高中数学 第二章 推理与证明 2_1 合情推理与演绎推理 2_1_1 合情推理教学案 新人教a版选修2-2

21.1合情推理预习课本P7077，思考并完成下列问题 (1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？(3)合情推理的含义是什么？1归纳推理和类比推理点睛(1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论(2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确2合情推理1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用()(3)由个别到一般的推理为归纳推理()答案：(1)(2)(3)2由“若ab，则acbc”得到“若ab，则acbc”采用的是()A归纳推理B演绎推理C类比推理 D数学证明答案：C3数列5,9,17,33，x，中的x等于_答案：65归纳推理在数、式中的应用典例(1)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123 D199(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_解析(1)利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x).答案(1)C(2)f3(x)fn(x)1已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式活学活用1观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1)答案：n(n1)2已知数列an的前n项和为Sn，a13，满足Sn62an1(nN*)(1)求a2，a3，a4的值(2)猜想an的表达式解：(1)因为a13，且Sn62an1(nN*)，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.(2)由(1)知a13，a2，a3，a4，猜想an(nN*).归纳推理在几何中的应用典例有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36解析有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.答案B利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式活学活用1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2 D8n2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an6n2.2(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_解析：三棱柱中5692；五棱锥中66102；立方体中68122，由此归纳可得FVE2.答案：FVE2类比推理的应用典例如图所示，在ABC中，射影定理可表示为a=bcos C+ccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S=S1cos +S2cos +S3cos .1类比推理的步骤(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想(3)检验这个猜想2平面图形与空间图形类比如下平面图形空间图形点线线面圆球三角形四面体线线角二面角边长面积周长表面积面积体积 活学活用1在ABC中，D为BC的中点，则(+)，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：_.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线答案：在四面体ABCD中，G是BCD的重心，则AG(+)2在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，在空间中，给出四面体性质的猜想解：如图，在RtABC中，cos2Acos2 B221.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则cos2cos2cos21.层级一学业水平达标1观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.BC. D解析：选A观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸n边形的内角和是(n2)180(nN*，且n3)A BC D解析：选C是类比推理；是归纳推理，都是合情推理3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为()A12 B14C18 D116解析：选C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积之比为18.4类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是()A BC D解析：选B根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，是正确的结论5观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：选A观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确6观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n1，故第n行等式左边的数依次是n，n1，n2，(3n2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_解析：平面图形与立体图形的类比：周长表面积，正方形正方体，面积体积，矩形长方体，圆球答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大8如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列an的通项公式为an_.解析：根据OA1A1A2A2A3A7A81和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1OA11，a2OA2，a3OA3，故可归纳推测出an.答案：9在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜想凸n边形有几条对角线？解：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n1)边形多(n2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2345(n2)，由等差数列求和公式可得n(n3)(n4，nN*)所以凸n边形的对角线条数为n(n3)(n4，nN*)10已知f(x)，分别求f(0)f(1) ，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论解：f(x)，所以f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3).归纳猜想一般性结论；f(x)f(x1).证明如下：f(x)f(x1).层级二应试能力达标1由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”其中类比结论正确的个数是()A1B2C3 D4解析：选B由向量的有关运算法则知正确，都不正确，故应选B.2类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半；(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对解析：选C以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确3观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：1()A. B.C. D.解析：选C观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12,22,32，(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1，所以当n2 016时不等式为：1.4设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A. B.C. D.解析：选C将ABC的三条边长a，b，c类比到四面体PABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.5观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为_解析：每条边上有2个圆圈时共有S4个；每条边上有3个圆圈时，共有S8个；每条边上有4个圆圈时，共有S12个可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S4(n1)(n2)答案：S4(n1)(n2)6可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是1(ab0)与x2y2a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k，椭圆面积Sa2ab.答案：ab7观察下列两个等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：由知若两角差为30，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：若30，则30，sin2cos2(30)sin cos(30).下面进行证明：左边sin2cos(30)cos(30)sin sin2sin2cos2sin2右边所以，猜想是正确的故sin2cos2(30)sin cos(30).8已知在RtABC