Matlab数学建模例子.ppt

应用MATLAB建模的一个 例子 数学也是一门技术 王天顺 整理 数学是一门技术 一个例子足球比赛中的吊门问 题 谈谈数学建模竞赛及培训 数学是一门技术 技术的定义 辞海：泛指根据生产实践经验和自然 科学原理而发展成的各种工艺操作方法与 技能；除操作技能外， 广义的还包括相应 的生产工具和其他物质设备，以及生产的 工艺过程或作业程序、方法。 科学学辞典和科技辞典：是为社 会生产和人类物质文化生活需要服务的， 供人类利用和改造自然的物质手段、智能 手段和信息手段的总和。 数学及其应用的特征 是一种智能形态的技术 在数学软件的平台上，又表现为 一般的物化形态 数学建模技术 指数学及其应用于解决实际问题的整 个过程 多样性、合理性、具体问题具体分析 艺术性 足球比赛中的吊门问题 考虑如下的因素：球与球门的距离为a，守门 员与球门的距离为b，球门高h，守门员最大 摸高H，球出脚的初速度为v，与水平方向的 夹角为alpha（称为初射角）给定， h=2.44m，H=3.20m，v=30m/s，重力加速度 g=10m/s2，针对下列几组数据分别给出能吊 门成功的相应初射角范围，要求精度在小数 点后第3位。 a=6m，b=1m； a=10m，b=3m； a=20m，b=5m。 问题分析 先考虑最简单情形，即不考虑空气阻力 等，此时，球的运动轨迹是抛物线， 如果守门员不动，总有合适的角度使吊 门成功。 这不是求一个角度值，而是求一个范围 ！通常的思路是把问题整理成两个方程 求根问题：一个方程是求吊门成功的最 小角度，一个方程是求吊门成功的最大 角度。 有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门 的情况。 直观分析 最简单情形，抛射体的运动轨迹为抛物线方 程如下 借助于使用方便的数学软件，可直观地看到 各种初射角对应的抛射体运动的轨迹图形。 最简情形程序1-1 v=30;g=10; h=2.44;H=3.2; a=6;b=1; l=a-b;L=a*1.1; x=0:0.01:L; for alpha=1.5368:0.00001:1.538 y,tfinal=paosheti1(x,alpha,v,g); tH=l/(v*cos(alpha); plot(l,H,r+,a,h,r+),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(足球比赛中的吊门 ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 守门员的移动时间=,num2str(tH),pause endC:WINDOWSDesktop程序MATLAB 6.5.lnk 程序1-1之抛射体轨迹函数 function y,t=paosheti1(x,alpha,v,g) y=x*tan(alpha)-x.2*g/(2*v2*(cos(alpha)2); t=2*v*sin(alpha)/g; xmax=v*cos(alpha)*t; n=length(x); for i=1:n if y(i)t0 tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha)*(1-exp(-k*tt)/k; y(i)=vt0*sin(alpha)*tt-g*tt2/2; end end 空气阻力的情形之一的结果及分 析改进（一） 前面结果有问题，反弹后的角度不应该 是alpha了，应该以落地时的情况计算出 新反射角。 修改抛射体函数：将 paosheti2(t,alpha,v,k,g)，换成 paosheti22(t,alpha,v,k,g)。 程序2-1-2修改如下 function x,y=paosheti22(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=v*sin(alpha)*t-g*t.2/2; n=length(t); t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to the ground xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=v*sin(alpha); vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(vyt0/vxt0); for i=1:n if t(i)t0 tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt)/k; y(i)=vt0*sin(alpha1)*tt-g*tt2/2; end end 空气阻力的情形之一的结果及分 析改进（二） 针对第三组数据，计算的最小角度为 1.268，守门员移动时间为2.7771秒，最 大角度是1.27，时间是2.8101秒； 结果仍有问题：反弹前后的两波高度一 样； 解决的办法是再考虑y方向也有空气阻 力。 有空气阻力的情形之二 x、y方向均考虑空气阻力 假设x，y两个方向均受空气阻力的影响 ； 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为 k=0.4。 