[理学]第七章 二阶电路.ppt

第七章 二阶电路(Second order circuit) 用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程 来描述的电路。 二阶电路中至少含有两个储能元件当然含有两 个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电 容（电感）串（并）联情况。 一、二阶电路 二、二阶电路与一阶电路响应的差别 二阶电路响应具有振荡的趋势。 7-1 LC电路的正弦振荡 7-2 RLC串联电路的零输入响应 过阻尼情况、临界阻尼情况、欠阻尼情况 第七章 二阶电路 v重点： 1电路微分方程的建立 2 特征根的重要意义 3 微分方程解的物理意义 v难点： 1 电路微分的解及其物理意义 2 不同特征根的讨论计算 7.1 LC电路中的正弦振荡 一、定性分析 以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即 R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时 的电量及能量变化情况。 + - u0 LC i=0 t=0 + - u=0 LC I t=T/4 - + u0 LC i=0 t=T/2 i0 u0 i0 - + u=0 LC I t=3T/4 u0 + - u0 LC i=0 t=T 由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随 着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断 地改变大小和极性，形成周而复始的振荡。这种由初始储能维持的 振荡是一种等幅振荡。 二、定量分析 + - uc LC iL 下面进一步对LC回路中振荡的变化方 式作一简单的分析。设LC回路如图7-2 所示，设 L=1 H、C=1F、uC(0)=1V、 iL(0)=0 -U0 uC iL t t -I U0 I 因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。 三、 LC电路的储能 LC电路的储能为： 并考虑到L=1H, C=1 F 可得： 储能在任何时刻都为常量。而且 即对所有 ， 这就表明：储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。 可以想象，当存在耗能元件时的情况。 一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能 量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗 掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到 零； 另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时 就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电 场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零 。 7.2 RLC串联电路的零输入响应 一、二阶微分方程的建立 - + us(t) 82H 41H i2i1 写网孔电流方程： - - 由 得： - - 将 代入消去i1有： 二阶非齐次微分方程 一般形式： 当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： 相应的解为零输入响应。 16 二、RLC串联电路的零输入响应 R K L uL + - i(t) RLC串联电路 +- uR uc + - C 已知uc(0-)=U0， iL(0-)=0， K于t=0时刻闭合，分析t0 时放电过程中i(t)、uc(t) 由KVL： uc=uR+uL （t0) 即： 两边对t 微分： 整理为： 整理为： 特征方程： 其中： s特征根，又称为电路的固有频率。 衰减系数（决定响应的衰减特性） 谐振角频率 根据 和 0 的相对大小不同，特征根s1,2不同， 对应的解的形式不同，有三种情况： 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 两个待定系数，两个初始条件 uc(0+)= uc(0-)=U0 i (0+)= i(0-)=0 可定得系数 由i(0+)=0得： A1+A2=0 又由uL(0+)= uc(0+) -Ri(0+)=U0 - R0= U0得： 将i(t)表达式代入并令t=0+ 有： L(A1S1+A2S2)=U0 由联立得： 2tm uL tm i t U0 uc t=0+ i=0 , t= i=0 t = tm 时i 最大 t = 2tm 时 uL 极小 uL(0)=U0 t0 i0 uL()=0 由 uL= 0 可计算 tm 由 duL / dt 可确定uL为极小值的时间 t 能量转换关系: t U0 uc tm i 0 R L C + - R L C + - 非振荡放电 过阻尼 0 tm uc减小 ，i 减小. 0 tm: pc0 pR0 tm: pc0 （共轭复根） 由初始条件 i (0+)= 0 uc(0+) =U0 uL(0+) =U0 d 0 d 0 欠阻尼情况 衰减振荡 uL U0 包络线 dt0 uC - 2- 2 i + 包络线 uL U0 dt0 uC - 2- 2 i + dt - dt R L C + - R L C + - 能量转换关系 0 dt R L C + - uC减小，i 增大uC减小，i 减小|uC |增大，i 减小 物理解释： R较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电 （pc有正有负），将所储存的磁场能重新转化为 电容的电场能，如此反复，形成振荡，直到能量 全部被电阻消耗掉。 s1=s2= - 可定得系数： 故： 由初始条件 i (0+)= 0 uc(0+) =U0 uL(0+) =U0 U0 波形 0 t uc(t) i(t) tm 临界阻尼情况 波形与过阻尼情况相似，uc 单调衰减，无振荡（处于振 荡与非振荡的临界状态）。 特例 R = 0 t L C + - 等幅振荡 无阻尼 d 0 例：如图RLC电路，R= 4, L=1H, uc(0)=4V, i(0)=2A, t=0 时刻K闭合，试分别计算（1）C=1/20F（2）C=1/4F（3 ）C=1/3F 时电流i(t)。 R K L uL + - i(t) RLC串联电路 +- uR uc + - C 解：电路方程为： 特征方程特征根： 初始条件 i(0)=2A K1=2 （1） uc(0+)=4V uL(0+)= uc(0+)-R i(0+) = -4V 故 -2K1+4K2=-4 （2） 由(1)(2)联立得： K1=2 K2=0 由初始条件 i(0)=2A 可得： A=2 B=0 （临界阻尼） 故： （过阻尼） 故： 由初始条件 i(0)=2A A1=A2=1 小结： 可推广应用于一般二阶电路 定积分常数 由 d 0 全响应： 如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激 励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应 是零输入响应和零状态响应的叠加，可以通过求解 二阶非齐次方程方法求得全响应。 动态电路分析 1线性动态电路的时域分析。 2电容电压不能跃变的规律，电感电压