计算方法第1章(绪论).ppt

1 计算方法 华中科技大学CAD中心 2 教材 p计算方法张诚坚，何南忠。高等教育出版社 p计算方法简明教程王能超 高等教育出版社 p徐长发 实用计算方法 华中科技大学出版社。 p任选Matlab使用手册一本 时间: 32学时=20学时+12学时上机 考核: 课堂与作业(20%) + 上机(10%)+考试(70%) 联系方式 罗年猛 上机: 请学习委员联系机房 3 第一章 绪 论 1 引 言 2 误差的种类及其来源 3 绝对误差和相对误差 4 有效数字及其与误差的关 系 4 1 引 言 计算方法也称数值分析。数值分析是研究各种数 学问题求解的计算方法，即数值计算。利用计算机求 出数学问题得到数值解的全过程，称为数值计算。 使用计算机解决科学计算问题时大致经历如下几 个过程： 5 随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国 防尖端技术，例如机电产品设计、工程项目设计、气 象预报、武器研制、火箭发射等，都有大量复杂的数 值计算问题急待解决。 实际问题实际问题 数学模型数学模型数值计算方法数值计算方法 程序设计程序设计上机计算上机计算 结果可视化结果可视化 6 用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中 的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象为数 学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题 的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代 数方程等等，然后选择合适的计算方法，编 制出计算机程序，最后上机调试并进行计算，以 得到所欲求解的结果。 7 数值计算方法，将要求解的数学模型简化成一系 列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的 数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。 这里所说的“算法”，不仅仅是数学公式，而是指由基 本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和 步骤。 8 选择适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。 例如，计算n次多项式： 若直接计算 ，再逐项相 加，共需做 9 n=10时需做55次乘法和10次加法。若用秦九韶(Horner)算 法，将多项式P(x)改成 来计算时,只要做n次乘法和n次加法即可。 10 算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度 和效率，由于数值计算的近似性和误差的 传播、积累，直接影响到计算结果的精度 ，甚至关系到计算的成败。不合适的算法 会导致计算误差达到不能容许的地步，而 使计算最终失败，这就是算法的数值稳定 性问题。 11 p数值计算过程中会出现各种误差，往往是 无法避免的，例如近似值带来的误差，模 型误差、观测误差、截断误差和舍入误差 等，应该设法尽量降低其数值，尤其要控 制住经多次运算后误差的积累，以确保计 算结果的精度。 12 可用四种算式算出： 计算实例 13 如果分别用近似值 和 按上列四种算法计算，其结果如下表1-1 所示。 14 1 2 3 4 序 号 算 式 计 算 结 果 表1-1 1 15 p由表1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结 果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之 毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计 算结果的精确度影响很大。 p因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差 的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律， 误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性 概念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个 错误的结果。 16 2 误差的种类及其来源 数值计算中，误差主要有如下几种： 2.1 模型误差 在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象 抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响 ，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实 际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它 与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称 为“模型误差”。 17 2.2 观测误差 在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过 人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精 度 的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差， 这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。 2.3 截断误差 在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数 求和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能 完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系 列有限的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行 “截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。 18 这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。例如，函 数sinx 和 ln (1+x)可分别展开为如下的无穷幂级数： (2.1) (2.2) 19 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。 