全国数学建模大赛眼科医院粗稿

第 1 页，共 52 页 2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2 2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 眼科病床的合理安排 摘要 关键词： 一、问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前， 例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等， 往往需要排队等待接受某种服务。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分四大类： 白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类 病人的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受 手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排 在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但 考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不 安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数 学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优 劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第 二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一 中的指标体系作出评价。 问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院 病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手 术时间安排是否应作出相应调整? 问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取 使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统 内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 二、问题分析 2 2.1 问题一 确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 2.2 问题二 建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二 天应该安排哪些病人住院，利用问题一中的指标体系做出评价。 2.3 问题三 根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大 致入住时间区间。 2.4 问题四 若该住院部周六、周日不安排手术，医院的手术时间安排是否应做出相应 调整。 2.5 问题五 医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，建立使 得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配 模型。 三、基本假设 四、符号说明 五、模型的建立与求解 5.1 问题一：评价该问题的病床安排模型的优劣 5.1.1 模型的建立 为了研究排队系统运行的效率，估计其服务质量，确定系统的最优参数，评价系 统的结构是否合理并研究其改进的措施，必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量 指标，这些数量指标通常是： 平均队长：指系统内顾客数（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数 学期望，记作 。sL 平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望，记作 。qL 平均逗留时间：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间） 的数学期望，记作 。sW 平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望，记作 。qW 平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再 次空闲止的时间）长度的数学期望，记作 。bT 还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的损失率以及以后经常遇到的服务强度等， 这些都是很重要的指标。 计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓系统的状态即指系统中顾客数， 如果系统中有 n 个顾客就说系统的状态是 n ，它的可能值是 1) 队长没有限制时， = 0,1,2,n 3 2) 队长有限制，最大数为 时， = 0,1,2，NnN 3) 损失制，服务台个数是 时， = 0,1,2,，cc 这些状态的概率一般是随时刻 而变化，所以在时刻 、系统状态为 的概率用t tn 表示。稳态时系统状态为 的概率用 表示。