高中数学平面向量数量积问题的学习与优化处理

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 高中数学平面向量数量积问题的学 习与优化处理 【摘要】平面向量在数学学习中 有着重要作用，它广泛用于平面几何、 圆锥曲线的求解中.掌握平面向量的数量 积对于中学生的数学学习，可以起到举 一反三和触类旁通的效果.但是我们在学 习中经常会遇到一些问题，这些问题如 果不注意就会影响对平面向量数量积的 全面掌握.为更好地学习平面向量的数量 积问题，笔者通过总结实际数学学习实 践，对平面向量数量积学习中可能会遇 到的问题以及问题的解决方法做了总结 归纳，以期帮助我们更好地掌握平面向 量的数量积的知识点. 中国论文网 /9/view-13002918.htm -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 【关键词】高中数学；平面向量； 平面向量数量积 由于平面向量在数学和生活中应 用很广，因此，平面向量数量积的学习 对于我们更好地学习数学中的其他知识 也具有帮助意义，尤其是对于数学中立 体几何的学习尤为重要.我们必须要认真 学习平面向量的数量积，注意总结学习 中的常见问题，不断提高对数学知识的 学习和应用能力. 一、高中数学中的平面向量数量 积 向量，既可以表示数量，也可以 表示方向，它在数学中有着广泛的应用. 在平面直角坐标系中可以用坐标来表示， 向量之间可以加可以减，而其数乘就是 平面向量的数量积.平面向量所具有的这 些特点，使得它在笛 杏凶殴惴旱挠 .向量的数量积几乎可以解决几何中 所有度量问题，如，长度、夹角、平行、 垂直等1.在高中，我们学习了函数、 立体几何、算法统计以及平面向量、三 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 角函数等等.其中立体几何的学习在高中 数学中的地位非常重要，在数学考试中 通常占有很高的比重.然而，在学习平面 向量之前，我们常常觉得立体几何特别 烦琐，有时候拿到一个立体几何的数学 题后，往往无从下手经常要思考半天才 能找到解题的切口.虽然在此过程中，我 们的思维得到了锻炼，但是高中生由于 面临高考，时间紧，任务重，不可能花 太多的时间在某一个数学题目上.因此， 在找不到解题入口的情况下，许多学生 可能会放弃，或者遇到这类题目之后， 连想都不想，直接去问其他学生如何解 答，这对于高中生的学习实际会起到一 种反作用，久而久之就会使得一些学生 对于数学学习产生厌倦或畏难情绪.我在 学习中最深的体会就是，数学的学习过 程是一个建立信心的过程，如果我们不 能不断攻坚克难解决数学难题，那么就 会渐渐失去数学学习的兴趣和信心.因此， 在高中数学学习中，如何破解立体几何 的难题对于学生数学知识的学习以及建 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 立学生对数学学科学习的自信心非常重 要.平面向量就是高中生解决立体几何难 题的一个非常好的方法，因为它可以表 示数量和方向，因此，可以通过平面向 量来求立体几何问题.学习平面向量使得 我们对于其他数学知识点的学习更加轻 松容易.而当用平面向量来解决数学中的 难题时，可能会用到平面向量数量积这 一概念，即两个向量的乘积.因此，学好 平面向量数量积非常重要，它对于高中 生数学知识的学习具有与平面向量同等 重要的作用. 平面向量数量积，在高中数学教 材中的定义为两个向量的乘积，它是两 个向量的模与两个向量之间的夹角余弦 的乘积，这一定义还可以转化为某一向 量的模与另一向量在此向量方向上的投 影的乘积.平面向量数量积是一个数，而 不是向量. 二、平面向量数量积学习中的常 见问题 平面向量数量积在数学中具有重 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 要的作用，其广泛应用的情况我们都已 知道.数量积表示的是一个数，而不是向 量.然而，在我们具体学习数量积的时候， 由于对平面向量的数量积的定义的认识 不够深刻，不够全面，导致我们在具体 理解数量积问题，以及用平面向量数量 积来解决其他问题时会存在误用、用不 好、学不好的问题.通过我对自身学习的 总结以及对周围同学学习状况的观察， 在具体学习平面向量的数量积问题时经 常会出现以下几个常见问题.具体来说： （一）平面向量与平面向量数量 积 在学习中，我发现，经常有的学 生在数量积的概念认识上存在误区，没 有全面理解数量积到底表示什么，其有 何意义，没有深入去挖掘定义中的内涵， 而导致在具体解题过程中，经常出现错 误.根据高中数学教材，平面向量数量积， 如果针对向量 a 与向量 b 来表示的话， 则是向量 a 的模与向量 b 的模相乘之后， 再乘上两个向量之间的夹角的余弦值.因 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 此，数数相乘之后必然仍是数，然而许 多学生停留于向量层面，将平面向量的 数量积与平面向量混同，认为平面向量 表示向量，有大小，也有方向，那么， 平面向量的数量积，作为两个向量的乘 积，也应该是向量，也应该有大小和方 向.殊不知两个向量之间的数乘与向量之 间的相加、相减不同，它是两个向量的 模与两个向量之间的夹角的余弦值相乘， 数与数之间的相乘必然得到的是数，所 以，也才叫数量积，而不是叫向量.在数 学学习中，将平面向量数量积与平面向 量弄混的结果就是无法正确解题，无法 正确应用，阻碍高中数学的学习，产生 排斥心理. （二）平面向量的夹角 从平面向量数量积的公式中可以 看出，向量 a 与向量 b 相乘时，不仅需 要 a 与 b 的模相乘，还需要乘以向量 a 与向量 b 之间夹角的余弦值.