Mathematica实验六线性方程组.ppt

实验六 线性方程组 l实验目的：理解齐次线性方程组解的几何意义，了 解线性方程组的一些应用 l实验1 求解方程组 ，并画出 的图形 实验六 线性方程组 Needs“GraphicsColors“ arrowa_,b_,color_:=Graphicscolor,Line0,0, a,b,Linea,b,0.9a,b+0.04-b,a, Linea,b,.9a,b-.04-b,a A=-1,3,4,-12;RowReduceA;x=1,-3; NullSpaceA y=3,1; Showarrowx,Red,arrowy,Green,AspectRatio- Automatic,Axes-True; 实验六 线性方程组 l练习1 求解线性方程 ，并画出 与X的图形。 l观察图形并给出你的结论 实验六 线性方程组 l实验2 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次 多项式ax2+bx+c，并画出其图形 l根据条件有 l0*a+0*b+c=7 l1*a+1*b+c=6 l4*a+2*b+c=9 实验六 线性方程组 Clearx; A=0,0,1,1,1,1,4,2,1;y=7,6,9 p=LinearSolveA,y Cleara,b,c,r,s,t; a,b,c.r,s,t fx_=p.x2,x,1; Plotfx,x,0,2; Plotfx,x,0,2,GridLines-Automatic,PlotRange- All 实验六 线性方程组 l练习2 求出通过平面上四点(-2,6),(1,4),(2,3),(3,2)的3 次多项式ax3+bx2+cx+d，并画出其图形 实验六 线性方程组 l实验3 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满 足f(-1)=20,f(1)=9的4次多项式f(x),并画出其图形 l分析：确定一个4次多项式需要知道它的5个系数。 通过3个插值条件和两个导数条件可以建立5个线性 方程 实验六 线性方程组 l设f(x)= ax4+bx3+cx2+dx+e，则有 le=0 la+b+c+d+e=1 la-b+c-d+e=3 l-4a+3b-2c+d=20 l4a+3b+2c+d=9 实验六 线性方程组 Automatic,PlotRange- All 最小二乘法 l实验5 给定数据点(0.7,4.0),(3.3,4.7),(5.6,4.0), (7.1,1.3),(6.4,-1.1),(4.4,-3.0),(0.3,-2.5),(-1.1,1.3).试找 一个圆，这些数据点尽可能落在该圆上 xs=0.7,3.3,5.6,7.1,6.4,4.4,0.3,-1.1 ys=4.0,4.7,4.0,1.3,-1.1,-3.0,-2.5,1.3 pts=Transposexs,ys; ShowGraphicsRed,AbsolutePointSize5,MapPoint, pts,Violet,Circle3,1,3.5,Axes- Automatic,AspectRatio-Automatic; lTransposeA：求矩阵A的转置阵 lMapf,expr映射将f分别作用到expr第一层的每一 个元上得到的列表 lMapf,a,b,c,d,e lfa,fb,fc,fd,fe lPointcoords1,coords2, represents a collection of points. lGraphicsPointTablet,Sint,t,0,2p,2p/10 lviolet？ 最小二乘法 l设圆的中心在(c1,c2)，半径为r，则圆的方程为 (x-c1)2+(y-c2)2=r2 l即2xc1+2yc2+(r2-c12-c22)=x2+y2 l令c3=r2-c12-c22 则得到一个关于三个未知数c1,c2,c3的 线性方程组 2xc1+2yc2+c3=x2+y2 最小二乘法 l将实验5中的数据点待入方程，得到以下方程组 l这是一个关于3个未知数，8个方程的方程组 最小二乘法 l最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应 用的数据处理方法 l最小二乘常用于求解一个超定的、或近似求解一个 不完全精确的线性方程组，它仅对剩余的平方和进 行最小化，而不是直接求解方程本身 l在统计学中，如果误差的随机分布满足适当的假设 ，则通过最小二乘法就能得到参数的最大似然 (maximum-likelihood)估计。 超定、待定方程组 l通常研究的线性代数方程组为 l若A是方阵(m=n)且非奇异，则方程组有唯一解 l若A的列数大于行数(mn)，则称为超定方程组所 给条件数大于未知数个数，若某些方程是矛盾的， 则方程组无解。 超定方程组 l测量员要测量在某个基准点上3个山头的高度。从 基准点观测，测量员测得它们的高度(单位：英尺) 分别为 lx1=1237，x2=1914，x3=2417 l为进一步确认初始的测量数据，测量员在第一座山 上测得： l第二座山相对第一座的高度为 x2-x1=711 l第三座山相对第一座的高度为 x3-x1=1177 l在第二座山上测得第三座山相对第二座山的高度为 x3-x2=475 超定方程组 l由于测量有误差，所以上述方程组的解不存在 l但我们可以找到一个x使得Ax在某种意义下与b最 接近。这就是数据拟和的思想。 最小二乘 l最小二乘法最早是由高斯提出的，用来确定某些行 星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个 参数确定。 l原则上只要对天体的位置作5次观测就足以确定它 的整个轨迹。由于存在测量误差，由5次观察所确 定的运行轨迹极不可靠。 l进行多次观测，用最小二乘法消除测量误差，得到 有关轨迹参数的更精确的值。 l最小二乘近似将几十次甚至上百次的观察所产生的 高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间 高斯与最小二乘法 l1801年，意大利天文学家Piazzi，发现火星和木星 间有一颗新星，被命名为谷神星。 l现在已知它是火星和木星的小行星带中的一个，但 当时天文学界争论不休，有人说是行星，有人说是 彗星。 l周期彗星的轨道与行星相比较扁。 l必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9 度的轨道，再来，它便隐身到太阳後面去了。因此 无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星 高斯与最小二乘法 l高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的 方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末 和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。 l高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造 的最小二乘法（从特定计算得到最小的方差和中求 出最佳估值的方法）在天文学中这一成就立即得到 公认。 最小二乘问题的法方程 l对于最小二乘问题矩阵是mn且mn l但这这个系统统是超定的，若方程组组是矛盾的，则则精 确求解是不可能的。所以要转转化为为最小二乘问题问题 最小二乘问题的法方程 l作为极小值问题，最小二乘问题可以用类似单变量 微积分中导数为0的方法来处理 l目标：残差向量r=b-Ax的欧几里得范数的平方取最 小值。 l取最小值的必要条件是x是 的临界点 最小二乘问题的法方程 l在最小值点处函数 的梯度向量 为0 的第i个分量为 l则有 l因此 的最小值点x一定满足nn的对对称线线性方程 组组 l上述方程组组称为为最小二乘问题问题 的法方程，可以实实 现现数据的降维维 最小二乘法 matA=Transpose2xs,2ys,Table1,Lengthxs; vecb=xs2+ys2; c1,c2,c3=LinearSolveTransposematA.matA,Trans posematA.vecb r=Sqrtc3+c12+c22 xs=0.7,3.3,5.6,7.1,6.4,4.4,0.3,-1.1; ys=4.0,4.7,4.0,1.3,-1.1,-3.0,-2.5,1.3; pts=Transposexs,ys; 最小二乘法 ShowGraphicsRed,AbsolutePointSize5,MapPoint, pts,Violet,Circlec1,c2,r,Axes- Automatic,AspectRatio-Automatic; Print“center:(“,c1,“,“,c2,“); radius:“,r; s=Sqrt(xs-c1)2+(ys-c2)2;e=s-r;d=Sqrte.e deviationa_,b_,ra