高中数学 第三章 三角恒等变换 3_1_1 两角和与差的余弦学案 苏教版必修4

3.1.1两角和与差的余弦学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值知识点一两角差的余弦思考1cos(9030)cos 90cos 30成立吗？思考2单位圆中(如图)，P1Ox，P2Ox，那么P1，P2的坐标是什么？与的夹角是多少？思考3由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程梳理两角差的余弦公式cos()_.(C()知识点二两角和的余弦思考你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？梳理两角和的余弦公式cos()_.(C()特别提醒：(1)公式中的角，是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos()，cos()是一个整体(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式类型一给角求值问题例1求下列各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2)；(3)cos 15sin 15.反思与感悟对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)；(2).类型二已知三角函数值求值例2已知sin ，sin ，且，求cos()引申探究1若将例2改为已知sin ，sin ，且2，0，求cos()2若将例2改为已知sin ，cos()，求sin .反思与感悟(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：()，()，(2)()，()()，()()等跟踪训练2已知，且cos()，sin()，求cos 2的值类型三已知三角函数值求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角跟踪训练3已知锐角，满足sin ，cos ，求的值1计算cos cos cos sin 的值是_2若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab_.3已知cos ，且为第一象限角，则cos()_.4已知sin sin ，cos cos ，求cos()的值5已知sin()，sin()，且，求cos 2的值1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定答案精析问题导学知识点一思考1不成立思考2 P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )与的夹角是.思考3在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角，其终边分别与单位圆交于P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，则P1OP2.由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以，我们只需考虑0 的情况设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，则ab|a|b|cos()cos()另一方面，由向量数量积的坐标表示，有abcos cos sin sin ，所以cos()cos cos sin sin .(C()梳理cos cos sin sin 知识点二思考能，cos()cos()cos cos()sin sin()cos cos sin sin .梳理cos cos sin sin 题型探究例1解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30.(2)原式cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.(3)cos 60，sin 60，cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60cos 15cos(6015)cos 45.跟踪训练1解(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos(35)(25)cos(60).(2)原式2.例2解sin ，cos .又sin ，cos ，cos()cos cos sin sin ()()().引申探究1解sin ，0，cos .又sin ，且2，当时，cos ，cos()cos cos sin sin ()()；当2时，cos ，cos()cos cos sin sin ().综上所述，cos()或.2解sin ，且，cos .又，0.又cos()，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()()()，sin .跟踪训练2解因为，所以，0，又因为cos()，sin()，所以sin()，cos()，所以cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()()().例3解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，.跟踪训练3解因为，为锐角且sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以cos()cos cos s