李雅普诺夫稳定性的基本定理.ppt

李雅普诺夫第一法(1/7) 3.2.1 李雅普诺夫第一法 q 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附 近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。 李雅普诺夫第一法(2/7) 下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。 q 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x=f(x) 其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。 参看课本P167 李雅普诺夫第一法(5/7) p 李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。 李雅普诺夫第一法(6/7) q 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是: 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。 李雅普诺夫第一法(7/7)例5-1 试确定系统在原点处的稳定性。 q 解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 q 例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述: 因此,系统的特征方程为 |I-A|=2+K1+K2=0 李雅普诺夫第一法(8/7) 2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K10 和 K20. 参看课本P168 李雅普诺夫第二法(1/3) 3.2.2 李雅普诺夫第二法 q 由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫第二法(2/3) q 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。 李雅普诺夫第二法(3/3) q 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 数学预备知识,然后介绍一些 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理 数学预备知识(1/1) 1. 数学预备知识 q 下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: 函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法 实函数的正定性(1/4)函数定号性定义 (1) 实函数的正定性 q 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 恒为负的。 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。 q 定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0, 则称函数V(x)为区域上的正定函数。 实函数的正定性(2/4)函数定号性定义 q 从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函数 。由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定)函数、 非正定函数(又称半负定或负半定)和 不定函数。 实函数的正定性(3/4)函数定号性定义 q 定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)0, Pt0时不恒为零,那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将 仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时,随着|x|,有V(x,t),则该系统在原点处的 一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 稳定性定理(1/4) 参看课本P173 例3.6 (3) 不稳定性定理 q 定理3-6 设系统的状态方程为x=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条 件: 1) V(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的; 2) 若V(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0)0, V(x,t) 在tt0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不稳定的。 不稳定性定理(1/2) q 例3-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 不稳定性定理(2/2)例5-7 q 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李 雅普诺夫函数为 则 由于V(x)非负定,但其只在x1=0,x2=0时才恒为零,而在其他状态 不恒为零,因此由定理3-6的2)可知,系统的该平衡态为不稳定的 。 参看课本P174 例3.8 q 下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结 不稳定性定理(5/2)稳定性定理小结 V(x) V(x)结论 正定(0)负定(0) 半负定(0)