微分方程模型方法.ppt

二、案例分析 一、微分方程模型建模步骤 第一部分 微分分方程 建模基础 1对外经济贸易大学 应用数学系 一、举例子说明微分方程模型建模步骤 1 翻译或转化： 2 匹备物理单位： 3 建立表达式： 4 确定条件： 2对外经济贸易大学 应用数学系 1 翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在 生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及 “边际的”(在经济学中)等 2 建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段 t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式 3 配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4 确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们 独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。 为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件 和微分方程一起列出。 3对外经济贸易大学 应用数学系 建立微分方程的方法 1、按变化规律直接列方程： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二 定律，放射性物质的放射规律,边际效用递减规律,曲线切线的性质等。这些 都涉及某些函数的变化率,我们就可以根据相应的规律,直接列出微分方程. 3、模拟近似法： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象 也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在 一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得 出微分方程。 2 、微元法建模 : 该方法是寻求一些微元之间的关系式,在建立这些关系式时也要用到已 知的规律或定律,与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及 其导数应用规律和定律来求关系式,而是对某些微元应用规律. 4对外经济贸易大学 应用数学系 例 某人的食量是10467焦天，其中5038焦天用于基本的新 陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 焦公斤.天乘以他的体重 (公斤) 假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪合热 量41868焦。试研究此人的体重随时间变化的规律 5对外经济贸易大学 应用数学系 1、“每天”体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收； 输出是进行健身训练时的消耗(WPE) 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化天=净吸收量天一WPE天 其中：净吸收量天10467 5038 5429（焦 天) 净输出量天69(焦公斤天)W(公斤) 69W(焦天) 3、体重的变化天 (公斤天) 翻译或转化： 6对外经济贸易大学 应用数学系 单位匹配 有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式 (公斤)给出，考虑单位的匹配，利用 建立表达式 加上初始条件 w=150; (5429-69*w)/41868 ans = -2.3424 7对外经济贸易大学 应用数学系 求解问题 function dx=tizhong(t,w) dx=(10467-5038)-69*w)/41868; ts=1:90; w0=150; t,w=ode45(tizhong,ts,w0);t,w plot(t,w,rd) t, w: 88.0000 140.4736 89.0000 140.3719 90.0000 140.2703 8对外经济贸易大学 应用数学系 二、案例分析 案例1 某人从正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以 m3/h度量）和清扫面的宽度均不变。 到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他扫了一个街区。 请问：雪是从什么时候开始下的？ 假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪 一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。 9对外经济贸易大学 应用数学系 1 1 示 意 图 下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 S(t)： 正午后t小时的铲雪位移 下雪时间： 午前x0 10对外经济贸易大学 应用数学系 模 型 t到t+t时刻： （1）铲雪容量：b*t （3）微分表达式： （4）模型： （2）忽略t下雪量，雪量减少容量： 下雪速度：a(单位)3/小时.面积 11对外经济贸易大学 应用数学系 求解 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 c,k,x=solve(k*log(x)+c,k*log(x+2)+c-2,k*log(x+4)+c-3) double(c,k,x) -0.4404 2.0781 1.2361 12对外经济贸易大学 应用数学系 案例2 人口指数增长模型 1.指数增长模型马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 x(t) 时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 随着时间增加，人口按指数规律无限增长. 与常用公式的一致 ? 13对外经济贸易大学 应用数学系 2. 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用, 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r固有增长率(x很小时) xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函