2017届高三数学理科二模金卷分项汇编6：数列、不等式（含答案）

【 备战 2017 高考高三数学全国各地二模试卷分项精品 】 专题 数列、不等式 一、选择题 1【 2017 安徽阜阳二模】 等差数列 7 5 32 4 , 5S S a ，则7S（ ） A. 25 B. 49 C. 15 D. 40 【答案】 B 【解析】 由题意得7 3 7 3- 5 2 4 2 4 5 4 9S a S a ，选 B. 2【 2017 安徽马鞍山二模】 设等差数列 4 10S ， 5 15S ，则4 ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 53m 【答案】 C 3【 2017 湖南娄底二模】 已知数列 ，公差为 d （ *）的等差数列，若 81 是该数列中的一项，则公差 d 不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 B 【解析】 由题设， 11na n d ， 81 是该数列中的一项，即 8 1 1 1 ，所以 80 1，因为 *,d n N ，所以 d 是 80 的因数，故 d 不可能是 3，选 B. 4【 2017 安徽合肥二模】 等差数列 3 6S ， 6 3S ，则10S （ ） A. 110B. C. 10 D. 15 【答案】 D 【解析】 因为数列是等差数列， 6 3 4 5 6 3s s a a a ， 1 2 3 6a a a ，所以3 3 3 9 ， 1d ，又 13 3 6， 1 3a ， 1 0 1 1 0 91 0 1 52s a d ，故选 D 5【 2017 安徽淮北二模】 如图， 中， P 是斜边 一点，且满足： 12C,点 , 的直线上，若 ,A M A B A N A C,( , 0) ,则 2 的最小值为（ ） A. 2 B. 83C. 3 D. 103【答案】 B 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑 ”等技巧，使其满足基本不等式中 “正 ”(即条件要求中字母为正数 )、 “定 ” (不等式的另一边必须为定值 )、 “等 ”(等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 . 6【 2017 山西三区八校二模】 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 60 ， 长度大于 1 米，且 ，为了稳固广告牌，要求 短越好，则 短为（ ） A. 312米 C. 13 米 D. 23 米 【答案】 D 【解析】 由题意设 ( 1)BC x x米， ( 0)AC t t米，依题设 0 . 5 0 . 5A B A C t 米，在 余弦定理得： 2 2 2 02 c o s 6 0A B A C B C A C B C ，即 2 220 . 5t t x ，化简并整理得： 2 0 . 2 5 ( 1 )1，即 0 121tx x ，因 1x ，故 0 1 2 2 31tx x （当且仅当 312x 时取等号），此时取最小值 23 ，应选答案 D。 7【 2017 安徽合肥二模】 对函数 果存在0 0x 使得 00f x f x ，则称 00,x f 00,x f x为函数图像的一组奇对称点 xf x e a（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（ ） A. ,1 B. 1, C. ,e D. 1, 【答案】 B 8【 2017 安徽阜阳二模】 不等式 3 6 0 所对应的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】 B 【解析】 不等式 3 6 0 所对应的平面区域为一个菱形及其内部，对角线长分别为 12,4 ，所以面积为 1 1 2 4 2 4 选 B. 9【 2017 广东佛山二模】 已知实数， y 满足 02，则 2z x y的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 0,2 处取得最小值为 . 10【 2017 湖南娄底二模】 记不等式组 103 3 010 所表示的平面区域为 D ，若对任意 00,x y D，不等式0020x y c 恒成立，则的取值范围是（ ） A. ,4 B. ,2 C. 1,4 D. ,1 【答案】 D 【解析】 根据平面区域 D ，易知当 00, 1, 0时00( 2 ) 1m a xx y c c ，由题设得 10c ，所以 1c ，故选 D. 11【 2017 江西 4 月质检】 不等式组 20 1 02 2 0 表示的平面区域的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 A 【解析】 作出不等式组 20 1 02 2 0 表示的区域是两直角边分别为 2,1 的直角三角形，面积 1 2 1 12S ,故选 A. 12【 2017 福建 4 月质检】 若 ,0 2 02 2 0 ，则 2z x y 的最小值为 （ ） A. B. 2 C. 83D. 4 【答案】 B 点睛：要注意画图，切记不可直接求交点坐标往目标函数代入求解 13【 2017 安徽合肥二模】 已知变量， y 满足约束条件 241，则目标函数 2z x y 的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】 B 【解析】 作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点 3,1 时，有最小值 3 2 1z ，故选 B 二、填空题 14 【 2017 安徽阜阳二模】 等比数列 1 4 7 3 6 92 , 1 8a a a a a a ，则 _ 【答案】 14 26或 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路 ,一是利用基本量 ,将多元问题简化为一元问题 ,虽有一定量的运算 ,但思路简洁 ,目标明确 ;二是利用等差、等比数列的性质 ,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用 时需要进行适当变形 . 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用 “ 巧用性质、整体考虑、减少运算量 ” 的方法 . 