三角函数的应用题试题汇编

2016 年 12 月 20 日三角函数应用题 一解答题（共 30 小题） 1甲楼楼高 50 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面 的夹角为 30，此时，求： （1）如果两楼相距 50 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？ （2）小明住在乙楼 16m 高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午 12 时阳光不 被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到 1m，参考数据： 1.732）？ 2小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置 时，小明在点 A 处测得热气球底部点 C、中部点 D 的仰角分别为 50和 60，已知点 O 为 热气球中心，EAAB，OBAB，OBOD，点 C 在 OB 上，AB=30m，且点 E、A、B、O、D 在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？ （精确到 0.1m） （参考数据：sin500.7660，cos500.6428，tan50=1.192） 3如图，现有一张宽为 12cm 练习纸，相邻两条格线间的距离均为 0.6cm调皮的小聪在 纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知 sin= （1）求一个矩形卡通图案的面积； （2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？ 4某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地 面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相距 6 米，探测线与地面的 夹角分别是 30和 45，试确定生命所在点 C 的深度 （精确到 0.1 米，参考数据： 1.41， 1.73） 5某小区内因道路较窄，实行机动车单向行驶的措施，所以在车位设计上比较人性化如 图是两个车位的设计示意图，按照实际情况每个车位设计成长 5m、宽 2.4m 的矩形，且满 足 EF、MN 与两个车位所占的矩形 ABCD 场地的 BC 边形成的夹角为 30，求 BC 边的 长 6如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 ACB 行 驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC=10 千米，A=30，B=45则 隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 7如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22时，教学楼 在建筑物的墙上留下高 2m 的影子 CE；而当光线与地面的夹角是 45时，教学楼顶 A 在地 面上的影子 F 与墙角 C 有 13m 的距离（B、F、C 在一条直线上） 求教学楼 AB 的高 度 （参考数据：sin22 ，cos22 ，tan22 ） 8已知：如图，在ABC 中，AB=6 ，BC=8，B=60求： （1）ABC 的面积； 第 3 页（共 34 页） （2）C 的余弦值 9如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡 AD 的坡比为 2：3，背水坡 BC 的坡比为 4：3，大坝高 DE 为 20m坝顶宽 CD 为 45m求大坝的横截面积 10我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为 20 米，坡角 CBM=45 ，坡底路面 AB 与坡顶路面 CD 平行，如图 （1）求坡高 CM（结果保留根号） ； （2）为方便通行，现准备把坡角降为 30，为节约成本，计划把原斜坡 BC 上的半部分挖 去，填到原斜坡 BC 的下半部分，如图，点 O 为原斜坡 BC 的中点，EF 为新斜坡，求 原坡顶需要挖掉的长度（即 CF 的长度，结果精确到 0.1 米） （参考数据：（ ， ；可以用科学记算器） 11某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至 B1 层之间安装电梯，截面图如图 所示，底层与 B1 层平行，层高 AD 为 9 米，A 、B 间的距离为 6 米，ACD=20 （1）请问身高 1.9 米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在 B 处会不会碰到头？请说明理 由 （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示） 已知平台 EFDC，且 AE 段和 FC 段的坡度 i=1：2，求平台 EF 的长度 【参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36】 12某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BCAD ，斜坡 AB 长 22m，坡角BAD=60 ，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改 造经地质人员勘测，当坡角不超过 45时，可确保山体不滑坡 （1）求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长； （2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚 A 不动，坡顶 B 沿 BC 削进到 F 点处，问 BF 至少是多少米？ 