因此，如何 确定向量 a 与向量 b 之间的夹角对于计 算两个向量之间乘积具有关键性意义.在 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 数学学习中，我经常发现，许多学生在 计算平面向量的数量积时，由于对于向 量 a 与向量 b 之间夹角的认识存在误区 而导致最终的计算结果错误.许多学生在 确定向量 a 与向量 b 之间的夹角时，忽 视了向量是有方向之分的，一个向量的 起始点，要通过其方向来确定，同样， 一个向量与另一个向量之间的夹角的确 定也需要考虑到向量之间的方向，不同 的向量与其他向量所形成的夹角是不同 的.所以，在数学学习中，我们经常可以 发现，由于没有注意到向量的方向，而 错误地把向量的起点，作为向量的终点， 导致两个向量之间的夹角确定错误，实 际确定的夹角，是原来夹角的补角，所 以，其结果必然是错误的.更有甚者，有 的学生，不知道最起码的平面向量数量 积的知识点，忽视了两个向量之间的夹 角的范围是在 0180 度之间，导致在 解题中无法正确确定夹角. （三）平面向量数量积的正负 平面向量数量积作为两个向量的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 模与其夹角的余弦值的乘积是有正负之 分的.因为，向量 a 与向量 b 之间的夹角 可以大于 90 度，这就意味着，两个向 量之间夹角的余弦值可以为负值，因此， 两个向量之间的模与负的余弦值的乘积 必然是负值.在学习中，我总结了两点学 生出错的情况：一方面，不理解为什么 两个向量之间的乘积可以为负值导致在 具体解题过程中出现困惑，产生迷茫， 对于数学学习产生误区.另一方面，有些 学生不能熟练掌握三角函数的基本知识， 导致虽然可能正确确定了两个向量之间 的夹角，但是，却将两个向量之间夹角 的余弦值计算错了，最终使得平面向量 数量积计算错误. （四）平面向 量数量积的应用 平面向量数量积在数学中具有重 要作用，它可用来解答相关的三角、垂 直、夹角、最值、不等式等数学问题2.然 而，在学习中，却经常发现，许多学生 不能触类旁通，学习的迁移能力差，不 知道用平面向量数量积来解决其他的数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 学问题，而将思维局限于平面向量方面 的应用.如，高中数学中的立体几何具有 一题多解的特点，经常可以跳出立体几 何的解题思路，运用平面向量和平面向 量数量积来解题.然而，许多学生的思维 太局限，不能实现一题多解，经常被某 一知识点的解题思路所束缚，缺少应用 意识和创新意识，而这对于高中生数学 的学习是极其不利的. 三、平面向量数量积学习中的常 见问题及解决方法 前，高中生在对于平面向量 数量积的学习中常常存在着以下问题： 对于平面向量数量积的认识不够到位， 概念理解不够透彻，对于平面向量数量 积的夹角的判断存在问题，对于数量积 的正负认识不到位，而且即使完全掌握 了还缺乏应用意识和应用能力.为此，我 总结出了以下几个解决方法. 首先，针对许多学生将平面向量 与平面向量的数量积弄混的问题，这就 要求我们学生要加强对数学中基本概念 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 与定义的理解.当前，学生对于数学的认 识存在误区，认为数学就是做题，就是 多练习，没有别的学习方法，这忽视了 一个重要的问题，做题是为了什么而做？ 做题的目的何在？做题的目的在于理解 知识点、运用知识点、理解透数学中的 基本原理.因此，不要将数学看作做题， 要摈弃这种简单的思维，要认识到一切 的做题都是建立在概念的理解的基础上 的，是对数学中基本概念与定义的应用. 对于平面向量数量积的定义的理解要注 意：平面向量数量积是数不是向量，两 个向量之间的相乘，实际是他们的模与 夹角余弦值的相乘，因此，其乘积必然 是数量.只有正确认识平面向量之间的乘 积，才能正确解题与运用. 其次，针对许多学生将向量之间 的夹角确定错误的问题，其解决方法是， 不要被数学中的基本图形所迷惑，将一 个向量的起点当作终点，看向量，首先 要看向量的方向，在确定向量方向的基 础上，来确定夹角.因此，要特别注意向 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 量的方向，通过每一个向量的方向来确 定两个向量之间的夹角，同时，还要注 意的是，向量之间的夹角范围是 0-180 度，没有超过 180 度的夹角.通过利用向 量具有方向的特点来确定夹角可以确保 正确确定余弦值. 再次，针对平面向量数量积的正 负问题，其解决方法是要熟练掌握三角 函数，尤其是其中的余弦定律，从而， 在正确确定两个向量之间的夹角之后可 以正确计算两个向量之间的夹角余弦值， 得出正确的平面向量数量积. 最后，针对许多学生缺乏应用平 面向量数量积的应用意识问题，其解决 方法是，要进行有意识的训练与暗示.每 当我们用一种方法解决一个问题之后， 要下意识地想一下，这个数学题，如果 用平面向量来解，能不能解呢.通过有意 识地使用，打破固化的解题思维，这对 于我们学生的创新思维以及创新意识的 培养是极其重要的. 四、结束语 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 数学知识的学习绝不意味着练习 越多越好，更重要的是要讲究方法与技 巧，沿