南京XX中学2015-2016学年八年级下期中数学试卷(二)含答案解析

2015年江苏省南京 学 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A 等边三角形 B 正方形 C 圆 D 平等四边形 2下面有四种说法： 了解某一天出入南京市的人口流量适合用普查方式； 抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 “打开电视机，正在播放关于篮球巨星科比退役的相关新闻 ”是随机事件 如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件 其中正确说法是（ ） A B C D 3下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A =1 B = C =x+y D = 4下列命题中，假命题是（ ） A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C对角线互相垂直平分的四 边形是菱形 D对角线互相平分的四边形是平行四边形 5在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A频率就是概率 B频率与试验次数无关 C概率是随机的，与频率无关 D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 6四边形 ，对角线 交于点 O，给出下列四个条件： C； C； D，从中任选两个条件，能使四边形 平行四边形的选法有（ ） A 6 种 B 5 种 C 4 种 D 3 种 二、填空题（共 10 小题，每 小题 2 分，共 20 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7若分式 有意义，则 x 的取值范围是 8平行四边形 ， A 比 B 小 20，那么 C= 9在一个不透明的口袋里装了 2 个红球和 1 个白球，每个球除了颜色外都相同，将球摇匀，据此，请你写出一个发生的可能性小于 的随机事件： 10一个样本的 50 个数据分别落在 5 个组内，第 1、 2、 3、 4 组数据的个数分别是 2、8、 15、 5，则第 5 组数据的频数为 ，频率为 11如图，在矩形 ，对角线 于点 O，已知 0， ，则 12如图，将 叠，使点 D、 C 分别落在点 F、 E 处（点 F、 E 都在 在的直线上），折痕为 0，则 A= 13如图，在菱形 ， 交于点 O，点 P 是 中点， ，则菱形周长是 14用平行四边形的定义和课本上的三个定理可以判断一个四边形是平行四边形，请探索并写出一个与它们不同的平行四边形的判定方法： 15若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必须满足的条件是 16已知在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C、 D 的坐标依次为（ 1， 0），（ m， n），（ 1， 10），（ 7， p），且 p n若以 A、 B、 C、 D 四个点为顶点的四边形是菱形，则 n 的值是 三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分请在 答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17计算： （ 1） （ 2） 3 18先化简，再求值： （ 1），然后从 2， 1， 1， 2 中选一个你认 为合适的数作为 a 的值代入求值 19证明矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形 20如图，线段 点 O 顺时针旋转一定的角度得到线段 A 的对应点为 （ 1）请用直尺和圆规作出旋转中心 O（不写作法，保留作图痕迹）； （ 2）连接 根据旋转的性质用符号语言写出 2 条不同类型的正确结论 21在平行四边形 ， E、 F 分别是 中点， 交于点 G， 交于点 H （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）若四边形 矩形，则平等四边行 满足的条件是 （直接写出答案，不需要证明） 22某校有 2 000 名学生为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 100 名学生进行抽样调查整理样本数据，得到如图表（频数分布表中部分划记被墨水盖住）： 某校 100 名学生上学方式频数分布表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正 正正 29 乘公共交通工具 正正正正正正 30 乘私家车 其它 合计 100 （ 1）本次调查的个体是 ； （ 2）求频数分布表中， “乘私家车 ”部分对应的频数； （ 3）请估计该校 2 000 名学生中，先把骑车和步行上学的一共有多少人？ 23如图，在正方形 M、 N 是对角线 的两点，且 N，连接 延长，交 点 F，连接 延长，交 点 E连接 （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）求证： 24浴缸有两个水龙头，一个放热水，一个放冷水，两水龙头放水速度：放热水的是 分，放冷水的速度是 b 升 /分，下面有两种放水方式： 方式一：先开热水，使热水注满浴缸的一半，后一半容积的水接着开冷水龙头注放 方式二：前一半时间让热水龙头注放，后一半时间让冷水龙头注放 （ 1）在方式一中：设浴缸容积为 V 升，则先开热水，热水注满浴缸一半所需的时间为 分； （ 2）两种方式中，哪种方 式更节省时间？