四川省成都市2017届高中毕业班第三次诊断检测数试题(文)含答案

成都市 2014 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学（文科） 第 卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 0,1A ， 2 | 2 0 B x x x ，则 ( ) A B 1 C 2,0,1 D 1,0,1, 2 2已知复数122 6 , 2z i z i 若12,线段 中点 C 对应的复数为 z ， 则 z （ ） A 5 B 5 C 25 D 2 17 3在等比数列 1 2a， 公比 2q 若1 2 3 4 ()ma a a a a m N ， 则 m ( ) A 11 B 10 C 9 D 8 4 表示空气质量的指数， 数值越小 ， 表明空气质量越好 ， 当 数值不大于 100 时称空气质量为“优良”如图是某地 4 月 1 日到 12 日 数值的统计数据 ，图中点 A 表示 4 月 1 日的 数值为 201，则下列叙述不正确的是 ( ) A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质 量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 5 已知平面向量 ( 2,3)a ， (1,2)b ，向量 与 b 垂直，则实数 的值为 ( ) A 413B 413C 54D 546已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a ， 直线 : 2 2l y x 若直线 l 平行于双曲线 过 C 的一个顶点 ， 则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A 1 B 2 C 5 D 4 7高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1执行图 2 所示的程序框图，若输入的 ( 1, 2 , , 1 5 )别为 这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 8在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑 ， 平面 且 C ， 则异面直线 成角的余弦值为（ ） A 12B 12C 32D 329 已知抛物线 2:4C y x 的焦点为 F ，点 ( 0 , 3 )A 若线段 抛物 线 C 相交于点 M ，则 | ( ) A 43B 53C 23D 3310已知函数 2( ) 2 c o s 2 2f x x 给出下列命题 ： 函数 () 2,0 ；8x 为 函数 () , ( )R f x 为奇函数 ； 3(0, )4，( ) ( 2 )f x f x 对 恒成立 其中的真 命题有 ( ) A B C D 11如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A 27 B 48 C 64 D 81 12 在递减等差数列 21 3 2 4a a a若1 13a ，则数列11前 n 项和的最大值为 ( ) A 24143B 1143C 2413D 613第 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 2 10x ，则2x的值为 14若变量 ,3003 ， 则 3z x y的最小值为 15已知函数 32( ) 3f x x b x c x ，其中 , 若曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 30 ，则 (2)f 16如图，将一块半径为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底 半圆的直径 ，上底 端点在半圆上 ， 则所得梯形的 周长的 最大 值 为 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 的内角 ,对边分别为 ,已知 2 2 c o sc a b A （）求 角 B 的大小 ； （）若 2, 7，求 c 的长 18如图，在多面体 ， 底面 边长为 2 的菱形， 60， 四边形 矩形 ， 平面 平面 2， M 为线段 中 点 （）求三棱锥 M 的体积； （）求证： D M A C E 平 面 19几个月前，成都街头开始兴起“ “ 共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题然而， 这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等 为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了 50 人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表： 年龄 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 受访人数 5 6 15 9 10 5 支持发展 共享单车人数 4 5 12 9 7 3 （）由以上统计数据填写下面的 22 列联表 ， 并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系； 年龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计 支持 不支持 合计 （）若对年龄在 15,20) 的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率 参考数据： 2()P K kk 考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ， 其中 n a b c d 20已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆 E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆 E 上任意一点到两个焦点的距离之和为 22 （）求椭圆 E 的标准方程； （）若直线 :2l y x m与椭圆 E 相交于 , 面积的最大值 21已知函数 ( ) 1 1 ,af x n x a （）若关于 x 的不等式 ( ) 1f x x 在 1, ) 上恒成立 ， 求 a 的取值范围 ； （）设函数 ()() 在（）的条件下，试判断 () 21, e 上是否存在极值若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ， 在以极点为直角坐标原点 O ， 极轴为 x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系 ， 直线 l 的参数方程为222352 （ t 为参数 ） （）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程 ； （）在平面直角坐标系中，设曲线 C 经过伸缩变换 1: 2 得到曲线 C ， 若 ( , )M x C 上任意一点 ， 求点 M 到直线 l 