★初中数学竞赛试题精选

. 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位 数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数学竞赛专项训练（9）25 .可以被（ ）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解：依题意设六位数为 ，则abc a10 5b10 4c10 3a 102b10c a 102（10 31）bc b10（10 31）c（10 31）（a10 3b10c ） （10 31） 1001（a10 3b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。 故选 C 方法二：代入法 2、若 ，则 S 的整数部分是_2011980S 解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以 ，又9021892 1980、19812000 均小于 2001，所以 ，从而知201S S 的整数部分为 90。 3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都 是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一 下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生 进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以 那些编号为 1、2 2、3 2、4 2、5 2、6 2、7 2、8 2、9 2、10 2 共 10 盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该 店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. ma%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售 价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1a% ） b%元。 应选 C 5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 的所有可能|abca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 或 -1 C. 2 或-2 D. 0 或-2 解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 当 a，b，c 为两正一负时： ；0|1| abcaabc所 以， 当 a，b，c 为两负一正时： | cc所 以， 由知 所有可能的值为 0。|aba 应选 A 6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B 60，则 c A B Ca b 数学竞赛专项训练（9）27 的值为 （ bca ） A. B. 212 C. 1 D. 解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB ，AD2C 。在 Rt ADC 中，DC 2AC 2AD 2，所以有（a ） 2b 2 C2，整理得C23 43 a2c 2=b2ac，从而有 1)( 22 cacbcba 应选 C 7、设 ab0，a 2+b2=4ab，则 的值为 （ ba ） A. B. C. 2 D. 336 解：因为(a+b) 2=6ab，(a-b) 2=2ab，由于 ab，若两个三角形的最小内角相等，则 的值等于 （ ） A. B. C. D. 2132152325 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 与函数 的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，)0(kxyxy 则ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与 的大小关系是2ba 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分 线，若 AABB AB，则BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不 同的三个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数 恰好构成一个三角形的三条边的长 4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 图 8-6 A B D CP 图 8-4 A B C D A D CF C B E A B B D C 图 8-5 E A 数学竞赛专项训练（9）45 5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北 面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的 夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么 甲楼的影子落在乙楼上有多高？如 果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离 应当是米。 6、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的 一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC 6， 则 PB 16 米 20 米 A B C D 甲 乙 图 8-7 图 8-8 B A C P 三、解答题 1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线， 求证：AD （AB+AC）21 2、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大 边长度在哪个范围内变化？ 3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB 90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC 于点 F。 求证：四边形 CEDF 是正方形。 CD 22AEBF 4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三 角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条件的 k 的最小值 是多少？ 数学竞赛专项训练（8）参考答案 一、选择题 1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作 DGCE 于 G。 显然 DGEF AB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有21 CDDG 5，所以 CD 长度的最小值是 5。 2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得 AE16 ，DE8 ，于是 BEAE AB9，在 RtBEC 中，3 可求得 BC3 ，CE6 ，于是 CDDE CE 2 3 BCCD5 。 