2015-2016高中数学 2.1.1直线的斜率学案 苏教版必修2

第2章平面解析几何初步21直线与方程21.1直线的斜率交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度如右图，沿着这条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k，坡度k0表示这段道路是上坡，k值越大上坡越陡，如果k太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；k0表示是平路；k0表示下坡，|k|值越大说明下坡越陡，|k|太大同样也容易出事故因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么，如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？1当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴所在的直线按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角叫做直线l的倾斜角特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0.故的取值范围是0，180)2我们将一条直线的倾斜角(90)的正切值tan ，称为这条直线的斜率，通常用k表示即ktan .由定义知，倾斜角为90的直线没有斜率3求直线斜率的两种常用方法是：(1)定义ktan (90)；(2)斜率公式k(x1x2)4平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度5在平面直角坐标系中，已知直线上的一个定点不能确定一条直线的位置同样，已知直线的倾斜角，也不能确定一条直线但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点和它的倾斜角，二者缺一不可6倾斜角不等于90的直线都有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度7任何一条直线都有唯一的倾斜角，但是任何一条直线并不是都存在斜率8若直线l的方程为yxtan 2，则直线的斜率是tan_，但不一定是直线l的倾斜角,一、直线的斜率公式经过两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的直线的斜率公式：k，其适用范围是x1x2.斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示，很多时候比利用几何法由倾斜角求斜率更方便；斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)；如果y2y1(x1x2)，则直线与x轴平行或重合，k0；如果x1x2，y1y2，则直线与x轴垂直，倾斜角90，斜率k不存在二、直线的倾斜角和斜率的概念(1)直线的倾斜角的定义分为两个部分：一是与x轴相交的直线，其倾斜角是用旋转角来定义的；二是与x轴平行和重合的直线，其倾斜角是规定的关于与x轴相交的直线的倾斜角的理解，要抓住3个要素：将x轴绕着交点旋转到和直线重合；按逆时针方向旋转；为最小正角(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，其范围是0180，倾斜角是一个几何概念，它直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度(3)直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率倾斜角不是90的直线都有斜率，当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴，斜率ktan (90)表示直线相对于x轴的倾斜程度特别当(0，90)时，k0；当(90，180)时，k0.知识点一直线的斜率1经过点M(1，2)、N(2，1)的直线的斜率是_，倾斜角是_解析：由斜率公式得k1.答案：11352过点M(2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于2，则m的值为_解析：由斜率公式得2，解得m0.答案：03设A(t，t3)、B(2，t1)、C(1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数 t 的值为_解析：由题意得：kBC，kAC0.故kAC1.于是：，即t4.答案：4知识点二直线的倾斜角4若直线x1的倾斜角为，则为_解析：直线x1与y轴平行，故90.答案：905直线l经过原点O和点P(1，1)，则它的倾斜角是_解析：过点P作PAx轴，垂足为A，则在RtPOA中，POA45，即倾斜角是45.答案：456一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为_解析：若直线l的倾斜角为锐角，则为90；若直线l的倾斜角为钝角，则为90.答案：90或90知识点三直线的倾斜角与斜率的关系7若直线的斜率为，则直线的倾斜角是_解析：由k，则tan ，得120.答案：1208已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如图所示，则k1、k2、k3的大小关系为_解析：由图可知直线l1的倾斜角为钝角，k10.直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2倾斜角较大，k2k30.答案：k1k3k29已知P(3，1)、M(6，2)、N(，)，直线l过点P，若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围解析：考虑临界状态：令直线PM的倾斜角为1，直线PN的倾斜角为2，由已知得tan 11，tan 2，故直线PM的倾斜角为45.直线PN的倾斜角为150，依据倾斜角定义并结合图形可知符合条件的直线l的倾斜角的取值范围为45，150综合点一直线的斜率与倾斜角的关系应用 10已知直线l的倾斜角是直线yx5的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为(C)A1 B. C. D解析：直线yx5的斜率为，则其倾斜角为30，故直线l的倾斜角为60，kl.11若过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围解析：直线PQ的倾斜角为钝角，则意味着直线的斜率小于0，由kPQ0，解得：2a1，故a的取值范围是(2，1)综合点二斜率与共线12若三点A(2，2)、B(a，0)、C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_解析：A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)三点共线，kABkAC.a2.a.答案：13已知A(1，1)、B(3，5)、C(a，7)、D(1，b)四点共线，求a，b的值解析：A、B、C、D四点共线，直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB2，kAC，kAD.2，解得a4，b3.综合点三数形结合解题14已知两点A(3，4)、B(3，2)，过点P(2，1)且不垂直于x轴的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解析：如右图所示，由题可知：kP