广东省韶关市2017届高三4月高考模拟理科数学试题含答案

2017 届高考模拟测试 数学 (理科 ) 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . z 满足 (2 ) 1i z i (i 为虚数单位 ),则复数 z 在复平面内对应的点在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 R ,集合 2| 6 0A x x x , |3B y y,则 ()U ( ) A 3,3 B 1,2 C 3,2 D ( 1,2 0 名学生 ,一次数学考试的成绩 服从正态分布 : 2 (1 0 5 ,1 0 )N ,已知( 9 5 1 0 5 ) 0 . 3 4 1 3P ,该班学生此次考试数学成绩在 115 分以上的概率为 ( ) A ) af x x 满足 (2) 4f ,那么函数 ( ) | l o g ( 1 ) |ag x x的图象大致是 ( ) 是第四象限角 ,且 3 )45 ,则 )4 ( ) A 34B 34C 43D 43则输出的结果 S 是 ( ) A 12B 12C 1 D 1 大学毕业生分配到 3 家单位 ,每家单位至少录用 1 人 ,则不同的分配方法共有 ( ) A 25 种 B 60 种 C 90 种 D 150 种 则该几何体的体积为 ( ) A 163B 643C 16 643 D 16 64 为抛物线 2 4的焦点 ,A ,B 是抛物线上两点 ,线段 中垂线交 x 轴于点(5,0)D ,则 | | | |F( ) A 5 B 6 C 8 D 10 中 ,平面 1, 是边长为 2 的等 边三角形 ,则该几何体外接球的表面积为 ( ) A 176B 196C 173D 193的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 1a , 22 1b c ,则面积的取值范围是 ( ) A 33( , 64B 33( , )64C 33( , )12 4D 33( , 12 2与曲线2C: 2 )2y x x,直线 l 是曲线1设直线 l 与曲线1 ,则点 P 的横坐标 t 满足 ( ) A 102t eB 1122C 1222tD 2 22 t第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） a ,b 不平行 ,向量 与 2平行 ,则实数 15.若 x ， y 满足约束条件 2, 2 0 ,2 0 , 则 22的最小值是 21( 0a , 0b )的左、右焦点分别为1F，2F，1A，2顶点，以线段12 ，且12 45M A A ，则双曲线的离心率为 ( ) c o s s i nf x x x ，以下四个结论： ()是周期函数； ()x 对称； () ,0)2中心对称； () 39 其中，正确的结论的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） n 项和为 1a,1 1 ( *, 1 ),且1a、22a、3 3a成等差数列 （）求数列 （）设n a，求数列 n 项和 P 是菱形 在平面外一点， 平面 / / / /B 0 ， 22P A A B B F D E （）求证：平面 平面 （）求二面角 B 的余弦值 19.“大众创业，万众创新”是 李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 ( , )i 1,2， 6），如表所示： 试销单价 x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y （件） q 84 83 80 75 68 已知 6116 80 （）求出 q 的值； （）已知变量 x ， y 具有线性相关关系，求产品销量 y （件）关于试销单价 x （元）的线性回归方程 y bx a； （）用）中所求的线性回归方程得到的与销售数据 ( , ) | 1时，则将销售数据 ( , )数据”现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的分布列和数学期望 ()E （参考公式：线性回归方程中 b ， a 的最小二乘估计分别为 1221y n x n x,a y ) 过定点 ( 3, 0)M 且与圆 N ： 22( 3 ) 1 6 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C （）求曲线 C 的方程； （）过点 (3,0)D 且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A ， B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q ，使得直线 斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由 32 m，函数 2( ) l n ( 2 ) 22mf x x x （）求 () （）若 1 ,32m ，对任意的1x， 2 0,2x （12，不等式12 1211| ( ) ( ) | | |22f x f x t 恒成立，求 t 的最小值 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系 与参数方程 在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为32132 （ t 为参数）以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 （ 0a ），且曲线 C 与直线 l 有且仅有一个公共点 （）求 a ； （）设 A 、 B 为曲线 C 上的两点，且3，求 | | | |B 的最大值 等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | 2 | 1 |f x x x 的最大值 a （ ） （）求 a 的值； （）若 112 （ 0m ， 0n ），试比较 2与 2 的大小 2017 届高考模拟测试数学 (理科 )试题答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 2 15. 5 16. 三、解答题 ）1 1 （ *），1 1 ( 2 ) n ， 1n n na a a ，即1 ( 1) （ 2n ）， 10 ， 又1 1a，2111 ， 数列 为首项，公比为 1 的等比数列， 23 ( 1)a ， 24 ( 1 ) 1 ( 1 ) 3 ，整理得 2 2 1 0 ，得 1 ， 12 （） 12 n a n ， 1 2 11 1 2 2 3 2 2 ， 1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n ， 得 211 2 2 2 2 1 (1 2 ) 212n ， 整理得 ( 1 ) 2 1 18.