3、由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CF AD+AE+FDEB+BC+CF 1)(21CDBA A B D C 图 8-9 A C F BD E 图 8-10 A B C D PE F G 60A B C D E A D CB E F H G 数学竞赛专项训练（9）47 EFBC ，EFAD， FCDEBA 设 ，kFCDEBA 1416kCDk， AD+AE+FD3+ 解得 k43146 作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G， 则 GFHC AD 3，BH BCCH9-3 6 ， 5ABHG524BE 5392FE 4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，也就是 A+B90，B+C 90，C+A 90。2（A+B+C）270， AB C135 与 ABC 180矛盾。故 、 不可能都是锐角，假设 、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 AB90， CA 90，A (A B C)b，故 A 是ABC 的最小角，设 AQ，则以 b,b,a 为三边之三角 形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb， ACD Q ，因有公共底角B，所以有等腰ADC 等腰CBD，从而得 ，即 ，令 ，Cbaax 即得方程 ，解得 。选 B。012x215x 7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3 个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易 构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。 Q A B C D 8、A。设点 A 的坐标为（ ） ，则 ，故ABO 的面积为 ，又因为yx， 121xy ABO 与 CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。 二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别 为 M、 N，MN d，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分 别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结 MP、PN，则 MP ，NP ，显然恒有 ，2ab2bad 当 ADBC，由平行线等分线段定理知 M、N、P 三点 共线，此时有 ，所以 与 的大小关系是 。d )2(dba或 2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4x ABAA AABAB ACBD4x AAB )180(x ，于是可解出 x12。1804)180(x 3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有 7 个数组构成三角形三边长。 4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。 设 AGDHa ， BGCHb，AEBFc，DECF d， 则 2222DPadcBPCA， ， 于是 ，故 ，B 18453222BPCA DP3 2 5、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的 长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中， AEC90，ACE30，EC 20 米。 A B D C P M N A B D C P E F G Ha a bb c d 数学竞赛专项训练（9）49 所以 AEEC （米） 。6.1320tantanACE CDEBAB-AE16-11.6 4.4（米） 设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中， ACB30， AB16 米，所以 （米） 。所7.2316cotBBC 以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至 少要 27.7 米。 6、提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60 则ABP 60，BAP PBC， ABP BPC， ，BP 2APPCPCBA348PB 三、解答题 1、证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE。 BDDC ，ADDE，ADCEDB ACDEBD ACBE 在ABE 中，AEABBE，即 2ADABAC AD （ABAC）21 2、答案提示： 在ABC 中，不妨设 abc a+bc a+b+c2c 即 p2c c ，p 另一方面 ca 且 cb 2ca+b 3c 。3cpba 因此 23p 3、证明：ACB90，DE BC ，DF AC，DEAC，DEBC， 从而ECFDECDFC90。 CD 是角平分线 DEDF，即知四边形 CEDF 是正方形。 在 RtAED 和 RtDFB 中， DEBC ADEB RtAEDRtDFB ，即 DEDFAEBF CD DE DF，BFDEA2 FAEDC22 16 米 20 米 A B C D 甲 乙E A B D C E 4、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都 不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是 多少？符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断 扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使 k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a 1，a 2an 显然总有 ai 大于等于中的第 i 个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。 初中数学竞赛专项训练 （9） （面积及等积变换） 一、选择题： 1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上， 且 BPCD ，则图形中面积相等的三角形有 （ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE ，设 AF、CE 交于点 G，则 等于 （ ）ABCDGS矩 形四 边 形 A. B. C. D. 65544332 3、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 ，若在边 AC 上取一点 E，ABD1 使四边形 DECB 的面积为 ，则 的值为 （ ）43EC A. B. C. D. 2145 4、如图 9-3，在ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边， 在ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分 别交 AB 和 GH 于 D 和 K，则正方形 ACEF 的面积 S1 与矩形 AGKD 的面积 S2 的大小关系是 （ ） PA D C B O 图 9- 1 A B CD E FG 图 9-2 A B C D HG K F E 图 9-3 数学竞赛专项训练（9）51 A. S 1S 2 B. S1S 2 C. S 1S 2 D. 