2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（十一）含答案

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科 数学（十一） 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 2017 师大附中 若复数 1 ， z 为 z 的共轭复数，则 2017()z （ ） A i B i C 20172i D 20172i 2 2017 安徽百校论坛 若集合 2| 1 2 0A x x x Z ， | s i n 5 B x x ， 则 ） A 2 B 3 C 4 D 5 3 2017 抚州七校 设 1( ) ( ) 2x g x td t， xR ，若函数 () () ） A 3x B 1 x C D 4 2017 临川一中 “ 微信抢红包 ” 自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 ， ， ， ， ，共 6 份，供甲、乙等 6 人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A 12B 14C 13D 165 2017 皖南八校 已知函数 2 s i n 2 0 f x x ， 14f ， 则 ） A 5 ,12 12B 7,12 12C ,63D 5,12 126 2017 淮北一中 “ 2 1a ” 是 “ 函数 l n 1 l n 1f x a x x 为奇函数 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 7 2017 云师附中 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8 B 62 C 42 D 4 8 2017 广东联考 执行如图所示的程序框图，若 0 4x a b y， ， ，则 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9 2017 南固一中 等差数列 1 0 1 6 30a a a ，则18 142值为（ ） A 20 B 20 C 10 D 10 10 2017 江师附中 在直角 中， 9 0 1B C A C A C B P ， ，为 上的点， B ， 若 C P A B P A P B ，则 的最大值是 ( ) A 222 B 222 C 1 D 2 11 2017 南白中学 已知椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy ，点 M ， N ， F 分别为椭圆 C 的左顶点、上顶点、左焦点，若 90M F N N M F ，则椭圆 C 的离心率是（ ） A 512B 312C 212D 3212 2017 天水一中 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数 ： 1,()0, 为 有 理 数为 无 理 数，则关于函数 () ( ( ) 1f f x ； 函数 () 任意一个非零有理数 T ， ( ) ( )f x T f x 对任意 xR 恒成立； 存在三个点11( , ( )A x f x，22( , ( )B x f x， 33( , ( )C x f x，使得 等边三角形 其中真命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生 都必须作答 。 第 (22)(24)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 2017 南阳一中 九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升 14 2017 湖北七校 831()展开式中， 4x 的系数为 _ 15 2017 雅礼中学 已知 x ， y 满足 2 3 03 3 01 ， 2 的最大值为 m ，若正数 a ，b 满足 ，则1的最小值为 16 2017 郑 州一中 若函数 ()R、 ，都有 23 ( ) ( ) 2 ( )3f a f b ，且(1) 1f ， (4) 7f ，则 (2017)f _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 2017 湖南十三校 设 的内角 A B C、 、 的对边分别为a b c、 、 ， 且满足 s i n s i n c o s c o s ( ) s i A B C （ 1）试判断 的形状，并说明理由； （ 2）若 12 ，试求 面积的最大值 18 （本小题满分 12 分） 2017 正定中学 某学校根据 学生的兴趣爱好，分别创建了 “ 摄影 ”“ 棋类 ”“ 国学 ” 三 个社团，据资料统计，新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团是相互独立的， 2016 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入 该校的 “ 摄影 ”“ 棋类 ”“ 国学 ” 三 个社会的概率依次为 m 、 13、 n ，已知三个社团他都能进入的概率为 124，至少进入一个社团的概率为 34，且 （ 1）求 m 与 n 的值； （ 2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入 “摄影 ”社的同学增加校本选修学分 1 分，对进入 “ 棋类 ” 社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入 “国学 ”社的同学增加校本选修学分 3分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望 19 （本小题满分 12 分） 2017 汕头联考 如图，四棱锥 中，底面 菱形， 面 22 2 E 是 的一点， （ 1）证明： 面 （ 2）设二面角 为 90 ，求直线 平面 成角的大小 20 （本小题满分 12 分） 2017 长沙一中 如图，椭圆 221 10a ： （ ）的离心率为 32， x 轴被曲线 22C y x b：截得的线段长等于1 （ 1）求1 （ 2）设2C与 y 轴的交点为 M ，过坐标原点 O 的直线 l 与2 、 B ，直线 B 分别与 1C 相交于 D ， E （ i）证明： E ； （ ， 的面积分别是1S，2S问：是否存在直线 l ，使得121723？