三年级奥数教程.doc

目录第一讲 速算与巧算1(一) 加减法中的计算2(二)乘除法中的计算3第二讲 找规律6（一）竖列规律6（二）图形规律8第三讲 数字谜9（一） 横式字谜9（二） 竖式字谜12（三） 趣味九宫格15第四讲 图解法解应用题17第五讲 列方程式解应用题20第六讲 植树问题21第七讲 鸡兔同笼问题25第八讲 移多补少平均数27第九讲 归一问题29第十讲 倒推法33第十一讲 列举法36第十二讲 奇数与偶数40第十三讲 周期性问题44第十四讲 有趣的几何图形46第十五讲 逻辑推理50第十六讲 一笔画52第十七讲 火柴棍游戏55(一)摆图形游戏55(二)移动火柴，变换图形游戏56(三)去掉火柴，变换图形游戏57第一讲 速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。 观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+零头数，不足90的表示成90零头数。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）8=90+（3+5+621+1+3+1）8=90+2=92。你可以试一试。” 小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间，更主要的是提高了我们的工作效率。我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。(1) 加减法中的计算1、 例题与方法指导：例1、用简便方法计算下面各题：（1）63+48+173+37+52 （2）9+99+999+9999+4例2、用简便方法计算计算下面各题： 100090802010 （2）150856161 例3、用简便方法计算计算下面各题：576（432176） 1689999689例4、计算（222426283032）（212325272931）2、 训练巩固1用简便方法计算计算下面各题：136297363827 744324855672452下面各题，怎样简便就怎样计算：18861998 54262995 3计算：10889888836 4999949994994944.计算：10399103971061029898101+1023、 拓展提升1用简便方法计算下面各题： 9999999999 4996399329921991982下面各题，怎样简便就怎样计算：9392888990918887948920191817161514131211109876543213. 计算下面各题：（384246505458626670）（374145495357616569）（19991997199531）（19981996199442）(二)乘除法中的计算一、例题与方法指导：两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像7278，2686等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。例1（1）7674？ （2）3139？思路导航：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7674（76）（70+4）（706）70（76）470706707046470（7064）6470（7010）647（7+1）10064。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1909），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾”，前面是“头（头+1）”。我们在学到的1515，2525，9595的速算，实际上就是“同补”速算法。例2 （1）7838？ （2）4363？思路导航：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）87030+8307088870308（3070）8873100810088（738）10088。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3309），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾尾”，前面是“头头+尾”。例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如70 7770 23， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，7723100，所以是“同补”型。又如1 481 52，23 823 2等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，73 427 4，98 262 26，6 814 81等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。例3 （1）702708=？ （2）17081792？解：（1）（2）计算多位数的“同补”型乘法时，将“头（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例4 28657265？解：二、训练巩固计算下列各题：1.6862； 2.9397；3.2787； 4.7939；5.4262；6.603607；7.693607；8.40856085。第二讲 找规律（一）竖列规律按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1、2、3、4；双数列：2、4、6、8。我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。1、 例题与方法指导例1 在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（ ），（ ）（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）（3）2，6，18，54，（ ），（ ）思路导航：（1）在数列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上3就等于后一个数，相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别填15和18；（2）在数列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是1，2，3，4这样下一个数应为11增加5，所以应填16；再下一个数应比16大6，填22。（3）在数列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的3倍，根据这一规律可知道（ ）里应分别填162和486。例2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）；（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）；思路导航：（1）在15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）中隔着看，第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确定括号里分别应填6、2；（2）在21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）中，隔着看第一个数减3为第三个数，第三个数减3为第五个数。第二个数增加1为第四个数，第四个数增加1是第六个数。根据这一规律，可以确定括号里分别应填12和7。2、 训练巩固1，在括号里填数。（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）2，按规律填数。（1）2，8，32，128，（ ），（ ）（2）1，5，25，125，（ ），（ ）3，先找规律再填数。（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）（3）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）4，在括号里填数。答（1）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）（2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）（3）1，2，5，14，（ ），（ ）（二）图形规律一、例题与方法指导例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。思路导航：（1）横着看，右边的比左边的数多5，竖着看，下面的数比上面的数多4。根据这一规律，方格里填18；（2）通过观察可以发现，前两个图形三个数之间有这样的关系：482=16，784=14，也就是说中心数是上面的数与左下方数的乘积除以右下方的数。根据这个规律，第三个图形空格中的数为943=12；（3）横着看，第一行和第二行中，第一个数除以3等于第二个数，第一个数乘3等于第三个数。根据这一规律，363=108就是空格中的数。2、 训练巩固1. 根据规律，在空格内填数。（1）187，286，385，（ ），（ ）； 思路导航：（1）在187，286，385，（ ），（ ）中，十位上的数字8不变，百位上的数字是1，2，3依次增加1，个位上的数字是7，6，5依次减少1，并且百位上的数字与个位上的数字的和为8。根据这一规律，括号里应填484，583；（2）通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上数十位上的数字之和为下面数的百位上的数字，左上数与右上数个位上的数字之和为下面数的十位上的数字。根据这一规律，空格内应填3594。