不能确定，与 的大小有关ABC 5、如图 9-4，四边形 ABCD 中，A 60，BD90， AD8，AB 7，则 BC+CD 等于 （ ） A. B. 5 C. 4 D. 33633 6、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩 形，设 a1，则正方形的面积为 （ ） A. B. 253 C. D. 712)( 7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa ，BCb，M 是 BC 的中点，DE AM，E 为垂足， 则 DE（ ） A. B. 24ba24a C. D. 2 2b 8、O 为ABC 内一点，AO 、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六 个小三角形，它们的面积如图 9-7 所示，则 SABC （ ） A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 二、填空题 1、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影 部分的面积为 2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18cm，腰上 的中线等于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于 3、如图 9-10，在ABC 中，CEEB 12，DEAC，若ABC 的 A B C D 图 9-4 a ba ab b 图 9-5 a b A B C D E M 图 9-6 A B CD EF O84 x y y 40 y 30 y 35 y 图 9-7 图 9- 8 A E D C F B A M CDB G 图 9-9 A C E BD 图 9-10 A BQ R D C E P 图 9-11 面积为 S，则ADE 的面积为 4、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且 BD4，DC 1，AE5， EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点 P，过点 P 分别作 PQCA，PR CB，它们分别与边 AB 交于点 Q、R，则 PQR 的面积与ABC 的面积之比为 5、如图 9-12，梯形 ABCD 中， ADBC，AD BC 2 5， AFFD11，BE EC23，E F、CD 延长线交于 G，用最简单的整数比来表示，S GFDS FED S DEC 6、如图 9-13，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB 4，PC5，则 PD 三、解答题 1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点， F 是 CD 上的点，S ABE S ADF S 矩形 ABCD。31 求： 的值。CEFA 2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F。 求证： 1FBAEDAB CD G F E图 9-12 A B C D P 图 9-13 A D F CEB 图 9-14 A B C D E F 图 9-15 数学竞赛专项训练（9）53 3、如图 9-16，在 ABCD 中，P 1、P 2、P 3Pn-1 是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延 长交 BC 于点 E，连结 APn-2 并延长交 CD 于点 F。 求证：EFBD 设 ABCD 的面积是 S，若 SAEF S，求 n 的值。8 4、如图 9-17，ABC 是等腰三角形，C 90，O 是ABC 内一点，点 O 到ABC 各边的距离等于 1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A 1B1C1，两三角形的公 共部分为多边形 KLMNPQ。 证明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。 求证：ABC 与A 1B1C1 公共部分的面积。 D B A CE F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16 图 9-17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O 数学竞赛专项训练（9）参考答案 一、选择题： 1、C。 ACDBPCDBPCDABOCADBA SSSSS ， 2、D。连结 AC，有 ，则3:1:G 。ABCDABCDABCDACDAGC 3212矩 形矩 形矩 形四 边 形 3、B。如图联结 BE， ，ES4 设 ，则xExAB1 431SAD， EC 4、A。解： ，因为 ，AGDS21， ACBRtDt 所以 ，即 ，又因为 ABAG，BBC 所以 ，所以应选 A。221S 5、B。解：如图延长 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中， 可求得 AE14，于是 DEAE，AD=6，又 BE ，在 RtCDE 中，可求得3 CD2 ，CE4 ，于是3 BCBECE ，BC+CD5 。 6、A。解：由右图与左图的面积相等，得 ，已知 ，所以有2)()(bab1a ，即 ，解得 ，从而正方形2)1(2(b0151 A E D B C A B C D E 60 数学竞赛专项训练（7）55 的面积为 。2537)3()1(2b 7、A。解：由ADEABM，得 DE 2224)1(babaAMBD 8、B。 ，即CDOADOASS30548xy 又 ，即EBBEA 7x ，解之得84213yx560y S ABC 84+40+30+35+70+56315。 二、填空题 1、 。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ABFMCF ，ah2阴 影 AFFM，S ABF S CMF。S 阴影 S DFM ，AF FM S ADF S MDF ， 。ABCD1梯 形阴 影 ahABCD梯 形 ah21阴 影 2、144。解：作 MNBC 于 N，AM MC ，MN AD，DN NC。 ，在 RtBMN 中，BM15，MN9。BN12，而9MN BDDC2DN ，3DN12，DN4，BC16， S ABC= ADBC 1816144。2 1 3、S ADE S。解：CEEB12，设 CEk，则 EB2k，DE AC，9 而 BEBC2k 3k23， ，S BDE S2)3(sBDE94 DEAC ， ，则 SADE SBDE S1CBA1ABDE219 4、 。解：过点 E 作 EFAD ，且交 BC 于点 F，则 ，所以1089 52EACD 。因为 PQCA，所以7525CDF 3874BPQ 于是 。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB，3140PQ 因为PQR CAB 故 。10894)32(CAPQSBR 5、126。解：设 AD2，则 BC5，FD1，EC3 GFGEFD EC13，GFFE12，S GFD S FED GFFE 12 显然有 SEFD S CED FDEC 13，S GFD S FED S CED 126。 6、3 。解：过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分 别交 AB、CD 于 G、H。设 AGDHa， BGCHb，AEBFc，DECFd，则 ，222222CadDcbBPcA ， 于是 ，故 ，DP 184532BPCA DP3 。2 三、解答题 1、设 BCa，CDb，由 ，得 。BE a， 则ABCD31矩 形SABE ab31E2 32 EC a。同理 FC b， 。3a8F ，bCSAED)(21梯 形 abF 153132SADFE 梯 形 。158abSCEFA 2、答案提示：连结 BE、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。 