此时，x(t)仍满足同上的常微分方程初值问 题 y(t)满足如下的常微分方程初值问题 问题的解 有空气阻力的情形之二程序2-2 -1 v=30;k=0.4;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b=5; l=a-b;L=a*1.1; for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k; T=Th*1.2; t=0:0.01:T; x,y=paosheti3(t,alpha,v,k,g); TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)/k; plot(l,H,r+,a,h,r+),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(足球比赛中的吊门 ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 守门员的移动时间=,num2str(TH),pause end 有空气阻力的情形之二程序2-2 -2 function x,y=paosheti3(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t)/k-g*t/k; n=length(t); t00=2.; tt0(1)=t00; tb=1; ii=1; while(abs(tb)1e-5) tt0(ii+1)=tt0(ii)- paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g); tb=tt0(ii+1)-tt0(ii); ii=ii+1; if(ii20)error(numb. of iter. is 30 times); end end t0=tt0(ii); y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0)/k-g*t0/k; xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k; vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0); for i=1:n if t(i)t0% tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt)/k; y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt)/k-g*tt/k; end end 空气阻力情形之二的结果分析及 改进 针对第三组数据，计算的最小角度为 1.239，守门员移动时间为2.3797秒，最 大角度是1.248，时间是2.4889秒； 有必要考虑守门员可以移动的情形。 守门员可以移动的情形 假设守门员只沿球运行的方向移动； 球一出脚守门员即判断好并移动； 守门员的移动速度记为u，其大小是吊 门能否成功的另一关键因素。 问题分析 球的运动轨迹与上一种情况完全一致， 程序2-2-2不必改。 单独加上守门员的移动显示，二者叠加 ，可得守门员可移动情形下吊门成功与 否的直观显示。 守门员可以移动的情形之程序3-1- 1 v=30;k=0.4;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b0=5;u0=2; l0=a-b0;L=a*1.1; for alpha=1.25:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k; T=Th*1.2; t=0:0.1:T; x,y=paosheti4(t,alpha,v,k,g); nn=length(t); for j=1:nn xx=x(1:j); yy=y(1:j); ll0=l0+u0*t(j); if ll0a l(j)=a; else l(j)=ll0; end TH=-log(1-l(j)*k/(v*cos(alpha)/k; plot(xx,yy,bo,l(j),H,r+,a,h,ro),grid,pause end %hold off title(足球比赛中的吊门 ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 球运行的时间=,num2str(TH),pause end 守门员可以移动的情形之程序3-1- 2 function x,y=paosheti4(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t)/k-g*t/k; n=length(t); t00=2.; tt0(1)=t00; tb=1; ii=1; while(abs(tb)1e-5) tt0(ii+1)=tt0(ii)- paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k, g); tb=tt0(ii+1)-tt0(ii); ii=ii+1; if(ii20)error(numb. of iter. is 30 times); end end t0=tt0(ii); y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0)/k-g*t0/k; xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k; vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0); for i=1:n if t(i)t0 tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt)/k; y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt)/k- g*tt/k; end end 守门员可以移动的情形之结果 针对第三组数据，且守门员移动速度为，计 算的能使球进入球门的最小角度为1.239，球 运行的时间为4.2682秒，能使球进入球门的 最大角度是1.248，球运行时间是4.5914秒 ； 不难看出，如果攻门一方球一出脚，守门员 就向球门方向移动的话，吊门是不可能成功 的，除非守门员移动的速度很慢 ，如， u1.1m/s； 当然，实际比赛中，守门员的移动并不是对 方球一出脚就开始的，而是有一个判断、反 应的滞后时间！也就是说，即使守门员移动 的快一些，还是有可能吊门成功的！ 谈谈数学建模竞赛及培训 值得注意的建模过程 建模的过程有一定的步骤 ，但不绝对； 数学建模体现的是“问题解决”的一个全过 程。 有关竞赛及培训的几个方面 “双向”翻译的能力 ；