《几何画板》及在数学教学中的应用

几何画板及在数学教学中的应用 摘 要 本文介绍几何画板的基本功能、众多特点以及它在数学教学中的应用。 关键词 几何画板；数学教学 0 引言 在 21 世纪，以计算机多媒体和互联网为代表的信息技术正迅速而深刻地改变着人们的 工作方式、交往方式、生活方式和思维方式，不少专家指出，信息技术必将改变传统的教 学内容、教学方式、教学模式与教学观念。在数学教学中，从课堂教学到课外辅导，从组 织练习到成绩的统计评估，从教师备课、同行交流到学生课内外活动的组织，信息技术在 推动数学教学改革方面都有着巨大潜力。 几何画板就是一个能让老师和学生操作的优秀学科软件，在动态的操作过程中，给 学生的比较和抽象活动创造了一种活动的空间和条件。学生能在活动中理解和掌握抽象的 概念。这样学生获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。既然几何画板有这样 强大的作用，下面我们来详细的探讨一下几何画板以及它在数学教学中的应用。 1 几何画板简介 首先我们来介绍一下该软件。 几何画板软件是由美国 Key Curriculum Press 公司制 作并出版的几何软件（官方站点为 /sketchpad/）,它的全名是几何画板- -21 世纪的动态几何 。 几何画板 是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何 等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。它以点 、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹 等，能显示或构造出其它较为复杂的图形。现有汉化的中文版可供我们使用，最新版本为 4.03 版，大家可购买光盘安装，或从网上下载安装（推荐下载站点，数学教育网 www.mat ） 。它的系统要求很低：PC486 以上兼容机、4M 以上内存、Windows 操作系统。 2 几何画板的基本功能 （1）作图 几何画板在图形绘制上比一般的绘图软件更为精准，更符合数学的严格要求。我 们可以使用工具栏的画点工具、画圆工具、画线工具（线段、射线、直线） ，作出基本的数 学图形。 （2）文字 在几何画板中可以对各种量进行文本标记和解释，例如对点、线元素的自动习惯 性标记，便于在教学过程中的理解。 （3）构造 要画某线段的中点，绘制某线的平行线、垂直线等具有一定几何关系的常用图形，可 以直接选中所需图形再选择“构造”菜单的相应工具即可构造出来。 （4）变换 使用几何画板中的“变换”菜单，可按指定值、计算值或动态值任意旋转、平移 、缩放原有图形，并在其变化中保持几何关系不变，从而方便我们研究图形的运动和变换 等问题。 （5）测算 使用几何画板中的“测算”菜单可精确地度量线段长度、各种角的角度等各种几 何元素，对测算出的值和画板上出现的元素、变量进行复杂的计算，包括常用的四则运算 、幂函数、三角函数等。 （6）图表 使用几何画板中的“图表”菜单使用者可以选择使用直角坐标系还是极坐标系。 可以在直接给出函数方程的情况下自动画出该函数的图象而不管该函数图象有多复杂。通 过动态改变函数参数的值，更深入地了解函数图象的变化规律。 （7）脚本 几何画板可随时记录几何图形的绘制过程，并用复原和恢复功能进行浏览。不仅 如此，脚本还可以把整个绘制过程用语言记下来。方便教师和学生学习和分析该课件的每 一步动作。 3 几何画板的众多特点 （1）方便的交流工具 由于每个画板都可以被用户按自己的意图修改并保存起来，它特别适合用来进行几何 交流、研究和讨论。小小鼠标轻而易举地改变了我们眼前的图形，人们由此把它称之为“ 动态黑板” 。它还是教师布置作业、学生完成作业的理想工具。 （2）优秀的演示工具 几何画板完全符合计算机辅助教学演示的要求，能准确地、动态地表达几何问题 。如果将它与大屏幕投影仪等设备配合使用，演示效果更完美。通过几何画板可以将 原来黑板或幻灯片上的“死图象”变成一个“活图象” ，真正把学生引入数形的世界。 （3）有力的探索工具 几何画板为探索式几何教学开辟了道路。可以用它去探索、发现、几何规律，建 立自己的认识体系，成为真正的研究者。它可以将我们从传统的演示练习型模式，转向研 究探索型模式。教师和学生可以在使用中发现、总结几何规律。 （4）重要的反馈工具 几何画板提供多种方法帮助教师了解学生的思路和对概念的掌握程度，如使用复 原、重复、隐藏、显示、建立脚本等功能，轻而易举地解决了许多令所有教师头疼的难题 。使教师不会为以前在教学中难以表达，学生难以接受的问题而烦恼。 （5）出色的整合工具 几何画板可为文字选择字体、字号，为图形添色，使用剪贴板与 Windows 中其他 程序交换信息。例如给几何画板加一幅图画和一段声音，或把所画图形插到 WORD 编辑的数学试卷中。同时新版的几何画板可以插入 powerpoint 幻灯片，flash 动画，可 以将各种媒体整合在一个课件中。 （6）简单的使用工具 几何画板操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发出不错的课件。