13如图，在一个坡角为 40的斜坡上有一棵树 BC，树高 4 米当太阳光 AC 与水平线成 70角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段 AB，求树影 AB 的长 （结果保留一位小数） （参考数据：sin20=0.34，tan20=0.36，sin30=0.50，tan30=0.58，sin40=0.64，tan40 =0.84，sin70 =0.94，tan70=2.75） 14如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的 一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部 B 到小山坡脚 D 的距离 为 2 米，铁塔在小山斜坡上的影长 DC 为 3.4 米，斜坡的坡度 i=1：1.875，同时他测得自己 的影长 NH336cm，而他的身长 MN 为 168cm，求铁塔的高度 15如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD=20m，某人在点 A 处，测得塔底 C 的仰角为 45， 塔顶 D 的仰角为 60，求山高 BC（精确到 1m，参考数据： 1.41， 1.73） 第 5 页（共 34 页） 16如图，河对岸有一高层建筑物 AB，为测其高，在 C 处由点 D 用测量仪测得顶端 A 的 仰角为 30，向高层建筑物前进 50 米，到达 E 处，由点 F 测得顶点 A 的仰角为 45，已知 测量仪高 CD=EF=1.2 米，求高层建筑物 AB 的高 （结果精确到 0.1 米， ， ） 17如图，从热气球 C 上测得两建筑物 A、B 底部的俯角分别为 30和 60 度如果这时气 球的高度 CD 为 90 米且点 A、D 、B 在同一直线上，求建筑物 A、B 间的距离 18如图所示，当一热气球在点 A 处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点 B 的仰角 为 45，看高楼底部点 C 的俯角为 60，这栋楼高 120 米，那么热气球与高楼的水平距离为 多少米？（结果精确到 0.1 米，参考数据： ） 19如图，大楼 AB 高 16 米，远处有一塔 CD，某人在楼底 B 处测得塔顶的仰角为 38.5， 爬到楼顶 A 处测得塔顶的仰角为 22，求塔高 CD 及大楼与塔之间的距离 BD 的长 （参考 数据：sin22 0.37，cos220.93，tan220.40，sin38.5 0.62，cos38.50.78，tan38.5 0.80 ） 20如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在佳山 公路上测量“佳山” 高 AB于是他们采用了下面的方法：在佳山公路上选择了两个观察点 C、D（C 、D、B 在一条直线上） ，从 C 处测得山顶 A 的仰角为 30，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45，已知测角仪的高 CE 与 DF 的高为 1.5m，量得 CD=450m请你帮助他们计 算出佳山高 AB （精确到 1m， ， ） 21如图，某建筑物 BC 上有一旗杆 AB，小明在与 BC 相距 12m 的 F 处，由 E 点观测到 旗杆顶部 A 的仰角为 52、底部 B 的仰角为 45，小明的观测点与地面的距离 EF 为 1.6m （1）求建筑物 BC 的高度； （2）求旗杆 AB 的高度 （结果精确到 0.1m参考数据： 1.41，sin52 0.79，tan521.28） 22如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕 CD，点 A 是小 刚的眼睛，测得屏幕下端 D 处的仰角为 30，然后他正对屏幕方向前进了 6 米到达 B 处， 又测得该屏幕上端 C 处的仰角为 45，延长 AB 与楼房垂直相交于点 E，测得 BE=21 米， 请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离 CD （结果保留根号） 23广场上有一个充满氢气的气球 P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在 E、F 处， 他们看气球的仰角分别是 30、45，E 点与 F 点的高度差 AB 为 1 米，水平距离 CD 为 5 米，FD 的高度为 0.5 米，请问此气球有多高？ 第 7 页（共 34 页） （结果保留到 0.1 米） 24如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB 方向前 进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为多少？ 25天然气管道铺设工程从 B 向正东方向进行，如图所示，从 B 处测得 A 点位于 B 点北 偏东 60，从 B 向东前进 400m 到达 D 点，在 D 点测得 A 点位于北偏东 45方向，以 A 点 为中心，半径为 500m 的圆形区域为居民住宅区，请计算后回答：天然气管道铺设工程是 否会穿过居民住宅区？（ 1.732） 26如图，某公园有一小亭 A，它周围 100 米内是文物保持区，某勘探队员在公园由西向 东行走，在 B 处测得小亭 A 在北偏东 60的方向上，行走 200 米后到达 C 处，此时测得小 亭 A 在北偏东 30的方向上，若该公园打算沿 BC 的方向修一条笔直的小路，则此小路是 否会通过文物保护区？