中国矿业大学(徐州)08级,大一上学期,数学分析(1)试题(a卷)

中国矿业大学 0809 学年第 1 学期 数学分析(1) 试卷(A) 考试时间：120 分钟 考试方式：闭卷 学院_班级_姓名_学号_ 题号 一 二 三 总 分 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4得分 一、叙述题(每题 4 分共 20 分) 1叙述函数 在区间 上无界的定义和 的定义。()fx(,ablim()xbf 2叙述极限 存在的 Cauchy 准则，据此再叙述 不存在的充要lim()xf lim()xf 条件。 3叙述极限 存在的归结原则。0lim()xf 2 4叙述 在区间 上一致连续和不一致连续的定义。)(xfI 5叙述函数 是区间 上的凸函数的定义，并写出一个充要条件。()fxI 二、计算题（每题 8 分共 40 分） 1求 。lim!n 2设 ，且 ，求 。 (),1,0gxf()10,()2gg(1)f 3 3求 在 上的最大值与最小值。15345xxy2, 4求 。4 20coslimxeIx 5. 求 。xxd1)(22 三、证明题（每题 10 分共 40 分） 1设 在区间 上有界，记 ，证明)(xfI )(inf,)(supxmxfMII 。xIf,s() 2设 在 上连续，且f),a存在。证明 在 上一致)(limxff),a 4 连续。 3证明：当 时，成立不等式0,1x 。x)1ln( 4设 在 上二阶可导。若有 ，则存)(xf,ba 0)(,0)(bfabfa 在 ，使得 。0)(f 数学分析(1) 试卷(A)参考答案 5 一、叙述题(每题 4 分共 20 分) 1叙述函数 在区间 上无界的定义和 的定义。()fx(,ablim()xbf 2叙述极限 存在的 Cauchy 准则，据此再叙述 不存在的充要limx li()xf 条件。 3叙述极限 存在的归结原则。0li()xf 4叙述 在区间 上一致连续和不一致连续的定义。)(fI 5叙述函数 是区间 上的凸函数的定义，并写出一个充要条件。 以上各题参考教材，略。 二、计算题（每题 8 分共 40 分） 1求 。lim!n 解 记 ，显然 ，说明 有下界。又由于an0nana)3(1!)1(1 n 所以 从第三项开始单调下降。由单调有界定理知， 有极限，记为 。na naA 在递推关系式 两边取极限得na1 ，0A 即 。!limn 2设 ，且 ，求 。 (),1,0gxf()10,()2gg(1)f 解 因为 ，2()()1fxx 所以由洛必达法则得 6 211()()()limlixxggf 。1li()1x 3求 在 上的最大值与最小值。5345xy2, 解 )3(202 x 令 得驻点 . 计算,1 ， ， ， ，)(y1)0(y2)(7)(y 所以最大值 ，最小值 。2 4求 。40 2coslimxeIx 解 由麦克劳林公式得 ，)(241cos5o ，82xex 。)(12cos542o 所以求得 。12 )(12limcsli 450420 xoxeIxx 5. 求 。d1)(22 解 ,则 ，txsinxtcos 原式 t)i1(2ttdsin21tdcosan2 ta 7 )tan2d(t12Ctarcn 。x21t2 三、证明题（每题 8 分共 40 分） 1设 在区间 上有界，记 ，证明)(xfI )(inf,)(supxmxfMII 。xIf,s() 证 只证 的情况，否则 为常数结论显然成立。m 一方面，由 ，知 （ ）f)(xff)(Ix, 于是 mMffIx )(sup, 另一方面，由确界的定义，对 （不妨 ）， 使0Ix, ，2)(f 2)(xf 这时 2)( mMxff 综上两个方面，得 。MxffIx )(sup, 2设 在 上连续，且 存在。证明 在 上一致连续。f),a)(lifxf),a 证 因为 存在，由 Cauchy 准则知： ， ，只要 ，(limx0XXx, 就有 。)(f 又因为 在 上连续，所以 在 上连续，进而在 上一致,af1,a1,a 连续。即对上述 ， ，对任何 ，只要 就有)1(xx 。)(xf tx12 8 综上，可知 ，任何 ，只要 就有0),axx 。即 在 上一致连续。)(xff 3证明：当 时，成立不等式,1 。xx)1ln( 证 设 ，则)ln()ttf 。10,1l)l(1x 当 时，由 可推知0x ， 。x 当 时，由 可推知110 ， 。0xx1 从而得到 。x)ln(1 4设 在 上二阶可导。若有 ，则存)(xf,ba 0)(,0(bfabfa 在 ，使得 。0)(f 证 不妨假设 ，则由导数定义和极限保号性可知，存在),(f ，使得2121,(,xbax 。0)(,0)(21 bfxfaf 而 在 上连续，故由介