高考数学 热点难点突破技巧 第09讲 三角函数的零点问题的处理1

第09讲 三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【例1】已知向量，设函数（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围 （1）函数图象关于直线对称，解得：，由，解得：，所以函数的单调增区间为 当或时函数有且只有一个零点即或，所以满足条件的【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围. 方法二分离参数+数形结合解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】已知函数的最大值为（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-0在上有解，求实数的取值范围【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，取最小值-3方程在上有解，即 -3 【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用.【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相； （2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数. 方法三方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.【例3】已知函数.（）当时，求值；（）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值 高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、 ；（2），且 .【反馈检测1详细解析】 （2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得 .借助函数图象可知：，即 所以得：，且 【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即 . （1）函数的振幅是，初相为 （2）列表 0200 【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为 非