请通过计算说明 27马航飞机失联后，海空军部队第一时间赴相关海域开展搜寻工作，某舰船在 O 地修整 时发现在它的北偏西 60，距离它 40km 的 A 地有一艘搜索船向正东方向航行，经过 2 小 时后，发现此船已到达它东北方向的 B 处问搜索船从 A 处到 B 处的航速是多少千米/ 小 时（精确到 1 千米/小时）？（参考数据 1.414， 1.732， 2.236） 28如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45方向， 海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东 60方向，若海监船的速度为 50 海里/ 小时，求 A，B 之间的距离 （取 1.7，结果精确到 0.1 海里） 29某船向正东航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30，又航行了半小时到 D 处，望见灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 40 海里求 A、D 两点间的距离 （结果不取近似值） 30如图，某乡村小学有 A、 B 两栋教室，B 栋教室在 A 栋教室正南方向 36 米处，在 A 栋教室西南方向 300 米的 C 处有一辆拖拉机以每秒 8 米的速度沿北偏东 60的方向 CF 行驶，若拖拉机的噪声污染半径为 100 米，试问 A、B 两栋教室是否受到拖拉机噪声的影 响若有影响，影响的时间有多少秒？（计算过程中 取 1.7，各步计算结果精确到整数） 第 9 页（共 34 页） 2016 年 12 月 20 日三角函数应用题 参考答案与试题解析 一解答题（共 30 小题） 1甲楼楼高 50 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面 的夹角为 30，此时，求： （1）如果两楼相距 50 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？ （2）小明住在乙楼 16m 高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午 12 时阳光不 被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到 1m，参考数据： 1.732）？ 【分析】 （1）根据题意得出 CD=50m，ACD=30，再利用 AD=CDtan30求出即可； （2）根据题意得出 BF=16m，ABC=30 ，再利用 BC= 求出即可 【解答】解：（1）如图 1，过点 C 作 CDAD 于点 D， 由题意可得出：CD=50m，ACD=30， AD=CDtan30=50 29（m ） ， 甲楼的影子落在乙楼上有：5029=21（m ） ； （2）如图 2，过点 B 作 CB AC 于点 C， 由题意可得出：BF=16m，ABC=30 ， AC=5016=34（m） ， BC= = =34 59（m） ， 答：要是冬至中午 12 时阳光不被挡住，两楼至少距离 59 米 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数值和边长的关系，根据题意画出图形 是解题的关键 2小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置 时，小明在点 A 处测得热气球底部点 C、中部点 D 的仰角分别为 50和 60，已知点 O 为 热气球中心，EAAB，OBAB，OBOD，点 C 在 OB 上，AB=30m，且点 E、A、B、O、D 在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？ （精确到 0.1m） （参考数据：sin500.7660，cos500.6428，tan50=1.192） 【分析】过 E 点作 EFOB 于 F，过 D 点作 DGEF 于 G在 RtCEF 中，根据三角函 数得到 CF，在 RtDEG 中，根据三角函数得到 DG= EG，设热气球的直径为 x 米，得 到关于 x 的方程，解方程即可求解 【解答】解：如图，过 E 点作 EFOB 于 F，过 D 点作 DGEF 于 G 在 Rt CEF 中，CF=EFtan50=ABtan50=35.76m ， 在 Rt DEG 中，DG=EGtan60= EG， 设热气球的直径为 x 米，则 第 11 页（共 34 页） 35.76+ x= （30 x） ， 解得 x11.9 故热气球的直径约为 11.9 米 【点评】考查了解直角三角形的应用，三角函数的知识，方程思想，关键是作出辅助线构 造直角三角形 3 （2016路桥区一模）如图，现有一张宽为 12cm 练习纸，相邻两条格线间的距离均为 0.6cm调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格 线上，已知 sin= （1）求一个矩形卡通图案的面积； （2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？ 