高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明 2_2_1 合情推理与演绎推理直接证明教学案 苏教版选修2-2

2.2.1直 接 证 明对应学生用书P261若实数a，b满足ab3，证明：2a2b4.证明：因为2a2b22，又ab3，所以2a2b24.故2a2b4成立问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论2求证：22.证明：要证明20,20，只需证明(2)2(2)2，展开得114114，只需证明67，显然67成立所以2.证明：a0，b0，c0，且abc1，bccaab.又bcca222，同理bcab2，caab2.a、b、c不全相等上述三个不等式中的“”不能同时成立2(bccaab)2()，即bccaab，故.2.(1)如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面根据平面向量基本定理，存在实数，使得cbn，则aca(bn)(ab)(an)，因为ab，所以ab0，又因为a，n，所以an0，故ac0，从而ac.法二：如图，记cbA，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO，垂足为O，则Oc.PO，a，直线POa.又ab，b平面PAO，PObP，a平面PAO.又c平面PAO，ac.(2)逆命题为：a 是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题分析法的应用例2已知ab0，求证：.思路点拨本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法精解详析要证明成立，只需证ab2成立，即证()2成立只需证成立只需证1成立，即证2，即b0，成立成立一点通在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤3若P，Q，a0，求证：PQ.证明：要证PQ，主要证P2Q2，只要证2a722a72，即证a27aa27a12，即证012.因为012成立，所以PQ成立4已知a、b是正实数，求证： .证明：要证 ，只需证ab()即证(ab)()()，即证ab.也就是要证ab2.因为a，b为正实数，所以ab2成立，所以 .综合法与分析法的综合应用例3已知0a1,0b1,0c1，求证：1.思路点拨因为0a1,0b1,00，b0，c0，要证1，只需证1abbccaabcabc，即证1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即证明了1.一点通(1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可5在ABC中，三个内角A、B、C成等差数列求证：.证明：要证，只需证3，即1，只需证1，即1.下面证明：1.AC2B，ABC180，B60.b2a2c2ac.1.故原等式成立6若a，b，c是不全相等的正数求证：lglglglg alg blg c.证明：要证lglglglg alg blg c成立，即证lglg(abc)成立，只需证abc成立，0，0，0，abc0，(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立1综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论2分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错3在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证一、填空题1在ABC中，AB是sin Asin B的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：在ABC中，由正弦定理得.又AB，ab，sin Asin B反之，若sin Asin B，则ab，ABAB是sin Asin B的充要条件答案：充要2设nN，则_(判断大小)解析：要证，只需证，只需证()2()2，即2n522n52.只需证，只需证(n1)(n4)(n2)(n3)，即n25n4n25n6，即46即可而46成立，故.答案：ab，则实数a，b应满足的条件是_解析：ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab4若三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在底面ABC上的射影为ABC的_(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S在底面ABC上的射影为点O，SO平面ABC，连接AO，BO，SABC，SOBC，BC平面SAO，BCAO.同理可证，ACBO.O为ABC的垂心答案：垂心5已知函数f(x)10x，a0，b0，Af，Bf，Cf，则A，B，C的大小关系为_解析：由，又f(x)10x在R上是单调增函数，所以fff，即ABC.答案：ABC二、解答题6已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论解：f(a)f(c)2f(b)证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2(x2)是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)7已知a0，用分析法证明： a2.证明：要证 a2，只需证 2a.因为a0，故只需证22，即a24 4a222 2，从而只需证2 ，只需证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立8(江苏高考改编)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中 c为实数若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)证明：由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d