高中数学 第二章 数列 2_3_1 等比数列（二）学案 新人教b版必修5

2.3.1等比数列(二)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断成等比数列的方法知识链接在等差数列an中，通项公式可推广为aman(mn)d，并且若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？预习导引1等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为：ana1qn1，推广形式为：anamqnm(n，mN)2等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal.(2)如果 mn2k时，amana.(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列(4)在等比数列an中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.要点一等比数列性质的应用例1已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)236，又an0，a3a56.(2)aa1a3代入已知，得a8，a22.设前三项为，2,2q，则有22q7.整理，得2q25q20，q2或q.或an2n1或an23n.规律方法在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪演练1(1)在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值(2)已知数列an成等比数列若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得a3a764且a3a720.联立得或an是递增等比数列，a7a3.取a34，a716，164q4，q44.a11a7q416464.(2)由a3a5a，得a3a4a5a8.解得a42.又a2a6a3a5a，a2a3a4a5a6a2532.要点二灵活设项求解等比数列例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解方法一设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.跟踪演练2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数解设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8.(2)(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4,8,16或16,8,4.要点三等差数列与等比数列的综合应用例3设数列an的前n项和Snn2，数列bn满足bn(mN)(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列bn中存在某项bt满足b1，b4，bt (tN，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由解当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a1S11；符合上式数列an的通项公式为an2n1.(1)由bn(mN)知，b1，b2，b8，b1，b2，b8成等比数列，()2，解得m9或m0(舍去)故m9.(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4b1bt，2，t7，由于m、tN且t5.令m536,18,9,6,4,3,2,1，即m41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数存在符合题意的m值，且共有8个数规律方法(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破题的关键跟踪演练3已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式解(1)因为an是首项为19，公差为2的等差数列，所以an192(n1)2n21，Sn19n(2)n220n，即an2n21，Snn220n.(2)因为bnan是首项为1，公比为3的等比数列，所以bnan3n1，即bn3n1an3n12n21.1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为()A2B3C4 D8答案A解析由a5a2 q3，得q38，所以q2.2在等比数列 an 中，an0，且a1a1027，log3a2log3a9等于()A9 B6C3 D. 2答案C解析因为a2a9a1a1027，log3a2log3a9log3273.3在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_答案8解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n，判断数列an是否是等比数列？解不是等比数列a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q (与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2 (nN)2证明数列不是