高三数学空间向量一轮复习.doc

第十三章 空间向量考纲导读1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式知识网络高考导航理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时 空间向量及其运算基础过关空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法则： (4) 向量减法法则： (5) 数乘向量法则： 2线性运算律(1) 加法交换律：ab (2) 加法结合律：(ab)c (3) 数乘分配律：(ab) 3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab等价于存在实数，使 (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 4共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P 共面向量定理的推论： 5空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 6空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模： (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则ab 空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b ； (b) a2 ；(c) ab (4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律ab ； (b) 分配律a(bc) 典型例题例1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求xy的值.解：易求得变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是( )A-abc Babc ABCDA1C1B1Ca-bcD-a-bc解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证明：记则,共面.B1平面C1BD, AB1/平面C1BD.变式训练2：正方体ABCDEFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AMEN(1) 求证：MN平面FC； (2) 求证：MNAB； (3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(1) 设(2) (3) 设正方体的边长为a,也即，例3. 已知四面体ABCD中，ABCD，ACBD， G、H分别是ABC和ACD的重心求证：(1) ADBC； (2) GHBD证明：(1) ADBC因为ABCD，而所以ADBC(2) 设E、F各为BC和CD的中点欲证GHBD，只需证GHEF，() 变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点求证：E、F、G、H四点共面解：，所以共面，即点E、F、G、H共面例4. 如图，平行六面体AC1中，AE3EA1，AFFD，AG，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值DFAGBB1C1D1A1CEP解：设又E、F、G、P四点共面， APPC1316变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若ABOC，求证证明：法一：故法二：()()0小结归纳1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用abab0进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos 4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则.5设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且Po，则点P到平面的距离是d.第2课时 空间向量的坐标运算基础过关设a，b(1) ab (2) a (3) ab (4) ab ；ab (5) 设则 ， AB的中点M的坐标为 典型例题例1. 若(1,5,1)，(2,3,5)（1）若(k+)(3)，求实数k的值；（2）若(k+)(3)，求实数k的值；（3）若取得最小值，求实数k的值解：(1)；(2)； (3)变式训练1. 已知为原点，向量，求解：设，即解此方程组，得。，。例2. 如图，直三棱柱，底面中，CACB1，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点(1) 求BM的长； (2) 求的值； xyzB1C1A1CBAMN(3) 求证：解：以C为原点建立空间直角坐标系.(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）.(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N. 变式训练2. 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离ABCPED解：(1) 建立空间直角坐标系ABDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则(x, , 1z)，由于NE平面PAC， 即，即点N的坐标为(, 0, 1)，从而N到AB、AP的距离分别为1，.(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d.CDBAPE例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点E在上，且:2:1(1) 证明 平面；(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论解：（1）证明略；（2）易解得；（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以，设点F是棱上的点，其中，则令得解得，即时，亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，平面ZADGEFCBxy例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求和点G的坐标；(2) 求GE与平面ABCD所成的角；(3) 求点C到截面AEFG的距离解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4) 又，设G(0，0，z)，则(1，0，z)(1，0，1) z1 G(0，0，1)(2)平面ABCD的法向量，设GE与平面ABCD成角为，则(3)设面AEFG，(x0，y0，z0)，而(1，0，1)，(0，4，3)取z04，则(4，3，4)即点C到截面AEFG的距离为变式训练4. 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；PAGBCDFE(2)求点D到平面PBG的距离；(3)若F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)， (0，2，4)。，GE与PC所成的余弦值为 (2)平面PBG的单位法向量n(0，1，0) ，点D到平面PBG的距离为n |. (3)设F(0，y，z)，则。，即， , 又，即(0，z4)(0，2，4)， z=1，小结归纳故F(0，1) ，。对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程 空间向量章节测试题1在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（）ABCD2在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为A.60B. 90 C.105 D. 753正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）AB。C。D。4设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D65棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为（）AB C D6在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）A B C D7棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是（）AaHhdBadhH CahdH DahHd8将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD中点，则的大小为（）A. B. C. D.9三棱锥ABCD的高AH = 3，H是底面BCD的重心若AB=AC，二面角ABCD为60，G是ABC的重心，则HG的长为（）A B C D10PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）AB。C。D。11已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 。ABMDC12。如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .13正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 14已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 AEDCBA1FD1C1B115如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值16如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值QPDCBA17如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且PA=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQQD？（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQQD时，求二面角Q-PD-A的大小空间向量章节测试题答案1B。2B。3A。4C。提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，0)，C(0，1，0)设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，1)，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60而其它的面对角线所在的向量均不满足条件5 D。6C。7C。8A。9D。10 D11。12 。13设AC与BD相交于点O，则与所成的角即EOC为所求易得大小为451415（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有其中z0取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角C-DE-C1的平面角，（2）设EC1与FD1所成角为b，则16 (1) PC平面ABC,平面ABC，PCAB.CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB二面角C-PA-B的大小的余弦值为 (2 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（,），（0,0,0）， C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)则=+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为 （3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)=(0, ,0),=(,2)，则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1) 设平面PAC的法向量为n=(x, y, z).(0,0,2), =(,0)， 则 即解得 令x=1, 得 n= (1，1，0) z第10题答图QPDCBAyxMN=. 二面角C-PA-B的大小的余弦值为17（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a，P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）（2）设点Q（1，x，0），则由，得x2-ax+1=0显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQQD，故=a2-40因a0，故a的取值范围为a0（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点取AD的中点M，过M作MNPD，垂足为N，连结QM、QN则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）D、N、P三点共线，又，且，故于是故，MNQ为所求二面角的平面角，所求二面角为历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲1.(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。2.（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。3.（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。ABCDOO1ABOCO1D（）证明：ACBO1； （）求二面角OACO1的大小。4.（2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求证:与AC共面，与BD共面. ()求证:平面 ()求二面角的大小.5.(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 （）证明：平面；（）求二面角的余弦值6.(2007四川理）如图，是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60. （）求证：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱锥的体积.ABMNCl2l1H7.(2006全国卷文、理)如图，、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在上，C在上，。 （）证明ACNB；()若，求与平面ABC所成角的余弦值。8.（2006福建文、理）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲答案1解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由ABCDPxyzH可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为2解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点B到平面OCD的距离为3解:（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）. 从而，所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，=4.解（向量法）：以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）证明：于是与AC共面，与BD共面.（）证明：内的两条相交直线， 又平面（）解：设于是设于是5证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为6解： （），又（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由