高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 6 直线、圆、圆锥曲线教学案 理

6.直线、圆、圆锥曲线要点重温1直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，)(2)经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的倾斜角为(90)，则斜率为ktan (x1x2)；(3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助ktan 的图象(如图22)图22应用1已知直线l过P(1,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 【导学号：07804189】答案5，) 2直线方程的几种形式：点斜式：yy0k(xx0)；斜截式：ykxb；两点式：；截距式：1(a0，b0)；一般式：AxByC0(A2B20)要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解应用2若直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为_答案x2y50或y2x3两直线的平行与垂直(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1l2k1k2；l1l2k1k21.(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则有l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.特别提醒： ，仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件应用3设直线l1：xmy60和l2：(m2)x3y2m0，当m_时，l1l2；当m_时，l1l2；当_时l1与l2相交；当m_时，l1与l2重合答案1m3且m134点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为d；(2)两平行线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离为d.应用4两平行直线3x2y50与6x4y50间的距离为_答案5圆的方程：(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2；(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)；(3)以线段P1P2为直径的圆方程：(xx1)(xx2) (yy1)(yy2)0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a，b，r或D，E，F的方程组，求得a，b，r或D，E，F的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可解题时注意圆的几何性质的应用应用5(1)若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a_.(2)求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程答案(1)1(2)x2y22x6y10或 x2y22x6y106直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则l2.(2)圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦(3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用0，0，0，而用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系，即dr，分别确定相交、相切、相离的位置关系应用6过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30B2xy30C4xy30D4xy30解析点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为，所以直线AB的斜率为2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB的方程为y12(x1)，化简得2xy30.故选A.答案A7(1) 圆锥曲线的定义和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a (2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1准线x通径|AB|AB|2p渐近线yx(2) 求圆锥曲线的标准方程时，一定要先定位，再定量应用7 (1)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.BC.D(2)若1表示椭圆，则m，n应满足的关系是_. 【导学号：07804190】(3)已知椭圆的离心率为，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程解析(1)由抛物线定义可得M点到准线的距离为5，p8，抛物线方程为y216x，M(1,4)，点A(，0)，由AM的斜率等于渐近线的斜率得，解得a，故选A.答案(1)A(2)m0，n0，mn(3) 1和 18(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|或|P1P2|.(3)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)，D(x2，y2)，则焦半径|CF|x1；弦长|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.应用8已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于()A1B1C12D13解析由题意可知直线l的方程为y2，联立方程得N，所以|NF|p，|FM|pp，所以|NF|FM|12.答案C应用9已知双曲线x21，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1.