请说明理由 25阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知 （ a、 b、 c 互相不相等），求 x+y+z 的值 解：设 ，则 x=k（ a b）， y=k（ b c）， z=k（ c a）于是， x+y+z=k（ a b+b c+c a） =k0=0， 依照上述方法解答下列问题：已知： = = （ x+y+z 0），求 的值 26如图 ，已知 等腰三角形， 0，点 D 是 中点，作正方形 点 A、 C 分别在 ，连接 （ 1）试猜想线段 关系为； （ 2）如图 ，将正方形 点 D 按逆时针方向旋转 （ 0 90），判断（ 1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论 2015年江苏省南京八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A 等边三角形 B 正方形 C 圆 D 平等四边形 【考点】 心对称图形； 对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； 故选： D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2下面有四种说法： 了解某一天出入南京市的人口流量适合用普查方式； 抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 “打开电视机，正在播放关于篮球巨星科比退役的相关新闻 ”是随机事件 如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件 其中正确说法是（ ） A B C D 【考点】 率的意义； 面调查与抽样调查； 机 事件 【分析】根据调查方式的选择、必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别进行解答即可 【解答】解： 了解某一天出入南京市的人口流量适合用抽样调查的方式，故本选项错误； 抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 ，正确； “打开电视机，正在播放关于篮球巨星科比退役的相关新闻 ”是随机事件，正确； 如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件，正确； 故选 C 【点评】此题考查了概率的意义、抽样调查和全面调查和随机事件，不易采集到数据 的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A =1 B = C =x+y D = 【考点】 65：分式的基本性质 【专题】 11 ：计算题； 513：分式 【分析】原式变形变形得到结果，即可作出判断 【解答】解： A、原式 = =1，正确； B、原式 = ，错误； C、原式为最简结果，错误； D、原式 = ，错误， 故选 A 【点评】此题考 查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键 4下列命题中，假命题是（ ） A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点】 题与定理； 行四边形的判定； 形的判定； 形的判定；方形的判定 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线矩形判断即可 【解答】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以 A 为假命题； 对角线相 等且互相平分的四边形是矩形，所以 B 为真命题； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以 C 为真命题； 对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以 D 为真命题 故选 A 【点评】本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形也考查了真命题与假命题的概念 5在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A频率就是概率 B频率与试验次数无 关 C概率是随机的，与频率无关 D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【考点】 用频率估计概率 【专题】 1 ：常规题型 【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答 【解答】解： 大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率， D 选项说法正确 故选： D 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的 概率 6四边形 ，对角线 交于点 O，给出下列四个条件： C； C； D，从中任选两个条件，能使四边形 平行四边形的选法有（ ） A 6 种 B 5 种 C 4 种 D 3 种 【考点】 行四边形的判定 【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可 【解答】解： 组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形平行四边形； 组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形 平行四边形； 可证明 而得到 B，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形 平行四边形； 可证明 而得到 B，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形 平行四边形； 有 4 种可能使四边形 平行四边形 故选： C 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7若分式 有意义，则 x 的取值范围是 x 1 【考点】 62：分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件可得 1+x 0，再解即可 【解答】解：由题意得： 1+x 0， 解得： x 1， 故答案为： x 1 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 8平行四边形 ， A 比 B 小 20，那么 C= 80 【考点】 行四边形的性质 【专题】 11 ：计算题 【分析】根据平行四边形的性质分别求 出 A 和 B 的度数，然后根据平行四边形对角相等的性质可得 C= A，即可求解 【解答】解： 四边形 平行四边形， ， 