()nPt nP 5.1.2 模型的求解 根据题目中所给的数据，我们分为三个表格进行分析。表格一给出了在 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里，问诊的病人进过住院治疗之后又出院的记录； 表格二给出了 79 位正在住院接受治疗的病人且并未出院；表格三给出了在这段时间里 前来就诊但没有病床分配的病人的记录，也就是正在等待接受治疗的病人。 根据排队论的理论数量指标，可以计算出： （1）sfqL 也就是队长为 181，其中有 79 人正在接受服务，有 102 人正在等待接受服务。 根据题意本身可知，在表格一中 349 位病人的平均逗留时间和平均等待时间满足 以下公式： （2）sqfWt出 问 （3）入 问 具体计算结果附于表格中，可见附录表 1。这 349 位病人的平均逗留时间为 19.71 天，平均等待时间为 10.71 天。 根据对平均忙期的理解，我们根据表格一，可以理解为病人住院接受治疗的时间， 满足以下公式： （4）Tbt入出通过对平均值的计算，每台病床的平均忙期为 9 天。 对于系统状态的分析，即在某一时间内系统中顾客的人数，对于此题来说，就是 指病人的人数。那么在 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日的这段时间里，总病人 的人数是就诊治疗结束且出院的病人与正在住院、等待住院的病人之和，即为 530 人。 我们把 79 个病床作为 79 个服务台，总共有 530 个病人，根据病人出院的记录和 正在就诊病人的记录，利用 EXCEL 表格对它们按照时间进行排序，可以得到某一时刻 病人的多少，即它的系统状态。对于每一时刻系统状态的分析结果见附录表格 2。运用 MATLAB 拟合的方法求出稳态解，统计系统是否存在平衡状态，拟合后的图像如下图所 示： 4 图 5-1 系统状态分布的拟合图像 5.1.3 结果分析 经过上面对排队论数量指标的求解，分析可知，平均每位病人需要等待 11 天左右 去接受 9 天的实际治疗，比它本身治疗的时间还要长，让病人等待的很辛苦麻烦，有 时还会耽误病情，所以这个分配体系并不合理。其次，通过对数据的 EXCEL 处理，得 出每一天系统状态，即有多少病人前来就诊住院，观察拟合出的曲线图 5-1，此时并没 有明显的平衡状态，一直处于高度波动状态，更加有力的说明了原有的病床安排模型 相当不合理，存在很大的缺点。 5.2 问题二：建立合理的病床安排模型 5.2.1 模型的建立 根据排队论基本知识的了解，排队模型用六个符号表示，在符号之间用斜线隔开， 即 X /Y / Z / A/ B /C 。第一个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布； 第二个符号 Y 表示服务时间的分布；第三个符号 Z 表示服务台数目；第四个符号 A 是 系统容量限制；第五个符号 B 是顾客源数目；第六个符号 C 是服务规则，如先到先服 务FCFS，后到先服务LCFS 等。并约定，如略去后三项，即指 X /Y / Z / FCFS 的情形。 相当于题目给出的要求，总共有79台病床，即79个服务台， 为79，等待系统数 量无限制，顾客源数目也不受限制，服务规则上我们首先遵守的是先到先服务，但是 对于特殊的病患，如急诊外伤和白内障患者，都需要特殊考虑优先权服务。即此题， 我们推出 排队模型。/79/XYFCSPR 5.2.2 模型的求解 为了确定模型中的 X、Y，我们需要考虑到顾客到达的时间间隔分布和顾客所受服 务时间的分布。根据附件表格，我们统计出在两个月的时间内，共有 530 个人到眼科 医院进行问诊，其中 349 人已经接受过治疗服务并出院，79 人正在接受治疗并未出院， 102 正在等待住院治疗。通过 EXCEL 我们计算出两个月内每一天到医院问诊的人数，结 果附在附录表格 3 中，用 MATLAB 拟合出每天问诊数量所服从的规律分布，如图 5-2 所 示： 5 图 5-2 顾客到达时间间隔分布 由上图可以看出，每天到达的顾客量在 9 左右浮动，而最终也会趋于一个平衡状 态，所以我们说顾客到达的时间间隔服从负指数分布，即 。XM 同理，我们可以计算出每一位治愈病人所接受的服务时间，在问题一中，所指的 就是病床的忙期，利用 MATLAB 拟合出每一位病人服务时间的分布图像，如图 5-3： 图 5-3 顾客接受服务的时间分布 由上图，我们同样可以看出，时间分布在 10 左右波动，即最终也会趋于一个平衡 状态，所以我们说服务时间的分布也服从负指数分布，即 。YM 即排队论模型为 ,表示顾客到达间隔时间为负指数分/79/MFCSPR 布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有 79 个服务台；系统等待空间容量无限(等待 制)；顾客源无限，采用先到先服务和优先权服务结合的服务规则。 对于服务规则上，我们采取了先到先服务和优先权服务结合，其特殊性就在于， 题目中给出的几种病患的特殊性，第一点在于外伤患者，外伤来到医院之后，当天就 6 要住院并接受治疗，不能接受长时间的等待，延误病情，所以遇到外伤等待服务的， 要立即安排床位。第二点在于白内障患者，医院规定，只在周一和周三进行白内障手 术，其他非急诊手术不予处理，考虑到规定的特殊性和时间的特殊性，我们将单独考 虑白内障患者。 1）第一优先权：外伤 根据对表格一、二的分析，共有 428 位病人，其中外伤占 63 人，治疗痊愈 55 人， 正在住院 8 人。根据公式可求出其所占的比例： （5）XxP外外 可求得外伤所占的概率为 0.147196，根据外伤比例我们可以为它预留出几个空床 位，或者称之为外伤专用床位，则床位数满足： （6）*mb外 计算结果为 11.6285，取整后为 12 个外伤专用病床。