高中数学 第一章 立体几何初步 1_2_3 第2课时 平面与平面垂直学案 新人教b版必修2

1.2.3 第2课时平面与平面垂直学习目标1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.知识链接1.直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.2.直线与平面垂直的性质定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.符号表示：ab.预习导引1.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.要点一平面与平面垂直判定定理的应用例1如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.证明连接AC，BC，则BCAC，又PA平面ABC，PABC，而PAACA，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟踪演练1如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC平面PDB.证明设ACBDO，连接OE，ACBD，ACPD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.要点二面面垂直性质定理的应用例2如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.解已知：，l.求证：l.方法一在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，PB垂直与的交线于B，则PA，PB.l，lPA，lPB.又PAPBP，且PA，PB，l.方法二在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，m，n.mn.又n，m.又m，l，ml.l.规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质.跟踪演练2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.要点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证明(1)在菱形ABCD中，G为AD的中点，DAB60，BGAD.又平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)连接PG，如图，PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点；(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪演练3如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：PABD.证明如图，取BC的中点O，连接PO、AO.PBPC.POBC，又侧面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.BD平面ABCD，POBD，在直角梯形ABCD中，易证ABOBCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90AOBD，又POAOO，BD平面PAO，又PA平面PAO，BDPA.1.若平面平面，平面平面，则()A. B.C.与相交但不垂直 D.以上都有可能答案D解析以正方体为模型；相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2.已知l，则过l与垂直的平面()A.有1个 B.有2个C.有无数个 D.不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个.3.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作MEAB于E，则()A.ME平面AC B.ME 平面ACC.ME平面AC D.以上都有可能答案A解析由于ME平面AB1，平面AB1平面ACAB，且平面AB1平面AC，MEAB，则ME平面AC.4.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.5.下列四个命题中，正确的序号有_.，则；，则；，则；，则.答案解析不正确，当，时，可以平行、相交或垂直.1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：2.运用平面垂直的性质定理