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21 （ 本 小 题 满 分 12 分） 2017 枣庄模拟 已知函数 l n 1f x x x ， 2 2 2x x ag x R （ 1）求函数 （ 2）若对 0x， 1f x g x恒成立，求 a 的取值范围； （ 3）求证 : 1 1 1 1. . . l n 13 5 7 2 1 N 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22 （ 本小题满分 10 分） 2017 江师附中 选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，已知曲线 3 c o s:s i （ a 为参数），在以 O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 124 （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）过点 ( 10)M ， 且与直线 l 平行的直线1 于 A ， B 两点，求点 M 到 A ， B 两点的距离之积 23 （本小题满分 10 分） 2017 江师附中 选修 4 5：不等式选讲 （ 1）设函数 ( ) | 2 | | |f x x x a ，若 x 关于的不等式 ( ) 3在 R 上恒成立，求实数 （ 2）已知正数 x y z， ， 满足 2 3 1x y z ，求 3 2 1x y z的最小值 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科数学（三）答案 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1 【答案】 B 【解析】 因 21 i (1 i ) i1 i 2z ，则 ，故 2 0 1 7 2 0 1 7( ) ( i ) ，应选答案 B 2 【答案】 B 【解析】 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2A ， |0B x x， 则 3 , 2 , 1 ，故选 B 3 【答案】 B 【解析】 1 222 12)1(12xx 故 ( ) ( ) 2 1f x g x x ，逐个检验选项，带入 ( ) 1g x x 显然满足题意，故选 B 4 【答案】 C 【解 析】 因甲乙两人从六份红包中随机取两份的可能有 26 15C 种，其中金额之和大于等于4 的可能有 ( (， (， (， (五种，故甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是 5115 3P ，应选 C 5 【答案】 D 【解析】 12 s i n 2 c o s 1 c o 2f ， 0 ， 3， 2 s i n 2 = 2 s i n 233f x x x ， 由 2 22 ()2 3 2k x k k Z ，得 5 ()1 2 1 2k x k k Z ， 因此 5,12 12， 选 D 6 【答案】 B 【解析】 当 1a 时， 01f x x 为非奇非偶函数， 当 1a 时， l n 1 l n 1f x x x 为奇函数，故为必要不充分条件 7 【答案】 A 【解析】 由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为2 2 2 3 83V ，故选 A 8 【答案】 A 【解析】 程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x ， 的函数值，如图可知 2 ， ，当 0 2， 或 2 4， 时符合题意， 2 选 A 9 【答案】 D 【解析】4 1 0 1 6 1 03 3 0a a a a ，解得10 10a ， 而1 8 1 4 1 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 02 4 ( 4 ) 1 0a a a a a d a a d a ，故选 D 10 【答案】 C 【解析】 因 C P A P A C A B A C ， P B A B A P A B A B， 故由 C P A B P A P B 可得 2 1 2 (1 ) ，即 22 1 2 2 ， 也即 2 122，解得 2211 ， 点 P ， 2112 ，应选答案 C 11 【答案】 A 【解析】 设椭圆的右焦点为 F ，由题意得 ( ,0)， (0, )( ,0) 90M F N N M F ，且 N F O N F O ， 90N M O N F O ， 0F ， 2 2 2( , ) ( , ) 0a b c b a c b a c a c ，即 10 ， 解得 512e ，故选 A 12 【答案】 A 【解析】 由 )(有理数 ( ( ) 1f f x ，故命题 正确； 易得 )()()( 是偶函数，故 正确； 易得 ( ) ( )f x T f x 是偶函数，故 正确； 取 3(1 , 0)3A ， (1,1)B ， 3(1 , 0)3C ，可得 为等边三角形 ，故 正确， 综上 ， 真命题的个数有 4 个 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 【答案】 6766【解析】 由题意可知1 2 3 4 14 6 3a a a a a d ，7 8 9 13 2 1 4a a a a d ， 解得1 322a ， 766d， 所以51 674 66a a d 14 【答案】 56 【解析】 48831 8 83 1( ) ( 1 )rr r r r x C ，由 4843r得 3r ，所以 4x 的系数为 ： 338 ( 1) 5 6C 15 【答案】23【解析】 作出不等式组所对应的 平面区域：如图所示，由 2z x y得 2y x z ，平移直线 2y x z ，由图象可知直线 2y x z 经过点 (3,0)A 时，直线 2y x z 的截距最大，此时 z 最大，代入可知目标函数的最大值为z ，即 6 ， 则 1 4 1 1 4 1 4 1 4 3( ) ( ) 5 ( ) ( 5 2 )6 6 6 2b a b b a b a b a b ，当且仅当 2，即 2a ， 4b 等号成立，所以1的最小值为23 16 【答案】 4033 【解析】 根据题意得： 2 ( ) 2 ( )()33a b f a f ，令 41， ， 得到 ( 4 ) 2 (1 )( 2 ) 33；令 14， ，得到 (1 ) 2 ( 4 )( 3 ) 53， 则有： ( 1 ) 1 ( 2 = 3 ( 3 ) 5f f f， ） ， ， ，猜想： ( ) 2 1f