即我们设置的病床安排模型 中，有 12 个病床是专门为急诊外伤而留下的，非急诊的其他疾病患者是不能够使用的， 以免急诊患者到来时没有病床，耽误病情。 2）第二优先权：白内障 根据题目可知，对于双眼都需要治疗的白内障患者，术前准备 1-2 天，周一先做 一只眼，周三再做一只眼。对于单眼治疗的白内障患者，术前准备 1-2 天，周一或者 周三都可以完成手术。所以，如果病床在周六或者周一空出来的话，那么我们首先考 虑白内障患者，根据等待的顺序安排手术住院。此时，我们就需要将等待的白内障患 者单独跳出来根据问诊时间顺序列一个表格，见附录表格 4。 根据问题二的题意，当第二天为周六的时候，我们就优先考虑 1 号、6 号、9 号、 18 号、19 号等等，等到双眼的患者安排完之后，我们再选择单眼治疗的，根据病床数 目来决定安排几位白内障患者；当第二天为周一的时候，我们就优先考虑 7 号、14 号、 22 号、25 号等等，以方便住进后就能安排手术；当第二天不是周六也不是周一的时候， 我们就严格按照所有等待病人的先后顺序，依次住院进行治疗。 5.2.3 结果分析 在模型的建立中，我们分析顾客到达时间间隔和服务时间的分布，确定它们都符 合负指数分布，从而确定了排队论的模型。然后在排队规则上，我们根据时间的不同， 提出了两个优先权，首先根据外伤急诊的特殊性，让医院预留出外伤患者的 12 个专用 病床。其次，根据白内障患者手术时间的特殊性，优先白内障患者及时住院治疗，以 便减少等待时间和实际服务时间。也减少了其他患者的等待时间。 根据问题三中所得到的结果，利用估计的出院时间来计算评价排队模型的各种数 量指标。即新搬进的 67 名病人的平均等待时间为 9 天，比问题一中所得出的平均等待 时间 12 天要少三天，即这个排队规则更为合理，为病人节省了不必要的等待时间。 5.3 问题三：根据已知住院记录，告知等待病人大致入院的时间 5.3.1 模型的建立 根据表格中给出的数据，表格一中详细列出了 349 位病人的问诊、入院、出院的 记录情况，可以通过这些数据计算出白内障、青光眼、视网膜疾病、外伤这四种病在 手术之后的康复天数，满足公式： （7）tt出康 术 每一位病人的康复时间就是出院时间和最后一次手术时间的差值，计算出的结果 见附录表格 5。然后计算出五种疾病的平均康复时间，对应计算出表格二中 79 位在诊 7 病人的大致出院时间，计算结果整理如下表 5-4： 疾病名称 平均康复天数 白内障 2.96 白内障（双眼） 3.03 青光眼 8.08 视网膜疾病 10.17 外伤 6.04 表 5-4 疾病的平均康复时间统计 对于 79 位在诊病人，根据公式： （8）tt出 术 康 可以估计出 79 位病人的出院时间，计算的结果见表格 5-5。 5.3.1 模型的求解 此时，我们已知在诊病人什么时候出院，那么就需要安排等待的病人住进即将空 出的病床位。根据问题二所得的的结果和排队规则，我们将 79 台病床分成两类，一类 病床 12 台为外伤专门而定，所以表格三中 9 月 11 日出现的外伤患者我们就不再讨论， 只需要按照指定规则住进特殊病床即可。那么此时，第二类病床 67 台，为其他 101 位 等待病人而设，所以只需要计算出前 67 个时间里哪些病人入院即可。 我们采取的有先到先服务规则和优先权规则，所以需要逐一分析 79 个病人的出院 日期。例如，第一位病人，在 2008 年 9 月 11 日星期四出院，这一天不是周六也不是 周一，那么按照先到先服务规则，安排等待病人的 1 号入院，等待病人的序号是按照 问诊时间的先后排列的。而第三位病人，在 2008 年 9 月 13 日星期六出院，这一天我 们需要优先考虑白内障双眼患者，所以让 6 号病人提前住院，尽早接受治疗。以此类 推，到了第 24 为病人，在 2008 年 9 月 15 日星期一出院，需要优先考虑白内障单眼患 者，又为了不和之前住过的病人重复，所以让 33 号病人入院。类似于这种规则，我们 分析前 67 位病人的出院情况，安排 67 位等待的病人住院，具体安排结果如下表 5-5： 原住院 病人序 号 原患者 大致出院时间 新住院病 人序号 原住院病 人序号 原患者 大致出院时间 新住院 病人序 号 13 白内障 2008 年 9 月 11 日星期四 1 2 视网膜疾病 2008 年 9 月 10 日星期三 39 43 白内障 2008 年 9 月 11 日星期四 2 5 视网膜疾病 2008 年 9 月 14 日星期日 40 48 白内障 2008 年 9 月 13 日星期六 6 6 视网膜疾病 2008 年 9 月 14 日星期日 41 52 白内障 2008 年 9 月 13 日星期六 9 8 视网膜疾病 2008 年 9 月 14 日星期日 42 65 白内障 2008 年 9 月 18 日星期四 3 9 视网膜疾病 2008 年 9 月 15 日星期一 58 67 白内障 2008 年 9 月 18 日星期四 4 12 视网膜疾病 2008 年 9 月 15 日星期一 68 70 白内障 2008 年 9 月 18 日星期四 5 14 视网膜疾病 2008 年 9 月 16 日星期二 43 3 白内障(双眼) 2008 年 9 月 13 日星期六 18 15 视网膜疾病 2008 年 9 月 16 日星期二 44 7 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 7 16 视网膜疾病 2008 年 9 月 16 日星期二 46 10 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 8 17 视网膜疾病 2008 年 9 月 16 日星期二 47 11 