它 无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，而 “把握几何关系” 而这正是每位数 学教师所擅长的，因此，它非常适合于几何老师使用。用几何画板进行开发速度非常 快，一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的数学老师开发一个难度适中的软件 只需 10 分钟左右。正因为如此，老师们才能把精力真正用于课程的设计而不是程序的编制 上，这样才能真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。 4 几何画板在数学教学中的具体应用 (1)使用几何画板辅助几何概念的讲解。数学概念是客观世界中空间形成和数量关 系及其本质属性在思维中的反映。因此要突破概念教学的难点,就是要突出概念所反映事物 的范围( 概念的外延)和概念的本质属性(概念的内涵) 。例如我们可以使用几何画板讲解 “圆的概念”，圆在教科书上的定义是“ 到定点的距离等于定长的点的集合 ”。首先我们在 几何画板上画一圆，圆心为点 O（如图一）,再在圆上取一点 P,将其设为追踪点,过圆心和 该点作一线段 OP，显示 OP 的长度,选中此点和圆,选择动画工具,使点绕圆运动,然后将圆隐 藏。这一动画显示了圆的形成过程。在动点运动的过程中,可以看到动、定点之间的距离始 终不变。还可以改变定长,重复演示。以上直观的演示,不但给学生一个清晰的圆的形成过程,而 且使学生对圆的概念理解得透彻,记得牢。我们再来看一个较难理解的概念“圆锥曲线的定 义”。曲线类型就有椭圆、双曲线、抛物线，由于这三种曲线的定义较为复杂，显然给学生 在直观理解定义上带来压力。这样我们可以在这部分教学中，借助几何画板演示三种 曲线的是如何通过定义构造出来的，使学生们能直观地感受了曲线的形成过程，加深印象 。同时又可以借助几何画板 ，在对三种曲线的形成过程作统一解释的基础上，加以归纳 和比较，改变离心率 e 的值使 e 取大于 1、等于 1、小于 1 时，分别得到双曲线、抛物线、 椭圆三种不同曲线。使学生们不仅知道了事物的来龙去脉，还在理解中进行了归纳和记忆 。 P O （图一） （2）使用几何画板辅助对数学公理、定理的理解。数学公理和定理在 数学教学中占了很大一部分内容。例如在讲解三角形全等的“边角边”公理时, 我们可以利用几何画板的点的平移功能作出一个三角形,并显示该三角形对 应的两边和夹角的数量。利用这个三角形的两边和夹角的数量构造出另外一个 三角形。最后让其中一个三角形的一个顶点移动到另一个三角形对应的顶点上, 可以看出两个三角形完全重合。而且还可改变原三角形的形状,而保持它的两边 和夹角的数量不变，结果两三角形始终可以重合。这样我们就直观地揭示了“ 只要两个三角形的两边及一夹角对应相等,它们一定可以重合(全等)。再例如我 们要证明圆 O 的两条相交弦 AB 与 CD，交于圆内一点 P（如图二），求证 PAP B=PCPD 即相交弦定理的结论。使用几何画板我们先画出圆 O 和它的两条 相交 AB 与 CD，用文字工具标记 P 点，接着使用测度菜单栏的计算工具，分别 计算 PAPB 和 PCPD 的值。通过计算结果我们知道这两个值是相等的。为了 进行进一步的研究我们使用鼠标拖动改变 PA，PB，PC，PD 及圆半径的长度，这 时发现各条线段的长度虽然改变了，但始终有 PAPB=PCPD 的结论。而且还 可以把 AB，CD 交于圆外一点（如图三），得出割线定理，将 A、B 两点重合为 点 A，使 PA 为圆的一条切线（如图四），得出切割线定理。整个教学过程一改 过去枯燥的理性阐述，而且步步深入。 A A A B C P D C D P C D P B （图二） （图三） （图四） （3）使用几何画板辅助数学图象、轨迹问题的动态分析。图象是数学 教学中的一个重要内容。例如关于二次函数（y=ax 2+bx+c）的图象问题的演示 。首先我们给出函数的三个参数的初始值 a=a0,b=b0,c=c0 (a0, b0, c0 为常数) ，然后再给出该图象的函数式。通过改变系数 a,b,c 的值，我们就可以全面地 了解函数在不同系数下的图象了，观察图象的变化，通过大量的演示结果，学 生自己得出系数 a、b、c 的值对二次函数的图象的影响。再看轨迹问题的教学 ，在传统的教学，认识轨迹形状是通过方程的形式，这当然也很有必要，但是 学生并没有真正看到“轨迹”，有时并不令人信服。例如我们来看这样一个问 题，动点 P（x，y）到定点 A（2，0）与到定直线，将 P 点设为追踪点，使它满 足条件 PA+(P 点到直线的距离)=6，几何画板将自动画出 P 点的轨迹。这样能大 大激发学生的学习兴趣，并能促使某些同学主动拷贝几何画板回家操作， 让几何画板挤占了他们的“游戏时间”。使学习数学知识既像在做有趣的 理化生实验，又像是在做游戏。 y P(x,y) A(2,0) x （图五） 总之，几何画板为我们开设了一个数学实验室，提供了一个理想的做 数学的环境。它不仅应成为教师教学的工具，更应该成为学生的有力的认知工 具。教师可以利用它丰富而方便的创造功能随心所欲地编写出自己需要的教学 课件。每位教师都需以极大的工作热情投入到了这项工作中，力争尽