n n ，下面用数学归纳法证明此猜想： 当 1n 时， 显然成立； 假设当 ( 2 1)( 2 )f n n 成立， 则 1 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 1( 1 ) ( ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 3 3n n f n f nf n f f n f n 11 2 ( 1 ) 1 2 2 ( 2 ) 1 ( 6 9 ) 2 333n n n n ， ( 1 ) 3 ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 ( 2 3 ) 2 2 ( 2 ) 1 2 1 2 ( 1 ) 1f n f n f n n n n n ， 综上可得： ( ) 2 1f n n；所以 ( 2 0 1 7 ) 2 2 0 1 7 1 4 0 3 3f 故本题正确答案为 4033 三 、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小 题满分为 12 分） 【答案】 （ 1） 为直角三角形，且 90C ；（ 2） 14 【解析】 （ 1） s i n s i n ( c o s c o s ) s i A B C ， 由正、余弦定理，得 2 2 2 2 2 2()22b c a c a ba b cb c c a 化简整理得： 2 2 2( ) ( ) ( )a b a b a b c ， 0 ，所以 2 2 2( ) ( ) ( )a b a b a b c ， 故 为直角三角形，且 90C ； （ 2） 2 2 212a b c a b c ， 221 2 2 2 ( 2 2 )a b a b a b a b a b ， 当且仅当 时，上式等号成立， 22故 21 1 2 1()2 2 2 4a b ， 即积的最大值为 14 18 （本小题满分为 12 分） 【答案】 （ 1）1214 ； （ 2） 23()12分布列见解析 【解析】 （ 1）依题，113 2 4131 (1 ) (1 ) (1 )34 ，解得1214 （ 2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量 X ，则 X 的值可以为 0，1， 2， 3， 4， 5， 6 而 1 2 3 1( 0 )2 3 4 4 ； 1 2 3 1( 1 )2 3 4 4 ； 1 1 3 1( 2 )2 3 4 8 ； 1 2 1 1 1 3 5( 3 ) 2 3 4 2 3 4 2 4 ； 1 2 1 1( 4 ) 2 3 4 1 2 ； 1 1 1 1( 5 ) 2 3 4 2 4 ； 1 1 1 1( 6 ) 2 3 4 2 4 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 141418524112124124于是， 1 1 1 5 1 1 1 2 3( ) 0 1 2 3 4 5 64 4 8 2 4 1 2 2 4 2 4 1 2 19 （本小题满分 12 分） 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） 30 【解析】 （ 1）因为底面 菱形，所以 ，又 面 所以 设 ，连结 因为 ,2,22 ，故 2,3 32,32 从而 6,6 为 P C ,， 所以 ， 90 0 ，由此知 ， 平面 两条相交直线 都垂直， 所以 面 （ 2） )0,2(),2,0,0( ，设 ),( 为平面 法向量， 则 0,0 即 02 z 且 02 令 ，则 )0,2,( ， 设 ),( 为平面 法向量，则 0,0 即 0222 03232 1p ，则,2 ， 所以 )2,2,1(，因为面 故 0即 02 2b ， 于是 )2,1,1( n ， )2,2,2( 21|,c o s 所以 , 6 0n D P 因为 平面 成角和 互余，故 平面 成角的角为 30 20.（本小题满分 12 分） 【答案】 （ 1） 2 2 14x y；（ 2）（ i）证明见解析；（ 32 32 【解析】 （ 1）由题得 22312 ，从而 2，又 2 ，解得 2a ， 1b ，故1 2 14x y （ 2）（ i）由题得，直线 l 的斜率存在，设为 k ，则直线 l 的方程为 y ， 由2y x b得 2 10x 设11A x y（ ， ），22B x y（ ， ），则1x，2 于是12x x k，12 1，又点 M 的坐标为 01（ ， ） ， 所以 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 1M A M By y k x k x k x x k x x x x x x 故 B ，即 E （ 直线 直线 y k x 由 1211y k ，解得 01或 121 1 则点 A 的坐标为 2111 ， ） 又直线 斜率为11k，同理可得点 ， 于是 2211 1 1 21 1 111 1 1 1| | | | 1 | | 1 | |2 2 2 | | A M B k kk k k 由 12214 4 0y k 得 22111 4 8 0k x k x （ ） 解得 01或，12121218144114 ，则点 D 的坐标为 211228 4 1( , )1 4 1 4 又直线 斜率为11k同理可得点 E 的坐标为 2112284( , )44 于是 2112 22113 2 1 | |1 | | | |2 ( 1 4 ) ( 4 ) D M （ ） 故21 1 2211 4 1 7( 4 1 7 )6 4 3 2S ，解得 21 4k 或 21 14k 又由点 A ， B 的坐标得，21 211111111 所以 32k 故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程为 32 32 21 （本小题满分 12 分） 【答案】 （ 1）增区间为 1,0 ，减区间为 0, ，最大值为 0，无最小值； （ 2） 2, ；（ 3）见解析 【解析】 （ 1） 1, ) ， 1 111 0 1 0f x x ； 00f x x ， 所以函数 1,0 ，减区间为 0, ， m a x 00f x f，无最小值 （ 2） 2 20 , 1 0 , l n 1 12x x ax f x g x x x x x 0 , l n 1 1 0 , 2 1 l n 12ax x x a x 令 2 1 l n 1h x x x ， 则 21 1 l n 1 l n 111xh x x 当 0x 时，显然 1 l n 1 01h x x x ，