解得： ， C= A=80 故答案为： 80 【点评】本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法 9在一个不透明的口袋里装了 2 个红球和 1 个白球，每个球除了颜色外都相同，将球摇匀，据此，请你写出一个发生的 可能性小于 的随机事件： 求摸到白球的概率 【考点】 能性的大小； 机事件 【分析】发生的可能性小于 的随机事件就是摸出的球的个数占总数的一半以下，据此求解 【解答】解：一个不透明的口袋里装了 2 个红球和 1 个白球，摸到白球的概率为： = ， 故答案为：求摸到白球的概率 【点评】本题考查了可能性的大小的知识，解题的关键是能够根据题意确定摸到红球和摸到白球的概率，难度不大 10一个样本的 50 个数据分别落在 5 个组内，第 1、 2、 3、 4 组数据的个数分别是 2、8、 15、 5，则第 5 组数据的频数为 20 ，频率为 【考点】 数与频率 【分析】总数减去其它四组的数据就是第 5 组的频数，用频数除以数据总数就是频率 【解答】解：根据题意可得：第 1、 2、 3、 4 组数据的个数分别是 2、 8、 15、 5，共（ 2+8+15+5）=30， 样本总数为 50， 故第 5 小组的频数是 50 30=20， 频率是 = 故答案为 20， 【点评】本题考查频率、频数的关系：频率 = ，同时考查频数的定义即样本数据出现的次数 11如图，在矩形 ，对角线 于点 O，已知 0， ，则 4 【考点】 形的性质 【分析】由矩形的性质可得到 B，于是可证明 等边三角形，于是可求得，然后依据勾股定理可求得 长 【解答】解： 四边形 矩形， B= B， 0， 等边三角形 在 ， =4 故答案为： 4 【点评】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用，求得 长是解题的关键 12如图，将 叠，使点 D、 C 分别落在点 F、 E 处（点 F、 E 都在 在的直线上），折痕为 0，则 A= 65 【考点】 行四边形的性质 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得 后根据平行线的性质，即可求得 A，又由平角的定义，根据 0，求得 度数，然后可求得 A 的度数 【解答】解： 四边形 平行四边形， 根据折叠的性质可得： A， 0， 80 30， A=65， 故答案为： 65 【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质，注意数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系，难度适中 13如图，在菱形 ， 交于点 O，点 P 是 中点， ，则菱形周长是 24 【考点】 形的性质 【分析】根据菱形的性质可得 C=D，再根据直角三角形的性质可得而得到 ，然后可算出菱形 周长 【解答】解： 四边形 菱形， C=D， 点 P 是 中点， ， ， 菱形 周长是： 4 6=24， 故答案为： 24 【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等 14用平行四边形的定义和课本上的三个定理可以判断一个四边形是平行四边形，请探索并写出一个与它们不同的平行四边形的判定方法： 答案不唯一，如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等 【考点】 行四边形的判定 【专题】 26 ：开放型 【分析】根据平行四边形的定义以及判定方法得出即可 【解答】解：答案不唯一，如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等； 理由： B= D， A= C， B+ C+ D+ A=360， B+ C=180， A+ D=180， 四边行 平行四边形 故答案为：答案不唯一，如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键 15若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必须满足的条件是 对角线互相垂直 【考点】 点四边形； 形的判定 【分析】根 据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直 【解答】解：由于 E、 F、 G、 H 分别是 中点， 根据三角形中位线定理得： 四边形 平行四边形， 四边形 矩形，即 故答案为：对角线互相垂直 【点评】本题主要考查了 矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答 16已知在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C、 D 的坐标依次为（ 1， 0），（ m， n），（ 1， 10），（ 7， p），且 p n若以 A、 B、 C、 D 四个点为顶点的四边形是菱形，则 n 的值是 2， 5， 18 【考点】 形的判定； 标与图形性质 【分析】利用菱形的性质结合 A， C 点坐标进而得出符合题意的 n 的值 【解答】解：如图所示：当 C（ 7， 2）， C（ 7， 5）时，都可以得到以 A、 B、 C、 ， 同理可得：当 D（ 7， 8）则对应点 C 的坐标为；（ 7， 18）可以得到以 A、 B、 C、 故 n 的值为： 2， 5， 18 故答案为： 2， 5， 18 【点评】此题主要考查了菱形的判定以及坐标与图形的性质，利用菱形的性质得出 C 点坐标是解题关键 三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17计算： （ 1） （ 2） 3 【考点】 6C：分式的混合运算 【分析】（ 1）先约分，再计算即可； （ 2）化为同分母的分式，再进行相加即可 【解答】解：（ 1）原式 = ； （ 2）原式 = = = = 2 【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的约分和通分是解此题的关键 18先化简，再求值： （ 1），然后从 2， 1， 1， 2 中选一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值 【考点】 6D：分式的化简求值 