内变量 z 均值的变化值。 3、 b2为方差率（ Variance Rate），是指单位时间的方差 。 普通布朗运动的离差形式为 ，显然， x 具 有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 1、遵循普通布朗运动的变量 x是关于时间和 dz 的动态过程 ，其中第一项 adt 为确定项，它意味着 x 的期望漂移率是 每单位时间为 a。 第二项 bdz 是随机项，它表明对 x 的动 态过程添加的噪音。这种噪音是由 维纳过程 的 b 倍给出的。 2、在任意时间长度 T 后 x 值的变化也具有正态分布特征， 其均值为 aT， 标准差为 ，方差为 b2T。 3、 标准布朗运动的漂移率 a 为 0,方差率为 1。 普通布朗运动假定 漂移率和方差率 为常数，若把变 量 x 的 漂移率和方差率当作变量 x 和时间 t 的函数 ， 就可以得到 ，这就是伊藤过 程（ Ito Process） 其中， dz 是一个标准布朗运动， a、 b是变量 x 和 t 的函数，变量 x的漂移率为 a ，方差率为 b2。 随机分析学是概率论的一个重要分支 ,它诞生于 20世纪 40 年代 , 创始人 K.Ito获得 1987年 Wolf 数学奖 .在对获奖工作的评价中写到 : “他的随机分析可以看作 随机王国中的牛顿定律 .它提供的支配自然现 象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程。 . 。 其主要成分是 Brown运动函数的微分和积分运算 .由此产生的理论是 近代 纯粹与应用概率论的基石 . K.Ito(随机分析简介 ) 18 在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（ K.Ito） 进一步推导出 ：若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数 G 将遵循 如下过程： 其中， dz 是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理 。 在研究证券价格变化过程的时候，目标是 尽量 找到一个合 适的随机过程表达式，来准确地描述证券价格的变动过程，同 时尽量实现数学处理上的简单性。 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率 为 S、 方差率为 S2 的 伊藤过程 来表示： 两边同除以 S得： 该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格 ， 表示证券在 瞬间 内以连续复利表示的期望收益率（又称预期 收益率）， 表示证券收益率 瞬间 的方差， 表示证券收益 率瞬间的标准差，简称证券价格的波动率（ Volatility）， dz 表 示标准布朗运动。 其中， 和 的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的 离散形式为： 为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？ 1、 市场一般认同股票市场符合 “ 弱式效率市场假说 ” ，而 几何 布朗运动的随机项来源于标准布朗运动 dz， 具有马尔可夫性质 ，符合弱式效率的假说。 2、投资者感兴趣的不是股票价格 S， 而是独立于价格的收益率。 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票 价格以一定的 增长率在增长 。 3、几何布朗运动最终隐含的是： 股票价格的连续复利收益率（而 不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。 在短时间 后，证券价格比率的变化值 为： 可见， 也具有正态分布特征，其均值为 ，标准 差为 ，方差为 。 也就是说 其中 表示均值为 m ， 标准差为 s 的正态分布。 : 1、 几何布朗运动中的 期望收益率 。 2、 根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无 风险利率水平、以及市场的 风险收益偏好。 3 、 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ， 小于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是 较短时间内收益率 几何平均 的结果，而较短时间内的收益率则 是算术平均的结果。 1、 证券价格的年波动率，是股票价格对数收益率的年标准差 2、 一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标 准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计 值。 * 一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太长也不好 ；一般来说采用 交易天数 计算波动率而不采用日历天数。 : : 假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数； 2、允许卖空标的证券； 3、没有交易费用和税收，所有证券都是 完全可分 的； 4、衍生证券有效期内 标的证券没有现金收益 支付； 5、不存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率 r为常数。 由于证券价格 S 遵循几何布朗运动，有： 在一个小的时间间隔 中， S 的变化值 为： 在一个小的时间间隔中， f 的变化值 为： （ 2） 设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和 t 的函数，根据伊藤引理可得： （ 1） 构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头 的组合。令 代表该投资组合的价值，则： (3) 在 时间后，该投资组合的价值变化 为： (4) 将式（ 1）和（ 2）代入式（ 4），可得： （ 5） 由于式（ 5）中不含有 ，该组合的价值在一个 小的时间 间隔后 必定没有风险，因此该组合在 中的瞬时收益 率一定等于 中的无风险收益率。 因此： (6) 把式（ 3）和（ 5）代入上式得： 化简为： （ 7） 这就是著名的布莱克 舒尔斯微分方程，适用于其价格 取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。 受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（ ）并未包 括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状 态如何，都不会对 f的值产生影响。 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的 。 尽 管这只是一个 人为的假定 ，但通过这种假定所获得的结论不仅适用 于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 风险中性定价原理 : 在风险中性的条件下，所有证券的预期收 益率都可以等于 无风险利率 r， 所有现金流量都可以通过无风险利 率进行贴现求得现值。 风险中性定价原理 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时 （ T时刻）的期望值为： 其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价 原理，欧 式看涨期权的价格 c 等于将此期望值按无风险利率 进行贴现后的现值，即： （ 8） 布莱克 -舒尔斯期权定价方程的推导 对（ 8）右边求值是一种积分过程，结果为： 其中， （ 9） N（ x） 为标准正态分布变量的 累计概率分布函数 （即 这个变量小于 x的概率），根据标准正态分布函数特性，有 。 在 B-S公式中， 1） N(d2)是在风险中性世界中 ST 大于 X的概率，或者说 是欧式 看涨期权被执行的概率 . 2） e-r(T-t)XN(d2)是 X 的风险中性期望值的现值。 3） SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST 的风险中性期望值的 现值 。 