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 10 18 视网膜疾病 2008 年 9 月 16 日星期二 48 19 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 11 20 视网膜疾病 2008 年 9 月 17 日星期三 49 21 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 12 23 视网膜疾病 2008 年 9 月 17 日星期三 50 22 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 13 27 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 51 26 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 14 31 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 52 28 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 15 33 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 53 29 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 16 34 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 54 32 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 17 37 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 55 35 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 19 38 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 56 40 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 20 42 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 57 8 41 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 21 45 视网膜疾病 2008 年 9 月 19 日星期五 59 44 白内障(双眼) 2008 年 9 月 10 日星期三 22 46 视网膜疾病 2008 年 9 月 21 日星期日 60 50 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 23 47 视网膜疾病 2008 年 9 月 21 日星期日 61 53 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 24 49 视网膜疾病 2008 年 9 月 21 日星期日 62 57 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 25 51 视网膜疾病 2008 年 9 月 21 日星期日 63 58 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 26 54 视网膜疾病 2008 年 9 月 22 日星期一 71 63 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 27 55 视网膜疾病 2008 年 9 月 22 日星期一 73 66 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 28 56 视网膜疾病 2008 年 9 月 22 日星期一 75 68 白内障(双眼) 2008 年 9 月 17 日星期三 29 36 青光眼 2008 年 9 月 17 日星期三 32 4 青光眼 2008 年 9 月 12 日星期五 30 39 青光眼 2008 年 9 月 17 日星期三 34 24 青光眼 2008 年 9 月 15 日星期一 33 59 青光眼 2008 年 9 月 19 日星期五 36 25 青光眼 2008 年 9 月 15 日星期一 35 60 青光眼 2008 年 9 月 20 日星期六 38 30 青光眼 2008 年 9 月 17 日星期三 31 62 青光眼 2008 年 9 月 20 日星期六 45 1 视网膜疾病 2008 年 9 月 10 日星期三 37 表 5-4 对前空病床做出的安排调整 5.3.1 问题的分析 根据以上表格就可以推算出等待病人大致的入院时间，根据对新入院病人序号的 统计，可以知道等待病人中的前 63 位都可以在不同的时间入院，而 68 号、71 号、73 号、75 号则因为患者的特殊性和时间的特殊性提前入院。这种方法既能够保证先到先 服务，又保证了白内障患者及时就诊的可能。 5.4 问题四：该住院部周六、周日不安排手术，重新安排手术和住院情况 5.4.1 模型的建立 题目假设该住院部周六周日不安排手术，那么问题二的病床分配模型也会随之改 变。所以为了合理安排白内障手术时间，使得病人等待服务的时间越来越短，我们需 要制定合理的入院方案和手术时间方案。 