高中数学 第三章 导数应用 2_2 最大值、最小值问题教学案 北师大版选修2-2

22最大值、最小值问题 1问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学2如图为yf(x)，xa，b的图像问题1：试说明yf(x)的极值提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值问题2：你能说出yf(x)，xa，b的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的问题3：根据问题2回答函数yf(x)，xa，b的最值可能在哪些点取得提示：在极值点或端点中1最值点(1)最大值点：函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)(2)最小值点：函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)2最值函数的最大值与最小值统称为最值(1)一般地，连续函数f(x)在a，b上有最大值与最小值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个 求函数的最值例1(1)求函数f(x)x3x22x5在区间2,2上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)xsin x在区间0,2上的最大值与最小值思路点拨先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值精解详析(1)因为f(x)x3x22x5，所以f(x)3x2x2.令f(x)0，解得x1，x21.因为f，f(1)，f(2)1，f(2)7，所以函数f(x)在2,2上的最大值是7，最小值是1.(2)因为f(x)xsin x，所以f(x)cos x，令f(x)0，解得x1，x2.因为f(0)0，f，f，f(2)，所以函数f(x)在0,2上的最大值是，最小值是0.一点通求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的全部实根x0；(3)将f(x0)的各个值与f(a)，f(b)进行比较，确定f(x)的最大值与最小值1函数f(x)x33x26x10在区间1,1上的最大值为_解析：因为f(x)3x26x63(x1)230，函数f(x)在区间1,1上单调递增，当x1时，函数f(x)取得最大值f(1)6.答案：62求函数f(x)sin 2xx在上的最大值和最小值解：f(x)2cos 2x1.令f(x)0，x，解得x或x.而f，f，f，f，所以函数f(x)的最大值为，最小值为.3已知函数f(x)ln x，当a时，求f(x)在1，e上的最大值和最小值解：当a时，f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2.当x1,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，e上是增加的f(x)在区间(1，e上有唯一的极小值点，故f(x)minf(x)极小值f(2)ln 21.f(1)0，f(e)0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab最大值16ab当x0时，f(x)取得最大值b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)，当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，即a2.当af(1)，当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，即a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.一点通由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用4如果函数f(x)x3x2a在1,1上的最大值是2，那么f(x)在1,1上的最小值是_解析：f(x)3x23x3x(x1)，令f(x)0，得x0或x1.当1x0，则f(x)为增函数；当0x1时，f(x)0.求a的值解：f(x)的定义域为(a，)f(x)1.由f(x)0，解得x1aa.当ax1a时，f(x)1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上是增加的因此f(x)在x1a处取得最小值，由题意知f(1a)1a0，故a1.6设函数f(x)ln xln(2x)ax(a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解：函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.生活中的优化问题例3某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？精解详析(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件，24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)令f(x)0，即18(x2)(x12)0，得x12，x212.当x变化时，f(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值0因为f(0)9 072f(12)11 664，所以x12时，f(x)取得最大值，即当定价为301218(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大一点通利用导数解决优化问题的一般步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式yf(x)(2)求函数f(x)的导数f(x)，并解方程f(x)0，即求函数可能的极值点(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值(4)根据实际问题的意义给出答案7做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为_dm时最省材料解析：设水箱底面边长为x dm，则高为 dm，用料总面积Sx24xx2，S2x，令S0得x8，当0x8时，S0，当x8时，S0，当x8时，S取得最小值，则高为4 dm.答案：48某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2m3)，设每个水杯的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值解：(1)设日销售量为s，则s，因为x40时，s10，故10，则k10e40，所以s，故y(x30m)(35x41)(2)y10e4010e40.令y10e400，则x31m.当2m3时，y0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A. B.C.d D.d解析：设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以xd时，f(x)有最大值，故选C.答案：C5设x0是函数f(x)(exex)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0)处的切线方程是_解析：f(x)(exex)，令f(x)0，x0，可知x00为最小值点切点为(0,1)，f(0)0为切线斜率，切线方程为y1.答案：y16已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.解析：令f(x)3x2120，解得x2.计算f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，故Mm32.答案：327求函数f(x)ex(3x2)在区间2,5上的最值解：f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.8(江苏高考)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21