【分析】 （1）如图，在 Rt BCE 中，由 sin= 可以求出 BC，在矩形 ABCD 中由 BCD=90得到BCE+FCD=90，又在 RtBCE 中，利用已知求出条件 FCD=CBE，然后在 RtFCD 中，由 cosFCD= 求出 CD，因此求出了矩形图案的 长和宽；求得面积； （2）如图，在 RtADH 中，易求得DAH=CBE 由 cosDAH= ，求出 AH，在 RtCGH 中，由 tanGCH= 求出 GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即 最多能印几个完整的图案 【解答】解：（1）如图，在 RtBCE 中， sin= ， BC= = =1 矩形 ABCD 中， BCD=90， BCE +FCD=90 ， 又在 RtBCE 中， EBC +BCE=90， FCD=CBE 在 Rt FCD 中， cosFCD= ， CD= =1.5 卡通图案的面积为 1.5cm2 （2）如图，在 RtADH 中，易求得DAH=CBE cosDAH= ， AH= =1.25 在 Rt CGH 中，GCH=CBE tanGCH= ， GH=0.45 又101.25+0.4512，91.25+0.4512， 最多能印 9 个完整的图案 【点评】此题主要考查矩形的性质、解直角三角形等知识，难度较大，是一个综合性很强 的题目，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神 4 （2015鄂城区模拟）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队 利用生命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相距 6 米，探测线与地面的夹角分别是 30和 45，试确定生命所在点 C 的深度 （精确到 0.1 米， 参考数据： 1.41， 1.73） 第 13 页（共 34 页） 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x，在 RtACD 中表示出 AD，在 RtBCD 中表示出 BD，再由 AB=6 米，即可得出关于 x 的方程，解出即可 【解答】解：过点 C 作 CD AB 于点 D， 设 CD=x， 在 Rt ACD 中，CAD=30， 则 AD= CD= x， 在 Rt BCD 中，CBD=45， 则 BD=CD=x， 由题意得 xx=6， 解得：x3（ +1）8.2 答：生命所在点 C 的深度为 8.2 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角 函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用 5 （2014江南区校级模拟）某小区内因道路较窄，实行机动车单向行驶的措施，所以在车 位设计上比较人性化如图是两个车位的设计示意图，按照实际情况每个车位设计成长 5m、宽 2.4m 的矩形，且满足 EF、MN 与两个车位所占的矩形 ABCD 场地的 BC 边形成的 夹角为 30，求 BC 边的长 【分析】由题意可根据已知线段和三角函数分别得出 BE、EM 和 CM 的长度，将它们的长 度相加即可得到 BC 边的长 【解答】解：在 RtAHG 中，HG=2.4m， AH=HGtan30=0.8 m， 在 Rt ABE 中， AE=（5+0.8 ）m ， BE=AEsin30=（2.5+0.4 ）m ， 在 Rt EFM 中，EF=2.4m， EM=EFcos30 =0.8 m， 在 Rt MNC 中，MN=2.4m， MC=MNcos30=1.2 m， BC=BE+EM+CM=（2.5+2.4 ）m 答：BC 边的长是（2.5+2.4 ）m 【点评】考查了解直角三角形的应用，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题， 可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决 6 （2013呼和浩特）如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经过 C 地 沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC=10 千米， A=30 ，B=45则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保 留根号） 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，根据 AC=10，A=30，解直角三角形 求出 AD、CD 的长度，然后在 RtBCD 中，求出 BD、BC 的长度，用 AC+BC（AD+BD）即可求解 【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D， 在 Rt ACD 中， AC=10，A=30， DC=ACsin30=5 ， AD=ACcos30=5 ， 在 Rt BCD 中， B=45 ， BD=CD=5，BC=5 ， 则用 AC+BC（AD+BD）=10+5 （5 +5）=5 +5 5 （千米） 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走（5+5 5 ）千米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建 立直角三角形幷解直角三角形 第 15 页（共 34 页） 7 （2013清河区校级模拟）如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面 的夹角是 22时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2m 的影子 CE；而当光线与地面的夹角是 45时，教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13m 