高中数学 第二章 参数方程 2_3_1 椭圆曲线的参数方程学案 新人教b版选修4-4

23.1椭圆的参数方程 读教材填要点椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1的参数方程是,0t2.中心在M0(x0，y0)的椭圆1的参数方程是0t2.小问题大思维1中心在原点，焦点在y轴上的椭圆1的参数方程是什么？提示：由得即参数方程为(02)2圆的参数方程中参数的意义与椭圆的参数方程中参数的意义相同吗？提示：圆的参数方程(02)中的参数是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(02)中的不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OAa(或OBb)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角利用椭圆的参数方程求最值例1已知椭圆1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积思路点拨本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式精解详析椭圆方程为1，可设A点的坐标为(10cos ，8sin )，则|AD|20|cos |，|AB|16|sin |.S矩形|AB|AD|2016|sin cos |160|sin 2|.|sin 2|1，矩形ABCD的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值1已知实数x，y满足1，求目标函数zx2的最大值与最小值解：椭圆1的参数方程为02.代入目标函数得z5cos 8sin cos(0)cos(0).所以zmin，zmax.利用椭圆的参数方程求轨迹方程例2由椭圆1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程思路点拨本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标即可求得轨迹精解详析椭圆1的参数方程为(02)，设M(2cos ，3sin )，P(x，y)，消去，得1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用表示点的坐标，再利用sin2cos 21进行消参本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便2设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A在椭圆上，所以1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ，sin )，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得(x)21.利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题例3已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|OQ|为定值思路点拨本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答本题需要先确定B1，B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|OQ|即可精解详析设M(2cos ，sin )(02)，B1(0，1)，B2(0,1)，则MB1的方程：y1x.令y0，则x，即|OP|.MB2的方程：y1x，|OQ|.|OP|OQ|4.即|OP|OQ|4为定值(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围3求证：椭圆(ab0,02)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为ac(其中c2a2b2)证明：M，F的坐标分别为(acos ，bsin )，(c,0)|MF|2(acos c)2(bsin )2a2cos22accos c2b2b2cos2c2cos22accos a2(accos )2.当cos 1时，|MF|2最大，|MF|最大，最大值为ac.对应学生用书P33一、选择题1椭圆(02)的离心率为()A.B.C. D.解析：选C由椭圆的参数方程可知a5，b2.所以c，故椭圆的离心率e，故选C.2曲线(02)中两焦点间的距离是()A. B.C2 D2解析：选C曲线化为普通方程为1，c，故焦距为2.3若P(x，y)是椭圆2x23y212上的一个动点，则xy的最大值为()A2 B4C. D2解析：选D椭圆为1，设P(cos，2sin)，xycossin2sin2.4已知曲线0上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是()A(3,4) B.C(3，4) D.解析：选D因为tan tan 1，所以tan .所以cos ，sin ，代入得P点坐标为.二、填空题5已知曲线C：(02)经过点，则m_.解析：将曲线C：(参数R)化为普通方程为x21，将点代入该椭圆方程，得m21，即m2，所以m.答案：6曲线(02)的左焦点的坐标是_解析：题中曲线的普通方程为1，左焦点为(4,0)答案：(4,0)7对任意实数，直线yxb与椭圆02，恒有公共点，则b的取值范围是_解析：将(2cos ，4sin )代入yxb得：4sin 2cos b.恒有公共点，以上方程有解令f()4sin 2cos 2sin ()(tan )2f()2.2b2.答案：2，28直线xy2被椭圆02截得的弦长为_解析：把代入xy2得cos sin .即sin()，于是0或，得两交点M(2，0)，N(，)，|MN|.答案：三、解答题9在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求Sxy的最大值解：椭圆y21的参数方程为02.故可设动点P的坐标为(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 2(cos sin )2sin()所以当时，S取最大值2.10P为椭圆1上的点，求P到直线l：3x4y240的距离的取值范围解：设P的坐标为(4cos ，3sin )，则P到l的距离为d.当cos1时，d取最大值；当cos1时，d取最小值.综上，所求的取值范围为.11椭圆1(ab0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPAP(O为坐标原点)，求离心率e的取值范围解：由题意，知A(a,0)，若存在点P，使OPAP，则点P必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P(acos ，bsin )，.因为OPAP，所以kOPkAP1，即1.所以b2sin2a2cos2a2cos 0，即(a2b2)cos