第三讲 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。（1） 横式字谜1、 例题与方法指导例1 ，8，97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？思路导航：150*3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。例4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？ 分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161例5 （）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abcd)当a=1时，有6*8/2=24，8*9/3=24；当a=2时，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；所以，满足要求的等式有：1（268）=24，1（389）=24，2（349）=24，2（468）=24，2（689）=24。例6 =5； 12+=，把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。2、 训练巩固1. 迎迎春春=杯迎迎杯，数数学学=数赛赛数，春春春春=迎迎赛赛在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春春春=迎迎赛赛 的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445；所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春春=迎春，（迎+杯）（迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。3、 拓展提升1.在下列各式的中分别填入相同的两位数：(1)5=2；(2)63。2. 将39中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1)=；(2)。3.在下列各式的中填入合适的数字：(1)448=；(2)2822=；(3)13= 46。4. 在下列各式的中填入合适的数：(1) 32831；(2)5733229；(3)48377427。答案与提示练习224.(1)287；(2)17；()65。（2） 竖式字谜例1 在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能； （2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位数是965。例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字请把这个竖式翻译成数字算式 分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。 这样，整个算式就是：9567+1085=10652。例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零那么这个算式的结果是多少？ 分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。2、 训练巩固1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么D+G等于多少？分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，DG就可以等于6，8或10。2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529求王老师家的电话号码分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。3、 拓展提升1.已知图4-6所示的乘法竖式成立那么ABCDE是多少？ 分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。2. 某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍问原数最小是多少？ 分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为2；4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？ 分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有3和6可选：好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。（3） 趣味九宫格九宫格型数字推理即在九宫格中已知8个数，根据已知数之间的关系，求出未知的项。此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手考虑。有时，会整体考，比如行列各个数之和的关系。1A7B5C3D9【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是20，（30），40，是等差数列。2 A27B8C21D18【答案】D。解析：每行前两个数字之差除以3等于第三个数。（63-9）3=（18）。3A142B164C186D15【答案】A。解析：每行第一个数字加1等于后两个数字之和。4A61B53C4D2【答案】D。解析：从每行来看，第一个数字加2，再乘以第三个数字等于中间数字。5A204B186C116D86【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2等于第一个数字。第四讲 图解法解应用题1、 例题与方法指导例1 小明早晨起床,要完成这几件事:起床穿衣5分钟,刷牙洗脸6分钟,在火炉上烧水煮面要16分钟,整理房间8分钟,为了尽快做完这些事,最少要 分钟.思路导航：用图表示:345分起床516 分烧、煮218 分整理 6 分刷牙、洗脸所以是5+16=21(分)例2 少先队员参加植树劳动,每人植树2棵,如果一个人挖坑,一个要25分,运树苗一趟(最多可运4棵)要20分,提一桶水(可浇4棵树)要10分,栽好一棵树要10分.现以两个人为一小组合作,完成植树任务最少要 分钟.思路导航：挖3个坑运苗种1棵树栽3棵树挖1个坑提水完成20分乙甲75分10分25分10分所以:75+10=85(分)例3 甲、乙两地相距6千米,小晶从甲地、小红从乙地同时相向而行,在两村之间不断地往返行走,在出发后40分钟,两人第一次相遇.小红到达甲村后返回,在离甲村2千米处,两人第二次相遇,求小晶和小红的速度各是 、 .思路导航：小晶5千米/小时;小红4千米/小时.甲相遇相遇红晶乙 合走1个全程要40分,3个应是40360=2(小时)晶:(6+4)2=5(千米/小时)红:(6+2)2=4(千米/小时)例4 早上10点8分,小明放学回家,8分钟后,周老师骑车追他,在离学校4千米的地方追上了他,然后周老师立即回校,回到校后又追小明,第二次追上时刚好离家8千米,求这时是 时 分.思路导航：早上10点8分放学,小明从学校回家,8分钟后,周老师骑车追他,追上时离校4千米,后来老师马上回校后又追他,追上时小明也只走了4千米,从下图可知,照后来速度算,周老师前面应走43=12(千米).因为少走8分钟,所以少走12-4=8千米.所以现在时间应是:10:08+0.08+0.16=10:32.校明4千米周4千米时间一样2、 巩固训练1.A,B,C,D,E五位同学进行象棋单循环比赛,已知A,B,C,D已经赛过的盘数依次为4,3,2,1盘,此时,E赛了 盘.2.有号码为1,2,3,4 四名运动员,在一次比赛中获得了前4名,已知:每个运动员的号码都与自己的名次不符;某运动员的名次是第四名运动员的号码,而此人的号码又是2号运动员的名次.3号运动员不是第一名,那么1号得 名,二号得 名,三号得 名,四号得 名.3.四名棋手进行循环比赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.如果各人得的总分不同,第一名不是全胜,那么,至多有 局平局.4.京华小学五年级学生采集标本,采集昆虫标本的有25人,采集植物标本的有19人,两种标本都采集的有8人,全班共40人,没有采集标本的有 人.答案：1.两盘.AEBDC用连线表示两人已赛过一场,A应画四条线,B应画3条,但不能连D,又有一条AB,所以,B只画BC,BE.从C出发应有两条,已有.所以E只赛了两盘.2. 1号第三,2号第一,3号第四,4号第二.由、可知,第一名是2或4,依题意画图如下: 1 4 3 2 3 4 1 4 1 3 1 2 3 3 1 2 2 1 4以上六种情况中,符合题意的只有方案.3. 3局.四名棋手应赛432=6(局),应决出26=12(分)又各人得分不同,且第一名不是全胜,可知他们得分只有:12=5+4+2+1或12=5+4+3+0两种.再由“平局最多”可决定甲5分,乙4分,丙2分,丁1分.这样应:甲 丙乙 丁胜平平平胜胜4. 4人.25人8人19人昆虫、植物标本植物标本昆虫标本作下图:40-(25+19-8)=4(人)3、 拓展提升1.有100名旅客,其中有10人不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语,既懂英语又懂俄语的有 人. 2.某班数字、英语的期中考试成绩如下,英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人,这个班有学生 人.答案：9. 68人.作下图:英语75人俄语83人不懂的有10人都懂的75+83-(100-10)=68(人)10. 