的距离（B、F、C 在一条直线上） 求教学楼 AB 的高度 （参考数据：sin22 ，cos22 ，tan22 ） 【分析】首先构造直角三角形AEM ，利用 tan22= ，求出即可教学楼 AB 的高度 【解答】解：过点 E 作 EMAB，垂足为 M 设 AB 为 x（m） RtABF 中，AFB=45， BF=AB=x， BC=BF+FC=x +13； 在 RtAEM 中，AEM=22， AM=ABBM=ABCE=x2， tan22 = ， = ， x=12 即教学楼的高为 12m 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 tan22= 是解题关键 8 （2013崇明县一模）已知：如图，在ABC 中，AB=6，BC=8，B=60求： （1）ABC 的面积； （2）C 的余弦值 【分析】 （1）首先作 AHBC，再利用B=60，AB=6，求出 BH=3，AH=3 ，即可求 出答案； （2）利用 Rt ACH 中，AH=3 ，CH=5，求出 AC 进而求出C 的余弦值 【解答】解：（1）作 AHBC，垂足为点 H 在 Rt ABH 中，AHB=90，B=60，AB=6， BH=3，AH=3 ， S ABC = 83 =12 ， （2）BC=8，BH=3 ，CH=5 在 Rt ACH 中，AH=3 ，CH=5， AC=2 cosC= = = 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关 键 9如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡 AD 的坡比为 2：3，背水坡 BC 的坡比为 4：3，大坝高 DE 为 20m坝顶宽 CD 为 45m求大坝的横截面积 【分析】利用三角函数求出 AE、BF 的长，又知道，DC=EF，求出 EF 的长，利用梯形面 积公式即可解答 【解答】解： = ，DE=20， = ， AE=30， 第 17 页（共 34 页） = ，CF=20， = ， FB=15， AB=AE+EF +FB=30+45+15=90（米） ， S= （45+90）20=1350（平方米） 大坝的横截面积为 1350 平方米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟悉三角函数和梯形面积公式是 解题的关键 10我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为 20 米，坡角 CBM=45 ，坡底路面 AB 与坡顶路面 CD 平行，如图 （1）求坡高 CM（结果保留根号） ； （2）为方便通行，现准备把坡角降为 30，为节约成本，计划把原斜坡 BC 上的半部分挖 去，填到原斜坡 BC 的下半部分，如图，点 O 为原斜坡 BC 的中点，EF 为新斜坡，求 原坡顶需要挖掉的长度（即 CF 的长度，结果精确到 0.1 米） （参考数据：（ ， ；可以用科学记算器） 【分析】 （1）根据勾股定理就可以直接求出 CM 即可； （2）作 FNEM 于点 N，根据矩形的性质可以得出 FN 的值，由勾股定理就可以求出 EN 的值，从而求出 EB 的值，再由 EBOFCO 就可以求出结论 【解答】解：（1）CMBM， CMB=90 CBM=45， BCM=45， BMC=BCM， BM=CM 在 Rt BMC 中，由勾股定理，得 BC2=CM2+BM2， 400=2CM 2， CM=10 答：CM=10 ； （2）作 FNEM 于点 N， FNB=90 ABCD ， EBO=FCO，BEO= CFO，FCM=BMC=90 ， 四边形 CMNF 为矩形， CM=FN=10 ， FEN=30 ， EF=2FN=20 在 Rt EFN 中，由勾股定理，得 EN=10 EB=10 10 点 O 为 BC 的中点， BO=CO 在EBO 和FCO 中 ， EBOFCO（AAS） ， BE=CF， CF=102.499101.41410.9 米 答：原坡顶需要挖掉的长度 CF 为 10.9 米 【点评】本题考查了勾股定理的运用，等腰直角三角形的运用，直角三角形的性质的运用， 矩形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用勾股定理求解是 关键 11某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至 B1 层之间安装电梯，截面图如图 所示，底层与 B1 层平行，层高 AD 为 9 米，A 、B 间的距离为 6 米，ACD=20 （1）请问身高 1.9 米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在 B 处会不会碰到头？请说明理 由 （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示） 已知平台 EFDC，且 AE 段和 FC 段的坡度 i=1：2，求平台 EF 的长度 【参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36】 第 19 页（共 34 页） 【分析】 （1）先过点 B 作 GBAB，交 AC 于点 G，根据ACD=20，ABCD，得出 BAG=20，再根据正切定理求出 BG 的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据 AD 的长求出 CD，再过点 F 作 FMCD，垂足为点 M，过点 E 作 ENAD ，垂 足为点 N，设 FM=x，则 AN=9x，根据 AE 段和 FC 段的坡度 i=1：2，求出 CM 和 NE 的 长，最后根据 EF=CD（CM