因此，这个公式 的实质 就是 未来收益期望值的贴现。 对于布莱克舒尔斯期权定价公式的理解 无收益资产的欧式 看跌期权 的定价公式 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系， 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式： (ppt54) （ 10） 期权定价的二叉树模型 o 布莱克舒尔斯期权定价公式可为一个欧式看涨、看跌期权，以及 美式无收益看涨期权定价，但是布莱克舒尔斯期权定价公式并不 是万能的，尤其是美式看跌期权，因为美式看跌期权有提前执行的 可能性。 o 为股票期权定价的一个有用的和很常见的方法是构造所谓的二叉树 图（ binomial tree）。 这个树图表示了在期权有效期内股票价格 可能 遵循的路径 。 单步二叉树模型 o 例子：假设一种股票当前价格为 20美元， 3个月后的价格可能为 22美元或 18美元。 o 假设： 1）股票不付红利，打算对 3个月后 以 21美元的执行价格 买入股票的欧式看涨期权进行定价。 o 2）无风险利率为 12%。 简单的二叉树模型 Stock price = $20 Stock Price = $22 o 当前股票价格为 $20 o 三个月以后 $22 or $18 Stock Price = $18 买 权 Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock Price = $18 Option Price = $0 Stock price = $20 Option Price=? 一个三个月的股票看涨期权，执行价格为 $21 n 考虑一个投资组合 : long D shares short 1 call option n n 投资组合什么时候是无风险的： n 22D 1 = 18D or D = 0.25 22D 1 18D 建立一个无风险投资组合 对投资组合进行定价 n 无风险投资组合为 : long 0.25 shares short 1 call option n 三个月以后的价值： n 22 x 0.25 1 = 4.50 n 投资组合今天的价值： n 4.5e 0.12 0.25 = 4.3670x 期 权 定 价 n 投资组合 long 0.25 shares short 1 option 组合当前价值 4.367 n 其中股票的价值 n 5.000 (= 0.25 20 ) n 所以期权的价值为 n 0.633 (= 5.000 4.367 ) x 20 22 18 24.2 19.8 16.2 无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不 合理的，因此 C=c， 无收益资产美式看涨期权的定价公式同 样是： 有收益资产的欧式期权的定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我 们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金 收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现 值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用 S 表示有风险部分的证券价格。 表示风险部分遵循随机过程的 波动率，就可直接套用公式（ 9）和（ 10）分别计算出有收益 资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。 因此，当标的证券已知收益的现值为 I时，我们只要用（ S I ） 代替 S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q（ 单位为年 ）时，我们只要将 代替 S就可求出支付连续复利收益率 证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的 资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作 一个支付连续红利率为 r的资产的欧式期权；股指期权则是以市 场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为 该外汇在所在国的无风险利率。 对于欧式期货期权，可以将其当成一个支付连续红利率 为 r 的资产的欧式期权。因此，此时布莱克舒尔斯期权定 价模型为： （ 11） （ 12） 其中， 假设当前英镑的即期汇率为 $1.5000，美国的无风险连 续复利年利率为 7%，英国的无风险连续复利年利率为 10%， 英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为 10%，求 6个月期协 议价格为 $1.5000的英镑欧式看涨期权价格。 解：由于英镑会产生无风险收益，现在的 1英镑等于 6个月 英镑，而现在的 英镑等于 6个月后的 1英镑， ，并代入式（ 6.23）就可求出 后的 因此可令 期权价格。 通过查累积正态分布函数 N（ x） 的数据表，我们可以得出： c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分 因此 ,6个月期英镑欧式看涨期权价格为 3.05美分。 有收益资产的美式看涨期权的定价 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能， 因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近 似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。 若不合理，则按欧式期权处理；若在 提前执行有可能是合理 价格 ，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。 在大多数 情况下，这种近似效果都不错。 时 刻到期的欧式看涨看涨期权的的，则要分别计算在 T时刻和 假设一种 1年期的美式股票看涨期权，标的股票在 5 个月和 11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期 望值为 1.0元，标的股票当前的市价为 50元，期权协议价 格为 50元，标的股票波动率为每年 30%，无风险连续复利 年利率为 10%，求该期权的价值。 首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据第 5章 的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是： 在本例中， D1=D2=1.0元，而第一次除权日前不等式右边为： 由于 2.43851.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。 由于 0.41481.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。 第二次除权日前不等右边为： 然后，要比较 1年期和 11个月期欧式看涨期权价格。 对于 1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为： 因此 S=50-1.8716=48.1284元 将 S=48.1284，代入式（ 9）得： 其中， 由于 N（ 0.3562） =0.6392， N（ 0.0562） =0.5224， 因此 对于 11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为： 因此 S=50-0.9592=49.0408元 因此将 S=49.0408元，代入式（ 9）得： 其中， 由于 ，因此该美式看涨期权价值近似为 7.2824元。 美式看跌期权的定价 美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行 的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价 关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的 价值。 对于精度问题，我们可