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第六章 数字电路基础 软件学院 侯刚 1 主要内容 6.1 数字电路概述 6.2 逻辑代数 6.3 逻辑函数建立及表示方法 6.4 逻辑函数简化 2 6.1 数字电路概述 模拟电子技术中介绍了基本放大器、多级放大 器、反馈放大器以及集成运算放大器等，这些 电路都是用来对模拟信号进行产生、放大、处 理和运用的电路，因此把这些电路称为模拟电 路。 数字电子技术则是一门研究数字信号的产生、 整形、编码、运算、记忆、计数、存储、分配 、测量和传输的科学技术，简单的说是用数字 信号去实现运算、控制和测量的科学。在数字 电子技术中，能实现上述功能的电路称为“数字 电路”。 3 6.1.1 数字信号 有些物理量在时间和数值上具有连续变化的特 点，如时间、温度、压力及速度等，这种连续 变化的物理量，习惯上称为模拟量。把表示模 拟量的电信号叫做模拟信号。 还有一种物理量，它们在时间上和数量上是不 连续的，它们的数量大小和每次的增减变化都 是某一个最小单位的整数倍，而小于这个最小 单位的数值是没有物理意义的。这一类物理量 称为数字量，表示数字量的电信号称为数字信 号。 4 6.1 数字电路概述 6.1.1 数字信号 数字信号由0和1两种数值组成。 数字信号可以进行两种运算，即算术运算和逻 辑运算。 数字信号0和1表示的是数量的大小，则它们进 行的是算术运算。 表示的是两种不同的状态，则它们进行的是逻 辑运算。 5 6.1 数字电路概述 6.1.2 数字电路的优点 (1) 便于高度的集成化； (2) 工作准确可靠，抗干扰能力强； (3) 数字信息便于长期保存； (4) 数字集成电路产品系列多、通用性强且成本低； (5) 保密性好； (6) 可同时进行数值计算和逻辑运算； 6 6.1 数字电路概述 6.1.3 数字电路分类 (1) 根据电路结构不同，可分为分立元件电路和集 成电路两大类； (2) 根据集成的密度不同，可分为大、中、小、超 大规模集成电路； (3) 根据半导体导电类型的不同，可分为双极型电 路和单极型电路； 7 6.1.4 脉冲波型主要参数 脉冲幅度Um 脉冲上升时间tr 脉冲下降时间tf 脉冲宽度tW 脉冲周期T 脉冲频率f 占空比q：脉冲宽度与脉冲周期的比值，q tW/T。 8 6.1.5 数制和码制 1、数制 (1) 十进制 (2) 二进制 (3) 八进制 (4) 十六进制 2、不同数制之间的转换 (1) 各种数制转换成十进制 (2) 十进制转换成各种数制 (3) 二进制与八(十六)进制的转换 9 6.1.5 数制和码制 3、码制 (1) 二十进制编码(BCD) 有权码； 无权码； (2) 可靠性编码 格雷码； 奇偶校验码； 10 6.2 逻辑代数 逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法 。它首先是由英国数学家乔治布尔提出，因此 也称为布尔代数。而后克劳德香农将逻辑代数 应用到继电器开关电路的设计中，所以又称为 开关代数。 和普通代数一样，在逻辑代数中用字母表示变 量与函数，但变量与函数的取值只有0和1两种 可能。这里的0和1已经不再表示数量的大小， 只能代表两种不同的逻辑状态。我们把这种二 值变量称为逻辑变量，简称变量，这种二值函 数称为逻辑函数，简称函数。 11 6.2 逻辑代数 6.2.1 基本逻辑运算 1、与逻辑运算 与逻辑的定义：仅当 决定事件（Y）发生的 所 有条件（A，B，C，） 均满足时，事件（Y） 才 能发生。表达式为： 真值表 12 6.2.1 基本逻辑运算 2、或逻辑运算 或逻辑的定义：当决 定事件（Y）发生的各 种 条件（A，B，C，)中， 只要有一个或多个条件 具 备，事件（Y）就发生。 表达式为： 真值表 13 6.2.1 基本逻辑运算 3、非运算 非逻辑指的是逻辑的 否定。当决定事件（Y） 发生的条件（A）满足 时，事件不发生；条件不 满足，事件反而发生。表 达式为： 真值表 14 6.2.1 基本逻辑运算 4、复合运算 (1) 与非逻辑运算：它 是 将逻辑变量先进行与 运 算再进行非运算。表 达 式为： F=AB 真值表 15 6.2.1 基本逻辑运算 (2) 或非逻辑运算： 它是将逻辑变量 先进行或运算再进行 非运算。其表达式为 ： F=A+B 真值表 16 6.2.1 基本逻辑运算 (3) 与或非逻辑运算 它是将逻辑变量先进行与运算后进行或 运 算再进行非运算。其表达式为： F=AB+CD 17 6.2.1 基本逻辑运算 (4)同或和异或逻辑运算 如果当两个逻辑变量A和B相同时，逻辑函 数F等于1，否则F等于0，这种逻辑关系称为 同或。 A BF 0 01 0 10 1 00 1 11 18 6.2.1 基本逻辑运算 如果当两个逻辑变量A和B相异时，逻 辑函数F等于1，否则F等于0，这种逻 辑关系称为异或。 A BF 0 00 0 11 1 01 1 10 19 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 （1）常量之间的关系 （2）基本公式 分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。 1、基本定律 20 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 利用真值表很容易证 明这些公式的正确性 。