NE） ，即可求出答案 【解答】解：（1）过点 B 作 GBAB，交 AC 于点 G， ACD=20，ABCD， BAG=20， BG=tan20 6=0.366=2.161.9 不会碰到头部； （2）AD=9 ， CD= =25， 过点 F 作 FMCD，垂足为点 M，过点 E 作 ENAD，垂足为点 N， 设 FM=x，则 AN=9x， AE 段和 FC 段的坡度 i=1：2， CM=2x，NE=2（9x）=18 2x， CM+NE=2x+ 182x=18， EF=CD （CMNE）2518=7（米） 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出 辅助线，构造直角三角形 12 （2014泰兴市二模）某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示， BCAD，斜坡 AB 长 22m，坡角BAD=60，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定 对该土坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过 45时，可确保山体不滑坡 （1）求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长； （2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚 A 不动，坡顶 B 沿 BC 削进到 F 点处，问 BF 至少是多少米？ 【分析】 （1）已知 AB=22，BAD=60利用 sin60可求出 BE=ABsin60=11 ； （2）作 FGAD，G 为垂足，连接 FA，则 FG=BE 利用 tan45求出 AG 的长 11 m，利 用 cos60求出 AE 长，让 AG 减 AE 即可 【解答】解：（1）作 BEAD ，E 为垂足，则 BE=ABsin60=22sin60= （m） （2）作 FGAD，G 为垂足，连结 FA， 则 FG=BE AG= = （m） ， AE=ABcos60=22cos60=11（m） ， BF=AGAE= （m） ，即 BF 至少是（ ）m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的 知识解决实际问题的能力 13 （2014市北区二模）如图，在一个坡角为 40的斜坡上有一棵树 BC，树高 4 米当太 阳光 AC 与水平线成 70角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段 AB，求树影 AB 的长 （结 果保留一位小数） （参考数据：sin20=0.34，tan20=0.36，sin30=0.50，tan30=0.58，sin40=0.64，tan40 =0.84，sin70 =0.94，tan70=2.75） 【分析】本题可通过构造直角三角形来解答，过 B 点作 BDAC，D 为垂足，在直角三角 形 BCD 中，已知 BC 的长，可求BCD 的度数，那么可求出 BD 的长，在直角三角形 ABD 中，可求DAB=70 40=30，前面又得到了 BD 的长，那么就可求出 AB 的长 第 21 页（共 34 页） 【解答】解：过 B 点作 BD AC，D 为垂足， 在直角三角形 BCD 中，BCD=1807090=20， BD=BCsin20=40.34=1.36 米， 在直角三角形 ABD 中，DAB=7040=30， AB=BDsin30=1.36 2.7 米 答：树影 AB 的长约为 2.7 米 【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三 角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决 14 （2014日照一模）如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射 下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部 B 到 小山坡脚 D 的距离为 2 米，铁塔在小山斜坡上的影长 DC 为 3.4 米，斜坡的坡度 i=1：1.875，同时他测得自己的影长 NH336cm，而他的身长 MN 为 168cm，求铁塔的高 度 【分析】作 AC 的延长线交 BD 的延长线于 E，作 CFDE，垂足为 F利用勾股定理和相 似三角形的性质求出 DF，FE，从而得到 BE 的长，再用相似三角形的性质求出 AB 即可 【解答】解：作 AC 的延长线交 BD 的延长线于 E，作 CFDE，垂足为 F 在 Rt CFD 中， i=1：1.875， 即 CF： DF=1：1.875=8 ：15； 设 CF=8x 米，则 DF=15x 米， 由勾股定理可得， （8x） 2+（15x） 2=CD2， CD=17x=3.4， x=0.2， DF=150.2=3 米，CF=80.2=1.6 米 FE：CF=NH：NM， FE：1.6=336：168， FE=3.2， BE=BD+DF+FE=2+3+3.2=8.2 米 AB：BE=MN ：NH， AB：8.2=168 ：336， AB=4.1 米 答：铁塔高度为 4.1 米 【点评】本题考查了坡度与坡角及相似三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键 15 （2009遵义）如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD=20m，某人在点 A 处，测得塔底 C 的仰角为 45，塔顶 D 的仰角为 60，求山高 