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的 a 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 = = = ， 当 a= 2 时，原式 = =1 【点评】本题考查的是分式的化简求值 ，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助 19证明矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形 【考点】 形的判定 【分析】由全等三角形的判定定理 得 0，所以“有一内角为直角的平行四边形是矩形 ” 【解答】已知：四边形 平行四边形， 两条对角线，且 D 求证：平行四边形 矩形 证明：如图， 四边形 平行四边形， C， 在 ， ， 又 80， 0， 平行四边形 矩形 【点评】本题考查了矩形的判定此题通过全等三角形的性质得到同旁内角互补，结合平行线的性质证得平行四边形的两个内角为直角 20如图，线段 点 O 顺时针旋转一定的角度得到线段 A 的对应点为 （ 1）请用直尺和圆规作出旋转中心 O（不写作法，保留作图痕迹）； （ 2）连接 根据旋转的性质用符号语言写出 2 条不同类型的正确结论 【考点】 图旋转变换 【分析】（ 1）连接 分别作 中垂线交点即为点 O； （ 2）根据旋转的性质可知，对应角都相等 都等于旋转角，对应点到旋转中心距离相等，据此可知 【解答】解：（ 1）如图，点 O 即为所求； （ 2） 【点评】本题主要考查旋转变换的作图，熟练掌握旋转变换的性质： 对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上）， 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 旋转前、后的图形全等 21在平行四边形 ， E、 F 分别是 中点， 交于点 G， 交于点 H （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）若四边形 矩形，则平等四边行 满足的条件是 平行四边形 且 （直接写出答案，不需要证明） 【考点】 形的判定； 行四边形的判定与性质 【分析】（ 1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形 平行四边形； （ 2）当平行四边形 矩形，并且 ，先证明四边形 正方形，得出有一个内角等于 90，从而证明菱形 一 个矩形 【解答】（ 1）证明： 四边形 平行四边形， D， E 是 点， F 是 点， F， 四边形 平行四边形， 同理可得 四边形 平行四边形； （ 2）解：当平行四边形 矩形，并且 ，平行四边形 矩形理由如下： 连接 图所示： E， F 分别为 中点，且 D， F，且 四边形 平行四边形， F， 又 E 为 点，则 于是有 D= 这时， E=F= 0， 四边形 正方形， G= 0， 此时，平行四边形 矩形； 故答案为：平行四边形 矩形，并且 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意找准条件，有一定的难度 22某校有 2 000 名学生为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 100 名学生进行抽样调查整理样本数据，得到如图表（频数分布表中部分划记被墨水盖住）： 某校 100 名学生上学方式频数分布表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正正正 29 乘公共交通工具 正正正正正正 30 乘私家车 其它 合计 100 （ 1）本次调查的个体是 每名学生的上学方式 ； （ 2）求频数分布表中， “乘私家车 ”部分对应的频数； （ 3）请估计该校 2 000 名学生中，先把骑车和步行上学的一共有多少人？ 【考点】 数（率）分布表； 体、个体、样本、样本容量； 样本估计总体 【分析】（ 1）每一个调查对象称为个体，据此求解； （ 2）首先求得私家车部分所占的百分比，然后乘以总人数即可求得对应频数； （ 3）用学生总数乘以骑车和步行上学所占的百分比的和即可求得人数 【解答】 解：（ 1）本次调查的个体是每名学生的上学方式， 故答案为：每名学生的上学方式； （ 2）由扇形统计图知， “乘私家车 ”部分对应的百分比为 1 15% 29% 30% 6%=20%， 则 “乘私家车 ”部分对应的频数为 100 20%=20； （ 3） 2000 （ 15%+29%） =880 人 答：估计该校 2000 名学生中，选择骑车和步行上学的一共有 880 人 【点评】本题考查了频率分布表、用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是能够读懂统计图，并从统计图中整理出进一步解题的有关信息 23如图，在正方形 M、 N 是对角线 的两点，且 N，连接 延长，交 点 F，连接 延长，交 点 E连接 （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）求证： 【考点】 方形的性质； 等三角形的判定； 形的判定与性质 【分析】（ 1）连接 O，先证明四边形 平行四边形，再根据 D 即可证明 （ 2）先证明四边形 平行四边形，得到 证明 N， 可解决问题 【解答】（ 1）证明：连接 O 四边形 正方形， C， D， N， N， D， 四边形 平行四边形， 四边形 菱形 （ 2）证明： 四边形 菱形， N， 四边形 平行四边形， 在 ， ， 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题 24浴缸有两个水龙头，一个放热水，一个放冷水，两水龙头放水速度：放热水的是 分，放冷水的速度是 b 升 /分，下面有两种放水方式： 方式一：先开热水，使热水注满浴缸的一半，后一半容积的水接着开冷水龙头注放 方式二：前一半时间让热水龙头注放，后一半 时间让冷水龙头注放 （ 1）在方式一中：设浴缸容积为 V 升，则先开热水，热水注满浴缸一半所需的时间为 分； （ 2）两种方式中，哪种方式更节省时间？请说明理由 【考点】 6C：分式的混合运算 【分析】（ 1）根据题意即可得到结论； （ 2）首先浴缸容积为 V，然后求出方式一和方式二注满