如证明AB=BA： 21 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 分配率 A+BC=(A+B)(A+C) 互补率A+A=1 0-1率A1=1 22 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1 23 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 2、逻辑代数的基本运算规则 例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中 的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有： （1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。 24 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 （2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”， 原变量换成反变量，反变量换成原变量原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就 是函数Y的反函数Y（或称反函数）。这个规则称为反演规则。 例如： 25 6.2.2 逻辑代数的基本定理与运算规则 （3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而 变量保持不变变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为 函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如： 对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如： 26 6.3 逻辑函数的建立及其表示方法 （1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符 连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母 A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为 输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非 运算符的叫做反变量。 （2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则 称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为 注意注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量 还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种 不同的状态，没有数量的含义。 27 6.3.1 逻辑函数的表示方法 1、真值表 真值表：是由变量的所有可 能取值组合及其对应的函数值所构 成的表格。 真值表列写方法：每一个变量均 有0、1两种取值，n个变量共有2n种 不同的取值，将这2n种不同的取值按 顺序（一般按二进制递增规律）排列 起来，同时在相应位置上填入函数的 值，便可得到逻辑函数的真值表。 例如：当A=B=1、或则B=C=1时 ，函数Y=1；否则Y=0。 28 6.3.1 逻辑函数的表示方法 2、逻辑表达式 逻辑表达式：是由逻 辑变量和与、或、非3种 运算符连接起来所构成的 式子。 函数的标准与或表达 式的方法：将函数的真值 表中那些使函数值为1的 最小项相加，便得到函数 的标准与或表达式。 3、卡诺图 卡诺图：是由表示变量的所有可 能取值组合的小方格所构成的图形 。 逻辑函数卡诺图的填写方法 ：在那些使函数值为1的变量取值 组合所对应的小方格内填入1，其 余的方格内填入0，便得到该函数 的卡诺图。 29 6.3.1 逻辑函数的表示方法 4、逻辑图 逻辑图：是由表 示逻辑运算的逻辑符 号所构成的图形。 、波形图 波形图：是由输入变量的 所有可能取值组合的高、低电 平及其对应的输出函数值的高 、低电平所构成的图形。 30 6.3.2 逻辑函数表示方法之间的转换 1、由真值表到逻辑图的转换 真值表 逻辑表 达式或 卡诺图 1 1 最简与或 表达式 化简 2 或 2 31 6.3.2 逻辑函数表示方法之间的转换 & 画逻辑图 3 & & 1 ABC A 最简与或 表达式 & C B B A A C AB AC Y A C B B A A C Y & & & ABC AB AC 若用与非门实 现，将最简与 或表达式变换 乘最简与非- 与非表达式 3 32 6.3.2 逻辑函数表示方法之间的转换 逻辑图 逻辑表 达式 1 1 最简与或 表达式 化简 2 & A 1 C B B A A C Y 1 1 2 从输入到输出 逐级写出 2、由逻辑图到真值表的转换 33 6.3.2 逻辑函数表示方法之间的转换 最简与或 表达式 3 真值表 3 34 6.3.3 逻辑代数的相等 逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数 它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、 C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2 是相等的，记为Y1=Y2。 若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。 