BC（精确到 1m，参考数据： 1.41， 1.73） 【分析】易得 BC=AB，那么利用 60的正切值即可求得山高 BC 【解答】解：由题意可知：BDAB 于 B，CAB=45， DAB=60，CD=20m 设 CB 为 x 在CAB 中，CBA=90，CAB=45， CB=BA=x 在 Rt BDA 中，DBA=90，DAB=60， 第 23 页（共 34 页） tanDAB= ， AB= CD=20，BD=CB +CD， x= 解得：x27 答：山高 BC 约为 27 米 【点评】两个直角三角形共边，应设这边为未知数，利用相应的三角函数值求解 16 （2000杭州）如图，河对岸有一高层建筑物 AB，为测其高，在 C 处由点 D 用测量仪 测得顶端 A 的仰角为 30，向高层建筑物前进 50 米，到达 E 处，由点 F 测得顶点 A 的仰 角为 45，已知测量仪高 CD=EF=1.2 米，求高层建筑物 AB 的高 （结果精确到 0.1 米， ， ） 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形 Rt ADG、RtAFG ，应利用其公共边 AG，DF=DG FG 构造方程关系式，进而可解即可求出 答案 【解答】解：延长 DF 与 AB 交于 G，设 AG=x， 在 Rt ADG 中，有 AG=DGtan30= DG DG= x 在 Rt AFG 中，有 FG=AGtan45=x， DF=DGFG=50 米， x=25（ +1）68.3 米 AB=AG+GB=69.5 米 答：AB 的高约为 69.5 米 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三 角形 17 （2015甘南州）如图，从热气球 C 上测得两建筑物 A、B 底部的俯角分别为 30和 60 度如果这时气球的高度 CD 为 90 米且点 A、D 、B 在同一直线上，求建筑物 A、B 间 的距离 【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后， 相加求和即可 【解答】解：由已知，得ECA=30，FCB=60，CD=90， EFAB，CD AB 于点 D A= ECA=30，B= FCB=60 在 Rt ACD 中，CDA=90，tanA= ， AD= =90 =90 在 Rt BCD 中，CDB=90，tanB= ， DB= =30 AB=AD+BD=90 +30 =120 答：建筑物 A、B 间的距离为 120 米 【点评】解决本题的关键是利用 CD 为直角ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形， 然后求解分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长 18 （2013香洲区校级一模）如图所示，当一热气球在点 A 处时，其探测器显示，从热气 球看高楼顶部点 B 的仰角为 45，看高楼底部点 C 的俯角为 60，这栋楼高 120 米，那么热 气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到 0.1 米，参考数据： ） 【分析】过 A 作 ADBC 于点 D，设 BD=x，则 CD=120x，在 RtABD 和 RtACD 中 分别表示出 AD，则可解出 x 的值，继而得出答案 第 25 页（共 34 页） 【解答】解： 过 A 作 ADBC 于点 D，设 BD=x，则 CD=120x， 在 Rt ABD 中，BAD=45，BD=x， 则 AD=BD=x， 在 Rt ACD 中，CAD=60，CD=120x， 则 AD=CDcotCAD= （120x） ， 则（120x） =x， 解得：x43.9，即热气球与高楼的水平距离为距离为 43.9 米 答：热气球与高楼的水平距离为距离约为 43.9 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意掌握 仰角、俯角的定义，难度一般 19 （2012锦州）如图，大楼 AB 高 16 米，远处有一塔 CD，某人在楼底 B 处测得塔顶的 仰角为 38.5，爬到楼顶 A 处测得塔顶的仰角为 22，求塔高 CD 及大楼与塔之间的距离 BD 的长 （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin38.5 0.62，cos38.50.78，tan38.50.80 ） 【分析】过点 A 作 AECD 于点 E，由题意可知：CAE=22 ，CBD=38.5 ， ED=AB=16 米，设大楼与塔之间的距离 BD 的长为 x 米，则 AE=BD=x，分别在 RtBCD 中和 RtACE 中，用 x 表示出 CD 和 CE=AE，利用 CDCE=DE 得到有关 x 的方程求得 x 的值即可 【解答】解：过点 A 作 AECD 于点 E，由题意可知： CAE=22，CBD=38.5 ， ED=AB=16 米 设大楼与塔之间的距离 BD 的长为 x 米，则 AE=BD=x（不设未知数 x 也可以） 在 RtBCD 中，tan CBD= CD=BD tan 38.5 0.8x 在 RtACE 中，tanCAE= CE=AE tan 22 0.4x CDCE=DE 0.8x0.4x=16 x=40 即 BD=40（米） CD=0.840=32（米） 答：塔高 CD 是 32 米，大楼与塔之间的距离 BD 的长为 40 米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线， 构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答 20 （2012花山区校级模拟）如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外 实践活动，他们要在佳山公路上测量“佳山”高 AB于是他们采用了下面的方法：在佳山公 路上选择了两个观察点 C、D（C、D、B 在一条直线上） ，从 C 处测得山顶 A 的仰角为 30， 在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45，已知测角仪的高 CE 与 DF 的高为 1.5m，量得 CD=450m请你帮助他们计算出佳山高 AB （精确到 1m， ， ） 【分析】连接 EF 并延长交 AB 于 H，则可得到AEH 、AFH 均为直角三角形，在 Rt AFH 中，根据AFH=45 得到 AH=FH，最后设 AH=FH=x （m） ，则 EH=450+x 利用在 RtAEH 中，利用 30的正切值列出有关 x 的方程即可求解 【解答】解：连接 EF 并延长交 AB 于 H， 则AEH 、AFH 均为直角三角形， 在 Rt AFH 中， AFH=45， FAH=45 ，AH=FH ， 第 27 页（共 34 页） 设 AH=FH=x （m） ，则 EH=450+x （m ） ， 在 Rt AEH 中，tan30= ， ， 解得 x=225 +225 AB=225 +225+1.52251.73+226.5616（m ） 答：佳山高约为 616（m） 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三 角形 21 （2011大连）如图，某建筑物 BC 上有一旗杆 AB，小明在与 BC 相距 12m 的 F 处， 由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52、底部 B 的仰角为 45，小明的观测点与地面的距 离 EF 为 1.6m （1）求建筑物 BC 的高度； （2）求旗杆 AB 的高度 （结果精确到 0.1m参考数据： 1.41，sin52 0.79，tan521.28） 【分析】 （1）先过点 E 作 EDBC 于 D，由已知底部 B 的仰角为 45得 BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出 BC （2）由已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角 为 52可求出 AD，则 AB=ADBD 【解答】解：（1）过点 E 作 EDBC 于 D， 根据题意得：EFFC，EDFC， 四边形 CDEF 是矩形， 已知底部 B 的仰角为 45即BED=45， EBD=45， BD=ED=FC=12， BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6， 答：建筑物 BC 的高度为 13.6m （2）已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52，即AED=52， AD=EDtan52 121.2815.4， AB=ADBD=15.4 12=3.4 答：旗杆 AB 的高度约为 3.4m 【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直 角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解 22 （2011綦江县）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕 CD，点 A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端 D 处的仰角为 30，然后他正对屏幕方向前进了 6 米到达 B 处，又测得该屏幕上端 C 处的仰角为 45，延长 AB 与楼房垂直相交于点 E，测 得 BE=21 米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离 CD （结果保留根号） 【分析】易得 CE=BE，利用 30的正切值即可求得 CE 长，进而可求得 DE 长CE 减去 DE 长即为广告屏幕上端与下端之间的距离 【解答】解：CBE=45 ，CE AE， CE=BE CE=21， AE=AB+BE=21+6=27 在 Rt ADE 中，DAE=30， DE=AEtan30 =27 =9 ， CD=CEDE=219 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为（219 ）m 【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形； 难点是充分找到并运用题中相等的线段 23 （2006兰州）广场上有一个充满氢气的气球 P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分 别站在 E、F 处，他们看气球的仰角分别是 30、45，E 点与 F 点的高度差 AB 为 1 米，水 平距离 CD 为 5 米，FD 的高度为 0.5 米，请问此气球有多高？ （结果保留到 0.1 米） 第 29 页（共 34 页） 【分析】由于气球的高度为 PA+AB+FD，而 AB=1 米，FD=0.5 米，可设 PA=h 米，根据题 意，列出关于 h 的方程可求解 【解答】解：设 AP=h 米， （1 分） PFB=45， BF=PB=h+1， （2 分） EA=BF+CD=h+1+5=h +6， （ 3 分） 在 Rt PEA 中，PA=AE tan30， h=（h+6）tan30， （5 分） 3h=（h+6） ， h=