（）证明：取 点 M ，连 O ，连 在菱形 ， C ， 平面 平面 A ， 又 C A ， 平面 平面 O ， M 分别是 中点， /A ， 12A， 又 /A ， 12A， /E ， E ， 四边形 平行四边形，则 /M ， 平面 又 平面 平面 平面 （）解：由（）得 平面 则 两垂直，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 2 2 2P A A B B F D E ，则 ( 3, 0, 0)B ， (0,1,0)C ， (0, 1, 2)P ， ( 3, 0,1)F ， ( 0 , 2 , 2 )， ( 3 , 1, 2 )， ( 3 , 1, 1)， 设1 1 1 1( , , )n x y z是平面 一个法向量，则 110,0,n C 即1 1 1113 2 0 ,2 2 0 ,x y 取1 3x ，得1 3y ，1 3z ，1 ( 3, 3, 3)n ， 设2 2 2 2( , , )n x y z是平面 一个法向量， 同理得，2 (0,1,1)n 1212120 3 3 4 2c o s ,7| | | | 2 1 2 ， 二面角 B 的余弦值为 427 ） 611 806，可求得 90q （）6162213 0 5 0 6 6 . 5 8 0 7 0 42 7 1 2 5 3 . 5 1 7 . 5()y n x n x ， 8 0 4 6 . 5 1 0 6a y b x ， 所以所求的线性回归方程为 4 106 （）利用（）中所求的线性回归方程 4 106 可得，当1 4x 时，1 90y ；当2 5x 时，2 86y ；当3 6x 时，3 82y ；当4 7x 时，4 78y ；当5 8x 时，5 74y ；当6 9x 时，6 70y 与销售数据对比可知满足 | | 1（ i 1,2， 6）的共有 3 个“好数据”： (4,90) 、 (6,83) 、(8,75) 于是 的 所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 33361( 0 )20 ； 1233369( 1 )20 ； 2133369( 2 )20 ；33361( 3 )20 ， 的分布列 为： 0 1 2 3 P 120920920120于是 1 9 9 1 3( ) 0 1 2 32 0 2 0 2 0 2 0 2E ）设动圆 P 的半径为 r ， 由 N ： 22( 3 ) 1 6 及 ( 3, 0)M 知点 M 在圆 N 内，则有 | |,| | 4 ,r r从而 | | | | 4 | | 2 3P M P N M N ， 所以 P 的轨迹 C 是以 M ， N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 设曲线 C 的方程为 22 1 ( 0 )xy ，则 24a ， 222 2 3c a b ， 所以 2a ， 1b ， 故曲线 C 的轨迹方程为 2 2 14x y （）依题意可设直线 方程为 3x ，11( , )A x y，22( , )B x y， 由 2 2 1,43,x yx 得 22( 4 ) 6 5 0m y m y ， 所以2212 212 2( 6 ) 4 5 ( 4 ) 0 ,6,45,4 则1 2 1 2 224( ) 6 4x x m y y m ， 221 2 1 2 1 2 23 6 43 ( ) 9 4 mx x m y y m y y m ， 假设存在定点 ( ,0)使得直线 斜率之积为非零常数，则 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )x t x t x x t x x t 2 2223 6 4 2 444m 2 2 22( 4 ) 3 6 2 4 44t m t ， 所以1200A Q B Q x t x t 22 2 2254( 4 ) 3 6 2 4 44mt m t 2 2 25( 4 ) 3 6 2 4 4t m t t ， 要使非零常数，当且仅当 224 0 ,3 6 2 4 4 0 , 解得 2t ， 当 2t 时，常数为 553 6 4 8 1 6 4， 当 2t 时，常数为 5 5 13 6 4 8 1 6 1 0 0 2 0， 所以存在两个定点1(2,0)2,0)Q ，使直线 斜率之积为常数，当定点为1(2,0)数为 54；当定点为2( 2,0)Q 时，常数为 120 ） () 2, ) ， 21 2 1( )22m x m xf x m 设 2( ) 2 1g x m x m x ， 244 ， 1 当 1 12 m时， 0 ， 2( ) 2 1 0g x m x m x 恒成立， ()( ) 02x 恒成立， () 2, ) 上递增 2 当 13m时， 4 ( 1) 0 ，令 ( ) 0，得 21 12 ，22 1 ， x 1( 2, )x1, ), )x () 0 0 ()极大 极小 ()2, )x，2( , )x ，减区间为12( , ) 综上，当 1 12 m时， () 2, ) ；当 13m时，增区间1( 2, )x，2( , )x ，减区间12( , ) （） 1( )2f x m ， 1 32 m， 当 02x时， 20x ， 0， ( ) 0成立， () 0,2 上递增 设12则12( ) ( )f x f x，1 2 2 1| ( ) ( ) | ( ) ( )f x f x f x f x ， 又121122，1 2 1 21 1 1 1|2 2 2 2x x x x ， 12 1211| ( ) ( ) | | |22f x f x t 可化为 21 1211( ) ( ) ( )22f x f x t ， 即2121( ) ( )22x f 恒成立 设 ( ) ( )2th x f x x， 当1202 时，21( ) ( )h x h x， () 0,2 上为减函数， 2( ) ( ) ( 2 )th x f x x 21 02 ( 2 ) 在 0,2x 上恒成立， 即 2( 2 ) ( 2 )t x m x x 恒成立， 设 2( ) ( 2 ) ( 2 )F x x m x x ， 2( ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 )F x m x m x x ， 02x， 1 32 m， ( ) 0， () 0,2 上递增，m a x( ) ( 2 ) 4 3 2F x F m ， 32 4，又存在 1 32 m， 3 2 4 2 0m 最 小， 20t ，故 20t 最 小 ）直线 l 的普通方程是 3 3 0 ， 曲线 C 的直角坐标方程是 2 2 2()x a y a ， 依题意直线 l 与圆相切，则 | 3 |2，解得 3a 或 1a ， 因为 0a ，所以 1a （）如图，不妨设1( , )A ，2( , )3B ，则1 2