这就是由于截断了无穷级数自第四项起。 (2.4) (2.3) 若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取 20 的后段的产生的截断误差。（2.3)和(2.4)的截断误差 是很容易估算的，因为幂级数(2.1)和(2.2) 都是交错 级数，当x1时的各项的绝对值又都是递减的，因 此，这时它们的截断误差 可分别估计为： 和 21 2.4 舍入误差 在数值计算过程中，由于受计算机机器字长的限制，它所能表 示的数据只能是有限位数，这时就需把数据舍入成一定位数的 近似的有理数来代替。如 由此引起的误差称为“舍入误差” 。 22 数学模型一旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析 的就是截断误差 和舍入误差了。在计算机上经过千 百次运算后所积累起来的总误差不容忽视，有时可能 会大得惊人，甚至到达“淹没”所欲求解的真值的地步 ，而使计算结果失去根本的意义。因此，在讨论算法 时，有必要对其截断误差的估算和舍入误差的控制作 适当的分析。 23 3 绝对误差和相对误差 3.1 绝对误差和绝对误差限 定义 设某一个准确值（称为真值）为 ，其近似 值为 ，则 与 的差 称为近似值 的“绝对误差”，简称“误差” 。 (3.1) 24 由于真值往往是未知或无法知道的，因此， 的准确值（真值）也就无法求出。但一般可估计此 绝对误差的上限，也即可以求出一个正值 ，使 (3.2) 此 称为近似值 的“绝对误差限”，简称“误差限”，或 称“精度”。有时也用 (3.3) 来表示（3.2）式。 这时等式右端的两个数值 和 代表了 所在范围的上、下限。 越小， 25 表示该近似值 的精度越高。 例如，用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度 。读数方 法如下： 如长度 接近于毫米刻度 ，就读出该刻度数 作为长 度 的近似值。显然，这个近似值的绝对误差限就是半个毫 米，则有 如果读出的长度是513 毫米，则有 26 这样，虽仍不知准确长度 是多少，但由（3.3）式可 得到不等式 512.5l513.5 (毫米) 这说明 必在512.5,513.5毫米区间内。 27 3.2 相对误差和相对误差限 用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。 例如测量10米的长度时产生1厘米的误差与测量1米 的长度时产生1厘米的误差是大有区别的。虽然两 者的绝对误差相同，都是1厘米，但是由于所测量 的长度要差十倍，显然前一种测量比后一种要精确 得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要 看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大 小，这就需要引进相对误差的概念。 定义绝对误差与真值之比，即 (3.4) 28 称为近似值 的“相对误差”。 在上例中，前一种测量的误差为 ，而后一种 测量的相对误差则为 ，是前一种的十倍。 由（3.4）可见，相对误差可以从绝对误差求出 。反之，绝对误差也可由相对误差求出，其相互关 系式为： (3.5) 相对误差不仅能表示出绝对误差来，而且在估计近似 值运算结果的误差时，它比绝对误差更能反映出误差 的特性。因此在误差分析中，相对误差比绝对误差更 为重要。 29 相对误差也无法准确求出。因为（3.4）中的 和 均无法准确求得。也和绝对误差一样，可以 估计它的大小范围，即可以找到一个正数 ，使 （3.6） 称为近似值 的“相对误差限”。 相对误差是个无名数，它没有量纲。例如，称 100 千克重的东西若有1千克重的误差和量100米长 的东西有1米长的误差，这两种测量的相对误差都 是1/100。与此相反，由于绝对误差是名词，有量纲 ，上例中两种测量的绝对误差1千克和1米的量纲不 同，两者就无法进行比较。 30 在实际计算中，由于真值 总是无法知道的，因此 往往取 (3.7) 作为相对误差的另一定义。 下面比较 与 之间的相差究竟有多 大： 31 一般地， 很小，不会超过0.5。这样 不 大于2，因此，上式右端是一高阶小量，可以忽略 32 上式右端是一高阶小量，可以忽略，故用 来代 替 。 相对误差也可用百分数来表示： 这时称它为百分误差。 33 4 有效数字及其误差的关系 4.1 有效数字 在表示一个近似值的准确程度时，常用到“有效 数字”的概念。例如， ，若按四舍 五入取四位小数，则得 的近似值为 3.1416 ；若取 五位小数则得其近似值为 3.14159 。这种近似值取法 的特点是误差限为其末位的半个单位，即 34 定义 当近似值 的误差限是其某一位上的半 个单位时，称其“准确”到这一位，且从该 位起直到前面第 一位非零数字为此的所有 数字都称为有效数字。 一般说，设有一个数 ，其近似值 的规格化形式： (4.1) 35 式中： 都是 中的一个数字 ， n是正整数，m是整数。 若 的误差限为： (4.2 ) 则称 为具有n位有效数字的有效数，或称它精确 到 。其中每一位数字 都是 的有效数字。若（4.1）中的 是经四舍五入得到 的近似数，则 具有 n 位有效数字。例如，3.1416 是 的具有五位有效数字的近似值，精确到0.0001. 36 如，203 和 0.0203 都是具有三位有效数字的有效数。但 要注意，0.0203 和 0.020300 就不同了，前者仅具有三 位有效数字，即仅精确到 0.0001 ；而后者则具有五位 有效数字，即精确到0.000001。可见，两者的精确程度 大不相同，后者远较前者精确（差100倍）。因此，有 另一种情况，例如 x = 0.1524，x* = 0.154 ，这时 x* 的 误差为 - 0.0016，其绝对值超过 0.0005（第三位小数的 半个单位），但却没有超过 0.005（第二位小数的半个 单位），即 显然， 虽然有三位小数但却只精确到第二位小数，因 此，它只具有二位有效数字。其中1和5都是准确数字， 37 而第三位数字4 就不再是准确数字了，我们就称它 为存疑数字。 注：用计算机进行的数值计算，由于受到计算机字 长的限制，要求输入的数有一定的位数，计算的结 果也只保留一定的位数，且所保留下来的不一定都 是有效数字，同时也不是所有的有效数字都可保留 下来。 4.2 有效数字与误差的关系 由 (4.2) 可知,从有效数字可以算出近似数的绝 对误差限;有效数字的位数越多,其绝对误差限也就 越小。且还可以从有效数字求出其相对误差限。 38 当用(4.1)表示的近似值 x*，具有n位有效数字时 ，显然有 (4.3) 故由(4.2)可知，其相对误差 39 故相对误差限为 (4.4) 由(4.4)可见,有效数字的位数反映了近似值的相对精 确度。 上述关系的逆也是成立的，即当用 (4.1) 表示的 近似值x*，如果其相对