15 【 2017 安徽马鞍山二模】 如图所示的 “ 数阵 ” 的特点是：每行每列都成等差数列，则数字 73 在图中出现的次数为 _ 【答案】 12 【方法点睛】本题考查等差数列的通项、整数解问题以及归纳推理，属于难题 从第一行入手求出第一行数组成的数列 1 1, 2.通项公式，再把第一行的输当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列 1, 2 .，最后根据整数解方程的解法列举出所有解即可 . 16 【 2017 重庆二诊】 已知数列 1 1a， 2n a， 21 1，则100S _（用数字作答） 【答案】 1306 【解析】 由题设可得2 2 1 1a n ，取 1, 2 , 3, , 4 9n 可得2 3 4 5 6 7 9 8 9 92 , 3 , 4 , , 5 0a a a a a a a a ，将以上 49 个等式两边分别相加可得2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 2 5 0 4 9 1 2 7 42a a a a a a a a ；又3 1 6 3 1 2 6 2 5 1 2 5 0 2 5 1 0 0 5 01 2 , 3 1 , 6 5 , 1 6 , 2 5 1 9 , 5 0 3 1a a a a a a a a a a a a ，所以100 1 1 2 7 4 3 1 1 3 0 6S ，应填答案 1306 。 点睛：解答本题的关键是依据题设中的数列递推式，先求出2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 1274a a a a a a a a ，再依次求出3 1 6 3 1 2 6 2 5 1 2 5 0 2 5 1 0 0 5 01 2 , 3 1 , 6 5 , 1 6 , 2 5 1 9 , 5 0 3 1a a a a a a a a a a a a 从而使得问题获解。 17 【 2017 湖南娄底二模】 已知各项都为整数的数列 1 2a，且对任意的 *，满足1 12 2 ， 23 2 1n ，则2017a _ 【答案】 20172 18 【 2017 福建 4 月质检】 用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是 _ 【答案】 6 【解析】 设正三棱柱的底边长为，高为 y,则 6 3 12，由基本不等式可得6 3 1 2 2 6 3 2 3 6x y x y x y x y 故三棱柱的侧面积最大值为 6 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 三、解答题 19 【 2017 广东佛山二模】 已知数列 a， 1 2，数列 2 . （ ）求数列 （ ）设n n nc a b，求数列 【答案】 （ ） 21, 112,（ ）1236 2 . 【解析】 试题分析：（ I）由已知可知此得到用 11 可求得 于用错位相减求和法求 （ ）由（ ）知1212n n a b ，则 011322 215 2 122 12 121322 12 3 2 122 - 得011 1 22 2 2 222 12 2 122 1112 21 2 122 1112121 212 2332所以1236 2 20 【 2017 安徽马鞍山二模】 已知数列 的等差数列， 2 3a ，且3a， 5a， 8 () 求数列 () 设 c o s2 ，求数列 017 项和 【答案】 () 1() 1010. 【解析】 试题分析： () 等差数列 d ，根据提议列出关于首项1d 的方程组，解方程组即可得到结果； () 根据数列 得数列 017 项和 . 试题解析： () 设等差数列 d ，由题意可知， 1 11 12 115 3 8 33 2 ( 2 7 1a aa d a da a a d ，所以 1； () 由 () 可知， 1c o s 1 c o a n ，所以数列 前 2017 项和为 1 2 3 4 2 0 1 3 2 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 6 2 0 1 7b b b b b b b b b 5 0 4 2 2 0 1 8 1010. 21 【 2017 河北唐山二模】 数列 21，且1 1a （ ）求数列 （ ）若求数列 【答案】 （ ） 112;（ ）124 2 【解析】 试题分析：（ ）对已知等式 21利用1n n a化简整理得 11 22，进而可推断出数列 为首项， 12为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案；（ ）利用错位相减法求结果 . 试题解析：（ ）由 21，可得 11121（ 2n ）， 两式相减，得 1112 1 2 1n n a a ， 1 12 2 2 1 ，即 11 22， 故 为首项， 12为公比的等比数列， 所以 112 点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n nc a b，其中 别为特殊数列，裂项相消法类似于 1 1na ，错位相减法类似于 n n nc a b，其中 22 【 2017 安徽淮北二模】 已知数列 12 且132, 4. （ ）求数列 （ ）求数列 的前项和【答案】 （ 1）见解析（ 2） 332n 【解析】 试题分析：（ 1）先由13, 1代入等比数列通项公式： 11 412131 2112222 ，最后根据 12得 数列 2）因为122n ，所以根据错位相减法求数列 的前项和利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以 1 q 试题解析：（ 1）设公比为 2q ，由题意得： 111112 222aa ，即1a a q 所以 P ,又 3112， 1 2a所以 *1,na n n N （ 2）由（ 1）得 122n由错位相减法或裂项相消法求得 332n 23 【 2017 福建 4 月质检】 已知数列 1. 的等差数列，其前三项和为 3，且3 （ 1）求 , （ 2）若 1 1 2 2 22b a b a b n t ，求实数的取值范围 . 【答案】 （ 1） 1（ 2） 2,8 （ 2）由（ 1），可知， 12 , 1b n ，从而 112b n ， 令1 1 2 2n n nT a b a b a b ， 即 1 2 2 11 2 2 2 2 2 1 2n n ， 2 ，得 2 3 12 1 2 2 2 2 2 1 2n n ， - ，得 2 3