首先根据题意要求，白内障手术的术前准备时间为 1-2 天，其他非急诊疾病手术 的术前准备时间为 2-3 天，而白内障双眼的手术又必须隔天进行，所以我们分为以下 三种方案进行讨论分析。为了让让手术准备效率提高，我们尽量使得不安排多种疾病 在同一天入院。 方案一：周一和周三安排白内障手术 疾病名称 入院时间安排 白内障（双眼） 周五、周六 白内障（单眼） 周一、周日 其他非急诊疾病 周二 表 5-5 方案一 可以看出，一周中周三和周四没有被安排座位入院时间。 方案二：周二和周四安排白内障手术 疾病名称 入院时间安排 白内障（双眼） 周六、周日 白内障（单眼） 周一、周二 其他非急诊疾病 周四、周五 表 5-6 方案二 可以看出，一周中周三没有被安排作为入院时间。 方案三：周三和周五安排白内障手术 疾病名称 入院时间安排 白内障（双眼） 周日、周一 白内障（单眼） 周二、周三 9 其他非急诊疾病 周四、周五、周六 表 5-7 方案三 可以看出，一周中每一天都可以被安排作为入院时间，充分利用了一周每一天的 时间，且让病人等待服务的时间变得最小。 5.4.1 模型的求解 所以，我们采取方案三，在周三和周五安排白内障手术，进一步去分析，周六、 周日不安排手术，那么只剩下周一、周二、周四这三天来安排青光眼和视网膜的手术。 在计算过程中，我们可以发现，当其他疾病安排在周四时，安排入院应该在周日 和周一，这与白内障（双眼）的安排入院时间重复，所以排除。当安排在周二的时候， 入院时间为周五和周六，当安排在周一的时候，周四和周五为入院时间。 所以，经过排除，只有周一和周二能安排其他手术，那么就只剩下两种情况。第 一种就是周一手术青光眼，周二手术视网膜疾病；第二种就是周一手术视网膜疾病， 周二手术青光眼。至此，我们已经把每一种疾病的手术时间、入院时间都确定到了一 周的某一天，让病人能够根据自己的病情更加熟悉的了解到手术情况和所受服务情况。 5.4.1 问题的分析 重新考虑问题二，在原有的模型中，我们只是特殊考虑了周六和周一空出的病床， 然后让白内障患者提前住院。只满足了问题四中的一部分优先权。在问题四中，我们 将四种疾病的入院情况都确定下来，那么就可以直接根据问题三中预测的 79 位病人的 出院情况作调整，将等待的病人一一安排入院，那么它的平均等待时间必然要比问题 二的平均等待时间更短，模型更优化。 5.5 问题五：医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，建 立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例 分配模型。 5.5.1 模型的建立 为了使各类病人占用病床的比例大致固定，我们必须知道在那两个月内，各类病 人来问诊的数目，即对三个表格数据进行统计，统计结果如下表 5-8 所示： 疾病名称 所占人数 所占比例 白内障（单眼） 100 人 18.868% 白内障（双眼） 133 人 25.094% 青光眼 63 人 11.887% 视网膜疾病 170 人 32.075% 外伤 64 人 12.075% 表 5-8 为了使所有病人在系统内的平均逗留时间最短，我们根据表格一中的数据，利用 EXCEL 算出每一位病人的逗留时间，从而分析出每一种疾病的逗留时间，计算结果进附 录表格 1。然后利用目标线性规划的方法，设立最小逗留时间为单目标，病床数目一定 为约束，而且与表 5-8 中所患病人数目成比例。列出如下模型： 目标函数： 12345min705.92.78.0Zxxx （9） 约束条件： 1079x 10 （10） 2079x （11） 3 （12） 4079x （13） 5 （14） 1234579xx 352 48.6%.0.%1.872.0%xx （15） 5.5.1 模型的求解 利用 LINGO11.0 对以上模型进行求解，得到的结果如下图 5-9 所示： 图 5-9 计算结果 白内障（双眼）病床安排 15 个，白内障（单眼）病床安排 20 个，视网膜疾病病 床安排 25 个，青光眼病床安排 9 个，外伤病床安排 10 个。 5.5.1 问题的分析 根据模型求解的结果，我们可以求出最小逗留时间为 1602.21 天，平均每台病床 的逗留时间为 2.05 天，而对于原有的模型，它的逗留时间为 6873 天，平均每台病床 逗留时间为 19.71 天。显而易见，安排之后的逗留时间要比原有的小了近 8 倍，让医 院的工作效率更强更大了。 六、模型的评价和改进 6.1 模型的优点 6.2 模型的缺点 11 6.3 模型的改进 七、参考文献 1慧光，独立光伏系统最佳倾角计算研究J,节能技术与市场 。 2姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版)M，北京:高等教育出版社，2003。 3薛毅，数学建模基础M，北京：北京工业大学出版社，2005。 4马莉，MATLAB 数学实验与建模M，北京：清华大学出版社，2010。 5任升录，关于线性回归模型的显著性检验，数学数学，2012年第三期，7-8,2012。 