高中数学 第二章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则教学案 北师大版选修2-2

4 导数的四则运算法则 导数的加法与减法法则已知f(x)x，g(x)x2.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f(x)1，g(x)2x.问题2：试求Q(x)xx2的导数提示：因yx2xx(x)2，12xx，当x0时，f(x)12x.问题3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数和问题4：对于任意函数f(x)，g(x)都满足(f(x)g(x)f(x)g(x)吗？提示：满足导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x).导数的乘法与除法法则已知函数f(x)x3，g(x)x2.问题1：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？提示：不成立，因为f(x)g(x)(x5)5x4，而f(x)g(x)3x22x6x3.问题2：能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)g(x)的导数？如何表示？提示：能因f(x)3x2，g(x)2x，(f(x)g(x)5x4，有(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)问题3：对于其他函数还满足上述关系吗？提示：满足导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).(2)kf(x)kf(x)1注意f(x)g(x)的导数是f(x)g(x)与f(x)g(x)之和；的导数的分子是f(x)g(x)与f(x)g(x)之差，分母是g(x)的平方2f(x)g(x)f(x)g(x)，.3常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积 利用导数的运算法则求导数例1求下列函数的导数：(1)yx43x25x6；(2)yx2log3x；(3)yx2sin x；(4)y.思路点拨结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导精解详析(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x64x36x5.(2)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(3)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(4)y.一点通解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量1下列求导运算中正确的是()A.1B(lg x)C(ln x)x D.(x2cos x)2xsin x解析：1，故A错；(ln x)，故C错；(x2cos x)2xcos xx2sin x，故D错，故选B.答案：B2设f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值等于()A. B.C. D.解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，解得a.答案：D3设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0()Ae2 BeC. D.ln 2解析：f(x)xln x1ln x，因为f(x0)2，即1ln x02，所以ln x01，x0e.答案：B4求下列函数的导数(1)y3x2xcos x；(2)ylg x；(3)y(x1)(x2)(x3)解：(1)y(3x2xcos x)(3x2)(xcos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x).(3)y(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.导数与曲线的切线问题例2已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标精解详析(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)一点通(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程5曲线yx23x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A4 B5C6 D.7解析：由导数的几何意义知，曲线yx23x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数yx23x在x2时的导数，yx27，故选D.答案：D6已知曲线yx31与曲线y3x2在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为()A. B.C. D.解析：因为yx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x(x0)1，解得x，即x0，故选D.答案：D7设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，若f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x1 By3xCy3x1 D.y3x解析：f(x)3x22axa3为偶函数，a0，f(x)x33x，f(0)3，所求切线方程为y3x，故选B.答案：B8已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR.若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线方程为y3x1，求函数f(x)的解析式解：f(x)1，由导数的几何意义得f(2)3，于是a8.由切点P(2，f(2)在直线y3x1上，可得f(2)2b2b7，解得b9.所以函数f(x)的解析式为f(x)x9.运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则 1若f(x)f(x)，且f(x)0，则f(x)()AaxBlogaxCex D.ex答案：C2甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1t32t2t和s23t2t1，则在t2时两个物体的瞬时速度的关系是()A甲大 B乙大C相等 D.无法比较解析：v1s13t24t1，v2s26t1，所以在t2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大答案：B3若过函数f(x)ln xax上的点P的切线与直线2xy0平行，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(2，) D.(0，)解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2xy0平行，因为f(x)a，故f(x0)a2，得a2，由题意知x00，所以a20，且a1)解：(1)y1，y.(2)y(xtan x).(3)y1cos x.(4)y(3ln xax)axln a.8设f(x)aex