证明等式： 35 6.4 逻辑函数的简化 实现同一逻辑功能的逻辑函数表达式可以是多 种多样的，它们在繁简程度上会有所差异。 逻辑函数的简化就是将较繁的逻辑函数表达式 变换为与之等效的最简逻辑函数表达式。 实际上，逻辑函数是依靠逻辑电路来实现其逻 辑功能。逻辑函数的简化意味着用较少的逻辑 器件合理而经济地实现同样的逻辑功能，这对 于提高电路的可靠性和降低成本都是有利的。 逻辑函数的简化主要有公式化简法和卡诺图化 简法两种方法。 36 6.4 逻辑函数的简化 6.4.1 公式化简化法 公式化简法就是利用逻辑代数的定理公式进行化简。简 化的原则以项数最少，每一项所含的变量数最少为最佳。 合并项法 可将两项合并为一项，并消去B和 这一对互补因子。A和B可以是任何复杂的逻辑式。 利用公式 1、与或式的简化 37 6.4.1 公式化简化法 吸收法 利用 吸收多余因子，A和B均可为任意复 杂 的逻辑函数。 例 利用吸收法化简逻辑函数 解 38 6.4.1 公式化简化法 削去法 利用公式削去多余的变量； 削去多余项。 利用公式 例 利用削去法化简下列逻辑函数 解 39 6.4.1 公式化简化法 添项项法 利用公式 进行添项。利用所添的项与其他项进行合并达到简化目的。 40 6.4.1 公式化简化法 2、或与式的简化 或与式的简化可采用直接公式简化法或两次对偶简化法。 例化简逻辑函数 解一 直接公式简化法 吸收 削去 解二 两次对偶简化法 吸收 削去 41 6.4.2 卡诺图简化法 卡诺图是将真值表换一种画法，使其保留真值表的特性，又 便于作逻辑运算。 1、逻辑函数的卡诺图表示法 设有n个逻辑变 量A1An，P是由这n个逻辑变 量构成的与项 。如果在与项P中，所有的变量都以原变量( )或者反变量( )的形式出现且仅出现一次，则称与项P为最小项，记作mi。 注：下标i按下面规则确定：将变量A1An按顺序排列， 如果与项中变量以原变量形式出现则代之以1，以反变量 形式出现则代之以0，那么它们按序排列成一个二进制数 ，将二进制数转换为十进制数即为下标i。 42 6.4.2 卡诺图简化法 对于n个逻辑变 量，其所构成的最小项共有2n个。如A、B、C 三个逻辑变 量所构成的最小项共有八个。 43 6.4.2 卡诺图简化法 最小项具有以下性质： 对于逻辑变量的任一组取值，只有一个最小项的值等于1，其他 最小项的值皆等于0 ；所以，可认为逻辑变量的任一组取值都对 应着一个最小项。 任意两个不同的最小项之积为0。 全体最小项之和等于1。 0 0 010000000 0 0 101000000 0 1 000100000 0 1 100010000 1 0 000001000 1 0 100000100 1 1 000000010 1 1 100000001 44 6.4.2 卡诺图简化法 将逻辑函数变换为最小项标准型的方法 方法一：利用真值表将逻辑函数变换为最小项标准型： 首先作出函数的真值表，找出真值表中使F为1的变量取 值组合，而后分别写出其所对应的最小项(如果变量取值为1 取原变量，变量取值为0取反变量)，最后将所构成的最小项 相或，即得最小项标准型。 最小项的标准型：将最小项相或，即为最小项标准型， 也称标准与或式。 45 6.4.2 卡诺图简化法 方法二 利用公式 + =1将函数变换为 最小项标准型。 解 46 6.4.2 卡诺图简化法 卡诺框的构成 卡诺框是一种二维图表，由真值表变换而来。它是将真值表中的 变量分为两组，一组作行变量，一组作列变量，为了便于简化， 变量的取值按照循环码的方式排列。 CD AB00011110 000132 014576 1112131514 10891110 逻辑相邻：如果对应两组变 量的取值，只有一个变量取 值不同，则这两组变量取值 所对应的小方格或最小项为 逻辑相邻。 47 6.4.2 卡诺图简化法 从卡诺框的构成可以看出： 几何位置上相邻的小方格或最小项，在逻辑上具有相邻 性。 水平方向同一行里最左和最右的小方格或最小项，以及 垂直方向同一列最上和最下的小方格或最小项在逻辑上是 相邻的。 例如，在四变量卡诺框中，与最小项m4逻辑相邻的有 m0、m5、m6和m12。 48 6.4.2 卡诺图简化法 卡诺图表示逻辑函数 卡诺框只是一个空的表格，如果在每个小方格填入相应的 函数值，所构成的图表称为卡诺图。 对于一个给定的逻辑函数，一般有三种方法作出它的卡诺 图，即真值表法、标准型法和观察法。 真值表法：先作出已知逻辑函数的真值表，然后将表中每 一栏函数值填入卡诺框中相应的小方格。 标准型法：将已知函数转换为最小项标准型，然后在卡诺框中 与函数所含最小项对应的小方格上填1，其余填0。为简化作图 ，通常只填写一种逻辑值。 观察法：直接观察已知函数，找出使函数等于1(或0)的变 量取值，然后在卡诺框中相应的小方格内填入1(或0)。 49 6.4.2 卡诺图简化法 例 试用卡诺图表示逻辑函数 解：第一步，展开为最小项标准型 第二步，用卡诺图表示 CD AB00011110 001 0111 111 101111 50 6.4.2 卡诺图简化法 例6-16 试用卡诺图表示逻辑函数=+ CD AB00011110 001 011 111111 101111 51 6.4.2 卡诺图简化法 2、利用卡诺图简化逻辑函数 （1）公式 的应用 解 利用公式化简法中的合并项法，将函数简化为 根据表达式的形式可知，利用这 个圈削去了在圈中取值发生变化的变量B， 保留了在圈中取值未发生变化的变量A、C 、D，并用A、C、D来构成与项 ，其构 成的规则为 ：如果变量取值为1则取原变 量，如果变量取值为0则取反变量。 52 6.4.2 卡诺图简化法 可得出卡诺图化简规则一如