附录： 附表1 2008-7-13至2008-9-11时间内治愈出院病人的逗留时间、等待时间统计图 序号 类型 门诊时间 入院时间 出院时间 逗留时间(天) 等待时间（天） 忙期（天） 1 外伤 2008-7-13 2008-7-14 2008-7-19 6.00 1.00 5.00 2 视网膜疾病 2008-7-13 2008-7-25 2008-8-8 26.00 12.00 14.00 3 白内障 2008-7-13 2008-7-25 2008-7-31 18.00 12.00 6.00 4 视网膜疾病 2008-7-13 2008-7-25 2008-8-4 22.00 12.00 10.00 5 青光眼 2008-7-13 2008-7-25 2008-8-5 23.00 12.00 11.00 6 视网膜疾病 2008-7-13 2008-7-26 2008-8-11 29.00 13.00 16.00 7 白内障(双眼) 2008-7-13 2008-7-26 2008-8-2 20.00 13.00 7.00 8 视网膜疾病 2008-7-14 2008-7-26 2008-8-6 23.00 12.00 11.00 9 白内障(双眼) 2008-7-14 2008-7-26 2008-8-1 18.00 12.00 6.00 10 白内障 2008-7-14 2008-7-26 2008-7-30 16.00 12.00 4.00 11 视网膜疾病 2008-7-14 2008-7-26 2008-8-8 25.00 12.00 13.00 12 白内障(双眼) 2008-7-14 2008-7-26 2008-8-2 19.00 12.00 7.00 13 白内障(双眼) 2008-7-14 2008-7-26 2008-8-2 19.00 12.00 7.00 14 青光眼 2008-7-14 2008-7-27 2008-8-4 21.00 13.00 8.00 15 视网膜疾病 2008-7-14 2008-7-27 2008-8-9 26.00 13.00 13.00 16 视网膜疾病 2008-7-14 2008-7-27 2008-8-6 23.00 13.00 10.00 17 视网膜疾病 2008-7-15 2008-7-27 2008-8-12 28.00 12.00 16.00 12 18 白内障 2008-7-15 2008-7-27 2008-7-30 15.00 12.00 3.00 19 青光眼 2008-7-15 2008-7-27 2008-8-5 21.00 12.00 9.00 20 白内障(双眼) 2008-7-15 2008-7-27 2008-8-2 18.00 12.00 6.00 21 视网膜疾病 2008-7-15 2008-7-27 2008-8-9 25.00 12.00 13.00 22 青光眼 2008-7-15 2008-7-27 2008-8-6 22.00 12.00 10.00 23 白内障 2008-7-15 2008-7-27 2008-7-30 15.00 12.00 3.00 24 白内障 2008-7-15 2008-7-27 2008-7-30 15.00 12.00 3.00 25 白内障(双眼) 2008-7-15 2008-7-28 2008-8-9 25.00 13.00 12.00 26 视网膜疾病 2008-7-15 2008-7-28 2008-8-10 26.00 13.00 13.00 27 青光眼 2008-7-16 2008-7-28 2008-8-7 22.00 12.00 10.00 28 白内障 2008-7-16 2008-7-28 2008-8-3 18.00 12.00 6.00 29 外伤 2008-7-16 2008-7-17 2008-7-22 6.00 1.00 5.00 30 白内障(双眼) 2008-7-16 2008-7-28 2008-8-9 24.00 12.00 12.00 31 视网膜疾病 2008-7-16 2008-7-28 2008-8-10 25.00 12.00 13.00 32 白内障(双眼) 2008-7-16 2008-7-28 2008-8-9 24.00 12.00 12.00 33 视网膜疾病 2008-7-16 2008-7-28 2008-8-11 26.00 12.00 14.00 34 视网膜疾病 2008-7-17 2008-7-28 2008-8-10 24.00 11.00 13.00 35 白内障 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-3 17.00 12.00 5.00 36 视网膜疾病 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-8 22.00 12.00 10.00 37 视网膜疾病 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-10 24.00 12.00 12.00 38 白内障(双眼) 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-8 22.00 12.00 10.00 39 白内障(双眼) 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-8 22.00 12.00 10.00 40 外伤 2008-7-17 2008-7-18 2008-7-28 11.00 1.00 10.00 41 青光眼 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-7 21.00 12.00 9.00 42 白内障(双眼) 2008-7-17 2008-7-29 2008-8-9 23.00 12.00 11.00 43 白内障(双眼) 2008-7-17 2008-7-30 2008-8-8 22.00 13.00 9.00 44 白内障(双眼) 2008-7-17 2008-7-30 2008-8-10 24.00 13.00 11.00 45 白内障(双眼) 2008-7-17 2008-7-30 2008-8-8 22.00 13.00 9.00 46 视网膜疾病 