45名.12人10人两门都不得10026人两门100英语100数学1003人 作下图: 12+(10-3)+26=45(人)第五讲 列方程式解应用题一、例题与方法指导例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分3个,那么还剩32个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这条鱼全长多少米？间接设未知数设鲨鱼身长x米。 身长=头长+尾长，尾长= x23 身长3x23，例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?解答：假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而606=10，因此有兔子10只，鸡60-10=50(只)。二、巩固训练1. 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?解，等量关系为两种分法的糖总数不变设开始共有x人，5x+10=41.5x-2，解得x=12，所以这些糖共有125+10=70块2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？解答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.第六讲 植树问题只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：植树问题的三要素：总路线长、间距(棵距)长、棵数只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个植树问题的分类：直线型的植树问题封闭型植树问题特殊类型的植树问题1、 例题与方法指导例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?思路导航：每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有10005=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?思路导航：在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=13509=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9(2+1)=3(米)。例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？思路导航：16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为815120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；83=122=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120245，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个。事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。2、 巩固训练1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？思路导航：要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层，事实所爬的层数只是4-1=3层，所以上一层楼梯需要的时间是48（4-1）=16（秒）；又，从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是164=64秒。2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?思路导航：125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了1255=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是9045=2分钟。3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？思路导航：根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的，也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-26毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，“环扣”数为5-14(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为40+428152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1) 28=292(毫米)。4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟?思路导航：要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里面包含有243=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，那么，每次5分钟,一共需要用时57=35分钟。3、 巩固训练1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？思路导航：由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：92-1=17棵；又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上共栽花：（17-1）3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：73=21棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。2 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？思路导航：4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为12（41）=4秒；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4（121）=44秒敲完。3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？思路导航：从第1根电线杆起到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一根电线杆，也就是说间隔为50米；那么，行使的总路程为：50（371）=1800米；2分钟=260秒=120秒，共行1800米，所以，火车速度为：180012015米秒。第七讲 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。计算时的主要数量关系是：1.如果假定全部是兔，则鸡的只数=（每只兔的足数总头数总足数）（每一只鸡与兔足数的差）简单理解就是：鸡的只数=（4 总头数总足数）2兔的只数=总头数鸡的只数2.如果假定全部是鸡，则兔的只数=（总足数每只鸡的足数总头数） （每一只鸡与兔足数的差）简单写就是兔的只数=（总足数2 总头数） 2鸡的只数=总头数兔的只数1、 例题与方法指导例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？思路导航：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。鸡和兔的总脚数就是1002=200（只），但比实际320只脚要少320200=120（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一只后脚，而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了120只脚，所以兔子应该有1202=60（只）。解法一： 解法二：2100=200（只）4100=400（只）320200=120（只） 400320=80（只）1202=60（只） 802=40（只）10060=40（只） 10040=60（只）答：鸡有40只，兔有60只。例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，这两种纸币各多少张？思路导航：（1）假设200张纸币完全是2元，共值： 2200=400（元）（2）比实际少： 940400=540（元）（3）2元换成5元，每张增加： 52=3（元）（4）5元纸币有： 5403=180（张）（5）2元纸币有： 200180=20（张）答：有180张5元、20张2元纸币。例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？思路导航：假设去掉多的25只鸡，则一共去掉225=50（只）脚，那么17650=126（只）脚是鸡和兔一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有24=6（只）脚，可以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和兔，然后再加上去掉的25只鸡。225=50（只）17650=126（只）24=6（只）1266=21（对）鸡、兔各21只21+25=46（只） 鸡的只数答：鸡有46只，兔有21只。2、 巩固训练1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？2.鸡兔同笼，共有头8