代入双曲线方程x21，整理得，(2k2)x22k(k1)x32kk20，由4k2(k1)24(2k2)(2k3k2)0，解得k，故不存在被点A(1,1)平分的弦查缺补漏1已知圆C：(xa)2(yb)2r2的圆心为抛物线y24x的焦点，直线3x4y20与圆C相切，则该圆的方程为()A(x1)2y2Bx2(y1)2C(x1)2y21Dx2(y1)21C因为抛物线y24x的焦点为(1,0)，所以a1，b0，又直线3x4y20与圆C相切，得r1，所以该圆的方程为(x1)2y21.2已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为() 【导学号：07804191】A.1B1C.1D1B由题意得，c2a2b225，所以a4，b3，所求双曲线方程为1.3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的斜率为()ABCD1C由题意得，2ab12a212，b23，利用点差法得直线l的斜率为，选C.4若抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()ABC1D2D设抛物线的焦点为F(0,1)，AB的中点为M，准线方程为y1，则点M到准线的距离d(|AF|BF|)|AB|3，即点M到准线的距离的最小值为dmin3，所以点M到x轴的最短距离dmindmin12，选D.5已知P为椭圆1上的点，点M为圆C1：(x3)2y21上的动点，点N为圆C2：(x3)2y21上 的动点，则|PM|PN|的最大值为()A8B12C16D 20B由题可知，(|PM|PN|)max|PC1|PC2|212，故选B.6过曲线C1：1(a0，b0)的左焦点F1作曲线C2：x2y2a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y22px(p0)于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|MN|，则曲线C1的离心率为()A.B1C.1DD如图所示，OMF1N，且M为线段F1N的中点，所以ANF2N2a，F2NF1N，所以在RtF1F2N中，cosNF1F2，在RtF1AN中，cosF1NA，又因为NF1F2F1NA，所以，即c2a2b2ac，解之得e，故选D.7已知双曲线C1：y21，双曲线C2：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是()A32B16C8D4B因为双曲线C2：1与双曲线C1：y21的离心率相同，所以e，解得，即双曲线C2的一条渐近线方程为yx，即x2y0，又因为OMMF2，OMF2的面积为16，所以|OM|MF2|MF2|216，解得|MF2|4，即右焦点F2(c,0)到渐近线x2y0的距离为4，所以4，解得c4，a8,2a16，即双曲线C2的实轴长为16.故选B.8抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线方程为()Ay26xBy28xCy216xDy2xB依题意，设M(x，y)，|OF|，所以|MF|2p，x2p，x，yp，又MFO的面积为4，所以p4，p4，所以抛物线方程为y28x，选B.9在平面直角坐标系xOy中，直线l：y2x4，圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上存在点M，且M在圆D：x2(y1)24上，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.B.C. D.B点M既在圆C上，又在圆D上，所以圆C和圆D有公共点，圆C 的圆心为(a,2a4) ，半径为1，圆D的圆心为(0，1) ，半径为2，则圆心距 ，满足 ，解得：0a ，故选B.10已知圆C：x2y24，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB, A、B为切点，则直线AB经过定点A.BC(2,0)D(9,0)A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0), 则PA：x1xy1y4；PB：x2xy2y4; 即x1x0y1y04；x2x0y2y04；因此A、B在直线x0xy0y4上，直线AB方程为x0xy0y4，又x02y090，所以(92y0)xy0y4y0(y2x)9x40即y2x0,9x40y，x，直线AB经过定点，选A.11已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，点C是B1F2的中点，若2，且CF1B1F2，则椭圆的方程为_1由题意可得F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，C，(c，b)(c，b)c2b22，可得0，即有(c，b)c20，解得c1，b，a2，可得椭圆的方程为1.12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.13已知双曲线C：1(ba0)的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使0，则双曲线离心率的取值范围是_. 【导学号：07804192】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmyc(0m)，联立双曲线方程，消去x，得(b2m2a2)y22b2mcyb40，所以y1y2，y1y2.因为x1x2y1y20，即m2y1y2mc(y1y2)c2y1y20，代入整理，得b4m22b2m2c2c2b2m2a2c2b40,0m2.由b4a2b20，得(c2a2)2a2c20，即c43a2c2a40，e43e210，解得e；由，得b4a4a2c20，即(c2a2)2a4a2c20，c43a2c20，所以b0)的右焦点F，抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时， 12的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由解(1)易知椭圆右焦点F(1,0)，c1，抛物线x24y的焦点坐标(0，)，b， a2b2c24.椭圆C的方程为1 .(2)易知m0，M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 (3m24)y26my90，(6m)236(3m24)144(m21)0.y1y2，y1y2 .又由1，2得：11，21.122 .15已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦点(1)若A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设点P(4,0)，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；(2)设O为坐标原点，在(2)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求的取值范围解 (1)证明：设椭圆C的标准方程为1(ab0)，抛物线x24y的焦点为(0，)由题意，可得椭圆C的标准方程为1.由题意可知直线PA存在斜率，设直线PA的方程为yk(x4)，代入椭圆方程可得(4k23)x232k2x64k2120.由322k44(4k23)(64k212)0，有k.设A(x1，y1)，E(x2，y2)，则B(x1，y1)，由根与系数的关系得x1x2，x1x2直线BE的方程为yy1(xx1)，令y0，可得xMx1，将y1k(x14)，y2k(x24)代入上式，整理可得xM将，代入整理可得xM1