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-8 21.00 12.00 9.00 47 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-10 23.00 12.00 11.00 48 外伤 2008-7-18 2008-7-19 2008-7-26 8.00 1.00 7.00 49 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-9 22.00 12.00 10.00 50 白内障 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-6 19.00 12.00 7.00 51 青光眼 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-8 21.00 12.00 9.00 52 视网膜疾病 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-11 24.00 12.00 12.00 53 外伤 2008-7-18 2008-7-19 2008-7-25 7.00 1.00 6.00 54 白内障 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-7 20.00 13.00 7.00 55 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-8 21.00 13.00 8.00 56 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-9 22.00 13.00 9.00 57 视网膜疾病 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-13 26.00 13.00 13.00 58 视网膜疾病 2008-7-19 2008-7-31 2008-8-14 26.00 12.00 14.00 59 白内障 2008-7-19 2008-7-31 2008-8-8 20.00 12.00 8.00 60 白内障(双眼) 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-9 21.00 13.00 8.00 61 视网膜疾病 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-8 20.00 13.00 7.00 62 视网膜疾病 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-11 23.00 13.00 10.00 63 青光眼 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-11 23.00 13.00 10.00 64 白内障 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-7 19.00 13.00 6.00 65 外伤 2008-7-19 2008-7-20 2008-7-25 6.00 1.00 5.00 66 白内障 2008-7-19 2008-8-2 2008-8-8 20.00 14.00 6.00 13 67 青光眼 2008-7-19 2008-8-2 2008-8-16 28.00 14.00 14.00 68 视网膜疾病 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-13 24.00 13.00 11.00 69 白内障 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-8 19.00 13.00 6.00 70 白内障(双眼) 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-9 20.00 13.00 7.00 71 白内障 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-7 18.00 13.00 5.00 72 白内障 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-7 18.00 13.00 5.00 73 外伤 2008-7-20 2008-7-21 2008-7-29 9.00 1.00 8.00 74 外伤 2008-7-20 2008-7-21 2008-7-28 8.00 1.00 7.00 75 视网膜疾病 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-14 25.00 13.00 12.00 76 视网膜疾病 2008-7-20 2008-8-2 2008-8-16 27.00 13.00 14.00 77 白内障 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-6 16.00 13.00 3.00 78 外伤 2008-7-21 2008-7-22 2008-7-29 8.00 1.00 7.00 79 白内障(双眼) 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-9 19.00 13.00 6.00 80 白内障(双眼) 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-9 