高中数学 第一章 计数原理章末小结知识整合与阶段检测教学案 北师大版选修2-3

第一章 计数原理知识整合与阶段检测对应学生用书P191两个计数原理运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”任何一类中任何一种方法都能完成整个事件；而分步则只能“局部到位”任何一步中任何一种方法只能完成事件的某一部分2排列与组合(1)定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，若按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合即排列和顺序有关，组合与顺序无关(2)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)，规定A1.当mn时，An (n1)(n2)321.A，其中An！，0！1.说明公式主要用于具体的计算，公式主要用于化简组合数公式：C，规定C1.组合数性质：CC，CCC.(3)解答排列组合应用题常用策略包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序3二项式定理(1)二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn这个公式称为二项式定理其中C(r0,1,2，n)叫二项式系数Tr1Canrbr称为二项式展开式的第r1项，又称为二项式通项(2)二项式系数性质CC；CCC；CCCC2n.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)15位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A10种B20种C25种 D32种解析：完成这件事共分5步，即每个同学均报完一个小组才结束，每人有2种选择方法，故共有2532种不同选择方法答案：D2(陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A10种 B15种C20种 D30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C12种情形所有可能出现的情形共有261220种答案：C3甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A36种 B48种C96种 D192种解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有CCC96种答案：C4某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A(C)2A个 BAA个C(C)2104个 DA104个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(C)2A个答案：A5.n的展开式中，第5项是常数项，则x3的系数为()A1215 B405C1215 D405解析：T5C3n4xn6，由题意知，n60，解得n6.Tr1C(1)r36rx6r，令6r3得r2，所以x3的系数为C(1)23415341 215.答案：A6从1,2，1，2，3中任取不同的3个数作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，其中表示开口向上的抛物线的条数为()A10 B24C48 D60解析：因为yax2bxc表示开口向上的抛物线，a必须大于0，因此共有CA24条抛物线答案：B7张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有()A12 B24C36 D48解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法种数有22A24.答案：B8(安徽高考)(x22)5的展开式的常数项是()A3 B2C2 D3解析：5的展开式的通项为Tr1C5r(1)r，r0,1,2,3,4,5.当因式(x22)中提供x2时，则取r4；当因式(x22)中提供2时，则取r5，所以(x22)5的展开式的常数项是523.答案：D9用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第_个数()A6 B9C10 D8解析：比12 340小的分三类：第一类是千位比2小为0，有A6个；第二类是千位为2，百位比3小为0，有A2个；第三类是十位比4小为0，有1个共有6219个，所以12 340是第10个数答案：C10在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x2)n等于()A0 BpqCp2q2 Dp2q2解析：由于(1x)n与(1x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1x)npq，所以(1x2)n(1x)n(1x)n(pq)(pq)p2q2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)11今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_种不同的方法(用数字作答)解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有CCC1 260种答案：1 26012(天津高考)6的二项展开式中的常数项为_解析：二项式6展开式的第r1项为Tr1Cx6rrC(1)rx6r，当6r0，即r4时是常数项，所以常数项是C(1)415.答案：1513用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有_个(用数字作答)解析：可以分情况讨论：若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2A12个五位数；若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不能是首位数字，则有2A4个五位数；若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不能是首位数字，则有2(2A)8个五位数，所以全部合理的五位数共有124824个答案：2414如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n行(nN)，在这些数中，非1的数之和为_解析：所求和S(2021222n1)(2n1)2n12n2n.答案：2n2n三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知n的展开式的各项系数之和等于5展开式中的常数项，求n展开式中含a1的项的二项式系数解：设5的展开式的通项为Tr1C(4)5rrr45rCb，(r0,1,2,3,4,5)若它为常数项，则0，r2.代入上式，得T327.即常数项是27，从而可得n中n7，同理7二项展开式的通项公式为Tr1(1)r37rCa，令5r211，得r4.故含a1的项是第5项，其二项系数是35.16(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有2879347种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有287935 292种不同的选法17(本小题满分12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)解：(1)分三步完成：第一步，取两个偶数，有C种方法；第二步，取两个奇数，有C种方法；第三步，将取出的四个数字排成四位数有A种方法根据分步乘法计数原理，共能组成CCA216个不同的四位数(2)先取出两个偶数和两个奇数，有CC种方法；再将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有AA种方法根据分步乘法计数原理，偶数排在一起的四位数有CCAA108个(3)两个偶数不相邻用插空法，共有四位数CCA108个18(本小题满分14分)设f(x)(1x)m(1x)n展开式中x的系数是19(m，nN)(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开