标量衍射的角谱理论1.ppt

标量衍射的角谱理论 衍射：按照索末菲定义义是“不能用反射或折射来解释释的光线对线对 直 线线光路的任何偏离” 光的标标量衍射理论论的条件 （1）衍射孔径比波长大很多， （2）观察点离衍射孔不太靠近； 经经典的标标量衍射理论论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳 引入干涉的概念补补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定 理，采用球面波作为为求解波动动方程的格林函数，导导出了严严格的标标 量衍射公式 什么是标量衍射理论？ 三个空间频率不能相互独立,由于 所以 平面波的复振幅即平面波方程可以写为 其中 该式表达了在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 平面 上的复振幅和与传传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给积给 出 这说这说 明了传传播过过程对对复振幅分布的影响，已经经在实质实质 上解决了 最基础础的平面波衍射问题问题 平面波的复振幅的传播 对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换， 可求得其频谱分布 设有一单色光波沿 方向投射到 平面上，在 处光场分 布为 其频谱分布可由二维维傅里叶变换变换 计算得到为 由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传 播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱 同时有逆变换为 上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传 播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相 ，它们的值分别为角谱的模和幅角。 复振幅分布的角谱谱 复振幅分布的空间频谱间频谱 以平面波传传播方向的角度为为宗量表示为 而 平面上的光场场分布 和 平面上的光场场分布 可以分别记别记 作 研究角谱谱的传传播就是要找到上面两个角谱，即 平面上的角谱谱和 平面上的角谱谱之间间的关系 平面波角谱谱的传传播 复振幅分布及其角谱谱的传传播 将 表达式代入亥姆霍兹兹方程,改变积变积 分与微分的顺顺序， 可以推导出，二阶线性微分方程 该该二阶阶常微分方程的一个基本解是 平面上的角谱谱 为为因而有 最后得到两个平行平面之间间角谱传谱传 播的规规律为 从亥姆霍兹兹方程讨论讨论 传播规律 在由已知平面上的光场场分布 得到其角谱谱 可以利用两个平行平面之间间角谱传谱传 播的规规律求出它传传播到 平 面上的角谱谱 再通过过傅立叶反变换变换 求出其光场场分布 。 实际上这就是自由空间衍射的数理模型，即光传播的角谱分析方法 还还需要说说明一点的是，两个平行平面之间间角谱传谱传 播的规规律也可以 由平面波的复振幅传传播规律直接导导出. 两平行平面间间角谱传谱传 播规规律的意义 当传传播方向余弦此 满满足 时时 经过经过 距离 的传传播只是改变变了各个角谱谱分量的相对对位相，引入 了一个位相延迟迟因子 这这是由于每个平面波分量在不同方向上传传播，它们们到达给给定的 点所经过经过 的距离不同 对对于 的情况，角谱传播公式中的平方根是虚 数，得到 其中 是个正数，因此说说明一切满满足 的波动动分量， 将随 的增大而按指数 衰减。在几个波长长的距离内 很快衰减到零。称为为倏逝波 。 传导波与倏逝波 在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波总是忽略不计的， 因而传递函数可表示为 进而可以表示为 因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限 的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递 函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响 对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息 ，在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时， 携带信息的能力是有限的 自由空间传间传 播的传递传递 函数 自由空间传间传 播的有限空间带宽 如图所示，在平面 处有一无穷大不透明屏，其上开一孔，该 孔的透射函数为： 衍射孔径对对角谱谱的作用 沿方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为 ，则紧靠 孔径后的平面上的出射光场的复振幅 为： 对上式两边做傅立叶变换，用角谱表示为 由于卷积积运算具有展宽带宽宽带宽 的性质质，因此，引入使入射光波在空间间 上受限制的衍射孔径的效应应就是展宽宽了光波的角谱谱 角谱谱的展宽宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传传播的分量 之外，还还增加了一些与入射光波传传播方向不同的平面波分量，即增加 了一些高空间频间频 率的波，这这就是衍射波。 衍射孔径对对角谱谱的作用（续） 本书书的重点是从频频域的角度即用平面波角谱谱方法来讨论讨论 衍射问问 题题 前面已经讨论过频经讨论过频 域的角谱传谱传 播问题问题 ，在由已知平面上的光场场 分布 可通过傅里叶变换得到其角谱谱 其后，可以求出它传传播到平面 上的角谱谱 最后，通过过傅里叶反变换变换 可以进进而得到用已知的 表示 的衍射光场场分布，从而得到空域中的衍射公式 平面波角谱谱的衍射理论论 作傅里叶反变换变换 有 代入在衍射平面上的角谱的表达式得到 上式的四重积积分是类类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽 管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还还是要按 照菲涅耳的办办法进进行化简简，首先对对不同传传播距离衍射的情况做 个直观观的说说明 平面波角谱谱衍射理论论的基本公式 假定孔径和观观察平面之间间的距离远远远远 大于孔径的线线度，并且只 对轴对轴 附近的一个小区域内进进行观观察，则则有 因而 用二项式展开，只保留一次项项，略去高次项项，则 这样四重积积分式变为 用角谱谱衍射理论论导菲涅耳公式（1） 利用高斯函数的傅里叶变换变换 和傅里叶变换变换 的相似性定理有 因而 该式与用惠更斯菲涅尔基尔霍夫标标量理论论导出的菲涅耳衍射公式 完全