19.00 13.00 6.00 81 外伤 2008-7-21 2008-7-22 2008-7-27 6.00 1.00 5.00 82 白内障 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-6 16.00 13.00 3.00 83 白内障(双眼) 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-9 19.00 13.00 6.00 84 白内障(双眼) 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-9 19.00 13.00 6.00 85 白内障(双眼) 2008-7-21 2008-8-4 2008-8-16 26.00 14.00 12.00 86 外伤 2008-7-22 2008-7-23 2008-7-28 6.00 1.00 5.00 87 青光眼 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-16 25.00 13.00 12.00 88 白内障 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-9 18.00 13.00 5.00 89 白内障 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-10 19.00 13.00 6.00 90 白内障 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-9 18.00 13.00 5.00 91 视网膜疾病 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-17 26.00 13.00 13.00 92 青光眼 2008-7-23 2008-8-5 2008-8-16 24.00 13.00 11.00 93 外伤 2008-7-23 2008-7-24 2008-8-1 9.00 1.00 8.00 94 白内障 2008-7-23 2008-8-5 2008-8-10 18.00 13.00 5.00 95 白内障 2008-7-23 2008-8-5 2008-8-9 17.00 13.00 4.00 96 外伤 2008-7-23 2008-7-24 2008-7-30 7.00 1.00 6.00 97 白内障 2008-7-23 2008-8-5 2008-8-9 17.00 13.00 4.00 98 白内障(双眼) 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-17 25.00 14.00 11.00 99 视网膜疾病 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-18 26.00 14.00 12.00 100 白内障 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-13 21.00 14.00 7.00 101 视网膜疾病 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-20 28.00 14.00 14.00 102 青光眼 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-16 24.00 14.00 10.00 103 视网膜疾病 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-17 25.00 14.00 11.00 104 视网膜疾病 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-19 27.00 14.00 13.00 105 白内障(双眼) 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-15 23.00 14.00 9.00 106 白内障 2008-7-23 2008-8-6 2008-8-15 23.00 14.00 9.00 107 视网膜疾病 2008-7-23 2008-8-7 2008-8-23 31.00 15.00 16.00 108 视网膜疾病 2008-7-24 2008-8-7 2008-8-19 26.00 14.00 12.00 109 视网膜疾病 2008-7-24 2008-8-7 2008-8-22 29.00 14.00 15.00 110 白内障 2008-7-24 2008-8-7 2008-8-15 22.00 14.00 8.00 111 青光眼 2008-7-24 2008-8-7 2008-8-17 24.00 14.00 10.00 112 视网膜疾病 2008-7-24 2008-8-7 2008-8-19 26.00 14.00 12.00 113 白内障 2008-7-24 2008-8-7 2008-8-14 21.00 14.00 7.00 14 114 视网膜疾病 2008-7-24 2008-8-8 2008-8-17 24.00 15.00 9.00 115 白内障 2008-7-25 2008-8-8 2008-8-14 20.00 14.00 6.00 116 视网膜疾病 2008-7-25 2008-8-8 2008-8-22 28.00 14.00 14.00 117 白内障(双眼) 20