福建省中考数学总复习课件(专题：代数与几何综合).ppt

第二轮 中考题型突破 专题六 代数与几何综合 【题型 1】以二次函数为母图，结合三角形 、四边形等图形知识 【例1】（2015重庆庆市）如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交 于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点E. （1）求直线 AD 的解析式； （2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有 一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求 FGH 的周长的最大值； （3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是 AM 为边的矩形，若点 T 和 点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标. 思路点拨：（1）根据题意得出点 A 和点 D 的坐标，然后利用 待定系数法求出函数解析式； （2）过点F作x轴的垂线，交直线 AD 于点N，得出FHG= OAE=45，从而证得 FG=GH= FH= FN，然后设点 F 的坐标，求出 FN 的长度，从而根据周长 =FN+2 得出与 m 的函数关系式，将 函数化成顶点式，求出最大值； （3）本问分 AP 为对角线和 AQ 为对角线 两种情况分别进行计算，若 AP 为对角线， 画出图形，求出点 P 的坐标，根据图形的 平移得出点 Q 的坐标，从而得出点 Q 关于直线 AM 的对称点 T 的坐标，若 AQ 为对角线，根据题意画出图形，得到点P 的 坐标，根据平移得到点 Q 的坐标，然后求出点 Q 关于直线 AM 的对称点 T 的坐标. 解：(1) 当 y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3. 点 A(-1，0)，B(3，0). 当 x=0 时，y=3，C(0，3). 当 y=3 时，-x2+2x+3=3. 解得 x1=0，x2=2D(2，3). 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b, 得 解得 直线 AD 的解析式为 y=x+1. (2) 过点 F 作 x 轴的垂线，交直线 AD 于点 N， 由直线AD：y=x+1与 y 轴交于点 E，易得 E(0，1). 在 RtAOE 中，OA=OE，OAE=45. FHx轴，FHG=45. 在 RtFGH 中，FG=GH= FH. 又FNx轴，FHFN在 RtFNH 中，FN=FH. 设 F(m，-m2+2m+3)，则 N(m,m+1)， FN=-m2+2m+3-(m+1)=-m2+m+2，则FGH 的周长为 故FGH 的最大周长为 （3）若 AP 为对角线，如图 1. 易证PMSMAR， 解得MS= . PO= ，P(0， ). QA 可看成是由 PM 平移得到的，由点 的平移可知 Q(-2， ). 点 Q 关于直线 AM 的对称点 T 的坐标 为（0，- ）. 若 AQ 为对角线， 如图 2. 同理可知 P(0，- )，Q(2， )，故点 Q 关于直线 AM的对称点为 T(0， ). 【题型 2】以三角形、四边形为母图，结合 二次函数等函数 【例2】（2015衡阳市）如图，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，点 P 为 OA 边上任意一点（不与点 O，A 重合），连接 CP，过点 P 作 PMCP 交 AB 于点 D， 且 PM=CP，过点 M 作 MNOA，交 BO 于点 N，连接 ND，BM，设 OP=t （1）求点 M 的坐标（用含 t 的代数式表示） （2）试判断线段 MN 的长度 是否随点 P 的位置的变化而改 变？并说明理由 （3）当 t 为何值时，四边形 BNDM 的面积最小 解：(1) 作 MEx 轴于 E，如图所示， 则MEP=90，MEAB MPE+PME=90 四边形OABC 是正方形， POC=90，OA=OC=AB=BC=4， BOA=45. PMCP，CPM=90 MPE+CPO=90PME=CPO 在MPE 和PCO 中， MPEPCO（AAS） ME=PO=t，EP=OC=4OE=t+4 点M的坐标为（t+4，t） （2）线段 MN 的长度不发生改变 理由如下：连接 AM，如图所示 MNOA，MEAB，MEA=90， 四边形 AEMF 是矩形 又EP=OC=OA， AE=PO=t=ME 四边形 AEMF 是正方形 MAE=45=BOA AMOB 四边形 OAMN 是平行四边形 MN=OA=4 线段 MN 的长度不发生改变. （3）MEAB，PADPEM MNOA，ABOA，MNAB 四边形 BNDM 的面积 S 是 t 的二次函数 0，S 有最小值，即当 t=2 时，S 的值最小. 当 t=2 时，四边形 BNDM 的面积最小 【题型 3】函数与圆的综合题 【例3】（2015济济宁市）如图，E 的圆心 E(3，0)，半径 为 5，E 与 y 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的上方 ），与 x 轴的正半轴交于点 C，直线 l 的解析式为 y= x+4，与 x 轴相交于点 D，以点 C 为顶点的抛物线过 点 B （1）求抛物线的解析式； （2）判断直线 l 与E 的位置 关系，并说明理由； （3）动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时，求出 点 P 的坐标及最小距离 思路点拨： （1）连接 AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理 求出 OA 的长，结合垂径定理求出 OC 的长，从而得到 C 点坐 标，进而得到抛物线的解析式； （2）求出点 D 的坐标为（ ，0），根据AOEDOA， 求出DAE=90，判断出直线 l 与E 相切于 A （3）过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P 作直 线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M设 M(m， m+4)， P(m， m2+m-4)，得到 根据PQM 的三个内角 固定不变，得到 PQ最小=PM最小sinQMP=PM最小sinAEO= 从而得到最小距离 解：(1) 如图，连接 AE由已知得 AE=CE=5，OE=3. 在 RtAOE 中，由勾股定理得， OCAB， 由垂径定理得，OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8 A(0，-4)，B(0，-4)，C(8，0) 抛物线的顶点为 C， 设抛物线的解析式为 y=a(x-8)2 将点 B 的坐标代入解析式，得64a=-4，故 a= y= (x-8)2抛物线的解析式为 y= x2+x-4. （2）在直线 l 的解析式 y= x+4 中，令 y=0，得 x+4=0，解得 x= 点 D 的坐标为（ ，0） 当 x=0 时，y=4，点 A 在直线 l 上 在 RtAOE 和 RtDOA 中， AOE=DOA=90，AOEDOA AEO=DAO AEO+EAO=90， DAO+EAO=90，即DAE=90 因此，直线 l 与E 相切于 A. （3）如图，过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q， 过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M. 设 M(m， m+4)，P(m， m2+m-4)，则 当m=2时，PM 取得最小值 ， 此时，P(2， ) 对于PQM，PMx轴，QMP=