的最小距离 23选修 4等式选讲 已知 ( ) ,f x x a a R （）当 1a 时 ， 求不等式 ( ) 2 5 6f x x 的解集 ； （）若函数 ( ) ( ) 3g x f x x 的值域为 A ， 且 1, 2 A， 求 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 1 14 15 16 10 三、解答题 17解：（）由已知及正弦定理，得 2 s i n s i n 2 s i n c o B A 1 8 0 ( )C A B ， 2 s i n ( ) s i n 2 s i n c o A B A 化简，得 s i n ( 2 c o s 1 ) 0 A ， 1 0 B ， 3B （）由余弦定理，得 2 2 2 2 c o sb a c a c B 已知 2, 7， 27 4 2 ，即 2 2 3 0 解得 3c 或 1c （不合题意，舍去） c 的长为 3 18解：（）如图，记 D O 底面 边长为 2 的菱形， 60， D ，且 23， 2 四边形 矩形， 平面 平面 平面 2， M 为线段 中点， 1 2 2 22D E 13M C D E C D E M D E S O C 1 2 32333 （）由（），可知 平面 M 则在正方形 ， 1ta M， 90B D M D O E M E O ，且 ,E 平面 平面 19解：（）根据所给数据得到如下 22 列联表： 年 龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计 支持 30 10 40 不支持 5 5 10 合计 35 15 50 根据 22 列联表中的数据，得到 2K 的观测值为 25 0 ( 3 0 5 1 0 5 )( 3 0 1 0 ) ( 5 5 ) ( 3 0 5 ) ( 1 0 5 )k 不能在犯错误的概率不超过 前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系 （）“对年龄在 15,20) 的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件 A ， 对年龄在 15,20) 的 5 个受访人中，有 4 人支持， 1 人不支持发展共享单车，分别记为1 2 3 4, , , ,A A A A B 则从这 5 人中随机抽取 2 人的基本事件为： 1 2 1 3 1 4 1 , , , , , , , A A A A A A A B， 2 3 2 4 2 , , , , , A A A A A B， 3 4 3 , , , A A A B， 4 , 共 10 个 其中，恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 , , , , , , , , , , A A A A A A A A A A A A 共 6 个 63()1 0 5 对年龄在 15,20) 的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车的概率是 35 20解：（）由已知，设椭圆 E 的 方程为 22 1 ( 0 )xy 椭圆 E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形， 又 2 2 2a ， 2a 由 2 2 2a b c，得 2 1b 椭圆 E 的标准 方程为 2 2 12x y （）设1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y 联立 22212y x mx y 消去 y ，得 229 8 2 2 0x m x m 此时有 27 2 8 0m 由一元二次方程根与系数的关系，得 12 89 ， 212229 228 2 2| | 5 ( ) 499 25 7 2 89 m 原点 O 到直线 l 的距离 |5， 2212| | ( 9 )29M O N d m m 由 0 ，得 290m又 0m ， 据基 本不等式，得 222 ( 9 ) 29 2 2M O N 当且仅当 2 92m 时，不等式取等号 面积的最大值为 22 21解：（）由 ( ) 1f x x ，得 1 1 1an x 即 212a x n x x x 在 1, ) 上恒成立 设函数 2( ) 1 2m x x n x x x ， 1x 则 ( ) 1 2 1m x x n x x 1, )x ， 1 0 , 2 1 0n x x 当 1, )x 时， ( ) 1 2 1 0m x n x x ()1, ) 上单调递减 当 1, )x 时，m a x( ) ( ) (1 ) 1m x m x m 1a ，即 a 的取值范围是 (1, ) （）211() n x x x x ， 21, 221 1 1( ) 332 2 1 2a x x n x 设 ( ) 2 1 2h x x x n x a ，则 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 1h x n x n x 由 ( ) 0，得 当 1 时， ( ) 0；当 2e x e 时， ( ) 0 ()1, )e 上单调递增，在 2( , 单调递减 且 (1) 2 2 ， ( ) 2h e e a ， 2( ) 2h e a 据（），可知 2( ) (1) 0h e h （）当 ( ) 2 0h e e a ，即2， ( ) 0即 ( ) 0 () 21, e 上单调递减 当2， () 21, e 上不存在极值 （）当 ( ) 0，即 12时， 则必定 212, 1, x x e，使得12( ) ( ) 0h x h x，且 2121 x e x e 当 x 变化时， ()( )()变化情况如下表： x 1(1, ), ), ) 0 + 0 - ( ) 0 + 0 - () 极小值 极大值 当 12时， () 21, e 上的极值为12( ), ( )g x g x，且12( ) ( )g x g x 11 21 1 11 1() nx x x x 1 1 1211x n x x 设 ( ) 1x x n x x a ，其中 12， 1 ( ) 1 0x ， ()x 在 (1, )e 上单调递增， ( ) (1 ) 1 0 ，当且仅当 1x时取等号 11 ， 1( ) 0 当 12时， () 21, e 上的极值21( ) ( ) 0g x g x 综上所述：当2， () 21, e 上不存在极值；当 12时， () 21, e 上存在极值，且极值均为正 注：也可由 ( ) 0，得 2 2 1a x x 令 ( ) 2 1h x x x 后再研究 () 21, e 上的极值问题 22解：（）由222352 消去参数 t ，得 35 即直线 l 的普通方程为 3 5 0 ， ， 2 2 2 4 即曲线 C 的直角坐标方程为 224 （）由 1 2，得 2 代入方程 224，得 22 14 已知 ( , )M x y 为曲线 C 上任意一点，故可设 ( c o s , 2 s M ，其中 为参数 则点 M 到直线 l 的距离 | c o s 2 s i n 3 5 |2d | 5 c o s ( ) 3 5 |2 ，其中 . 点 M 到直线 l 的最小距离为 3 5 5 102 23解：（）当 1a 时，不 等式即为 | 1 | | 2 5 | 6 当 1x 时，不等