数学竞赛专项训练（7）57 3、解：因 ADBC ，AB DC，所以 DAPBEAPFDnn 2222 ， 从而有 AP222 BEnDPBFAn， 即 所以 EFBDn2 由可知 ，所以 ，同理可证nABSnSAFD21 SnABE21 显然 ，所以 ，2DCF 4CC 从而知 ，已知 所以有SE2)4(1 ,83AEF ，即Sn283 83)2(41n 解方程得 n6。 4、证明：连结 OC、OC 1，分别交 PQ、NP 于点 D、E，根据题意得COC 145。 点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1，OC 是ACB 的平分线。 ACB90 OCEOCQ45 同理OC 1DOC 1N45 OECODC 1 90 CQP CPQ C 1PNC 1NP45 CPQ 和C 1NP 都是等腰直角三角形。 BNMC 1NP45 A 1QKCQP 45 B45 A 145 BMN 和A 1KQ 都是等腰直角三角形。 B 1MLBMN90，AKLA 1KQ90 B 145 A45 B 1ML 和AKL 也都是等腰直角三角形。 在 RtODC 1 和 RtOEC 中， ODOE 1 ，COC 145 OCOC 1 CDC 1E -122 PQNP2（ -1）2 -2，CQCPC 1PC 1N （ -1）2 23)2(12CPQS 延长 CO 交 AB 于 H CO 平分ACB ，且 ACBC CHAB ， CH COOH +12 ACBCA 1C1B 1C1 （ 1）2 3)2(BS A 1QBN（2+ ）（ 2 -2）（2 ） 2 KQMN 1)2(BMNS AK（2+ ）（2 ） 2 )(AKL241)3)(S-S-AKLBMNCPQABMNPQ （ 多 边 形S 初中数学竞赛专项训练（10） （三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖） 一、填空题： 1、G 是ABC 的重心，连结 AG 并延长交边 BC 于 D，若 ABC 的面积为 6cm2， 则 BGD 的面积为（ ） A. 2cm 2 B. 3 cm2 A C B E 图 10-1 数学竞赛专项训练（7）59 C. 1 cm2 D. cm23 2、如图 10-1，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平分线与B 的外角的 平分线交于 E 点，则AEB 是（ ） A. 50 B. 45 C. 40 D. 35 3、在ABC 中，ACB 90，A20，如图 10-2，将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到ACB的位置， 其中 A、B分别是 A、B 的对应点，B 在 AB上，CA交 AB 于 D，则BDC 的度数为（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 4、设 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 84 5、如图 10-3，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6 ，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将 AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，CEF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、在ABC 中，A45，BC a，高 BE、CF 交于点 H，则 AH（ ） A. B. C. a D. a212a2 7、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A 1、B 1、C 1 分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的 对称点，若点 B 在A 1B1C1 的外接圆上，则ABC 等于（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 8、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线，垂心为 H，则其图中直角三角形的个数 是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题 1、如图 10-4，I 是ABC 的内心，A 40，则CIB 2、在凸四边形 ABCD 中，已知 ABBC CD DA2231，且ABC90，则 A B C D AB 图 10-2 A B CD DA E B C AD E B C F 图 10-3 A C I B D 图 10- 4A B C D E D图 10-5 DAB 的度数是 3、如图 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC 12，将矩形 ABCD 沿对角线对折，然 后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现 在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于 6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中线，P 是ABC 的重心，过 P 作 EF（EFBC ） ， 分别交 AB、AC 于 E、F，则 AFCB 三、解答题 1、如图 10-6，在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E，过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F。求证：OE OF 数学竞赛专项训练（7）61 2、在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF，过 E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。 求证：DEMDFN PAEPBF 3、如图 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N ，边 CN 并延长交 AB 于 E。 求证：EMBN AE C B F D P M N 图 10-7 A B C N M E D 图 10-8 4、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两于 C、D 两点，连结 BC、CD，设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点。 求证： BNPM KPMNQK A B C D M N K P Q 图 10-9 数学竞赛专项训练参考答案（10）63 数学竞赛专项训练（10）参考答案 一、选择题 1、解： 。选 C。)(12312cmSSABCABDBG 2、解：在 Rt ABC 中，C90，A 30，则ABC 60，因为 EB 是B 的 外角的平分线，所以ABE60，因为 E 是C 的平分线与 B 的平分线的交点， 所以 E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离，也等于 E 点到 CA 的距离，从而 AE 是A 的外角的平分线。 所以 ，AEB180607545。应选 B。75210B 3、解：依题意在等腰三角形 BCB 中，有BCB ，B 902070。 所以 18027040，即DCA40， 从而 BDCDCAA402060。应选 D。 4、解：设 AD 为中线，则 DG AG3，延长 GD 到 G，DG DG 3，21 。应选 C。723468 BCABCGB SS 5、解：由折叠过程知，DE AD6，DAE CEF 45，所以CEF 是等腰直角 三角形，且 EC862，所以 SCEF 2。故选 A。 6、解：取ABC 的外心及 BC 中点 M，连 OB、OC、OM，由于A45，故 BOC90， OM a，由于 AH2