数学史与科学史数学梦想与悖论.ppt

罗素 Bertrand Russell 1872-1970 纯数学是这样一门学科， 在其中我们并不知道我们在谈 论什么，或者我们不知道我们 所谈论者是否是真的。 第 9 讲 真理与定理 Godel Theorem 希尔伯特纲领 梦想的破灭 梦想与悖论 笛卡尔 Ren Descartes 1596-1650 1596年3月31日生于法国的图伦 1619年11月10 日 Ausonius: Quod vitae sectabor iter 在我的一生中，我该走哪条路？ 1650年2月11日在斯德哥尔摩去世 科学中正确运用理性和追求真 理的方法论 1637年6月8日 折光学 气象学 几何学 寻求知识的途径 寻求知识的途径 仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西 把大的困难拆分成小的困难 从简单到复杂的推理 进行检验 笛卡尔之梦 现实问题 数学问题（几何问题 ） 代数问题（解析几何 ） 多项式方程组 一元高次方程 笛卡尔的梦想：将世界数学化 人类的所有问题，都可以通过逻辑计算 ，理性地、系统地加以解决。 数学真理 = 数学定理 莱布尼兹（德国 ） Gottfried Leibniz (1646-1716) 笛卡尔计划的一个具体的实 现方案: 将思维演算化、计算化 ，以至于可以计算机化。 解析几何如同一台庞大的绞肉 机，你把问题塞进去，只要摇动曲 柄，就可以得到答案。 沙勒(法国） Michel Chasles 17931880 为几何大厦添砖加瓦，从此就 用不着天才那样的人物了。 几何方法的起源和发展的历史概述 1900年前后，逻辑悖论的出现 罗素：日常语言和逻辑中可以出现悖论 理发师悖论 村中的理发师只给本村那些不给自己 理发的人理发。 谁给理发师理发？ 庞伽莱（法国） Henri Poincar （1854-1912） 为了防备 狼，羊群已 用篱笆圈了 起来，但却 不知道圈里 有没有狼。 数学的完备性 completeness 一个数学系统是完备的，那么这个系统 中的所有命题都是可以被证明的，每一个 数学真理都对应着一个数学定理。 1930年之前: 两个基本问题 I 每一个明确的数学问题都应该关联一个 明确的判断，或者是给出答案，或者是证 明它不可解。 数学的一致性consistency 1930年之前：两个基本问题 II 一致性（相容性、无矛盾、协调性） 如果说一个数学系统是一致的，不 可能得出00的结果。 不能出现这个系统中的一个命题与 它的否定命题都是对的，即不能出现 悖论。 如果一个系统是不一致的， 则可以按照我们的喜好来证明一 个论断是真的，或者假的，那样 的话，我们的知识就不会建立在 一个可靠的基础之上了。 罗素: 我是教皇 如果我们承认 2+2=5 ， 则有 2=3 或者 2=1 因为教皇和罗素是两个人，且 2=1 于是 1=2 所以，罗素就是教皇。 梦想与悖论 梦想的破灭 希尔伯特纲领 1900年巴黎国际数学家大会 希尔伯特23问题 第二个问题“算术公理的一致性” 数学推理的可靠性：只要按照数学推理的 规则，就不应该得出相互矛盾的陈述。 希尔伯特：一致性是任何类型的公 理化系统的必要条件 为什么希尔伯特要操心这样的事情呢？ 2+2=5 真的可以发生吗？ 三角形的内角和180吗？ 几何原本 1482年 威尼斯 罗巴切夫斯基（俄国） Nikolai Lobachevski （1792-1856） 波约（匈牙利） Janos Bolyai （1802-1860） 存在着完全一致的、关于点和线的数 学系统，他们不同于欧几里得的系统。 三角形的内角和可以大于180 椭圆几何 三角形的内角和可以小于180 双曲几何 三种几何 平面 双曲 (马鞍） 椭圆 （球） 1条平行线 许多平行线 没有平行线 = 180 180 平面宇宙 开放宇宙 封闭宇宙 冷寂 冷寂 大挤压 欧几里得 罗巴切夫斯基 黎曼 希尔伯特 David Hilbert 1862年1月23日 生于哥尼斯堡 1943年2月14日 死于哥廷根 希尔伯特纲领建立的动机 罗素悖论产生的原因：自然陈述中语 义的含糊性 铲除悖论：为全部数学构建一种纯句 法的、实质上“无意义”的框架，在其中 可以谈论数学的真或假。 将每一个数学真理都形式化，从而 永远排除在数学中出现悖论陈述的可 能性。也不会产生不可判定的命题。 形式系统：形式化了的公理系统。 系统中的符号与符号串（公式）完全 不含意义。 形式系统 公式：按照一定的形式规则排列的符号串 公理：一个公式 推理规则：由有限个确定的公式（规则的假设 ）得到某一个确定的公式（规则的结论） 定理：公理； 若规则的假设是定理，其结论也是 形式系统的公式是否定理，可以机械地验证 希尔伯特纲领 第一步，建立形式系统 第二步，考虑数学结构 将数学对象与形式系统中的符号、 公式相匹配，用不含意义的形式语言 来解释含有意义的数学对象。 不使用那些有争议的推论 1920年1930年 希尔伯特、阿克曼、伯奈斯、冯诺伊曼 元数学（或称证明论） 用矛盾去证明存在 超限归纳 实无穷集 非断言性的定义 选择公理 存在性的证明也必须是构造性的 元数学证明的概念与方法是有限性的 希尔伯特（1928年）： 利用这种新的数学基础人们完 全可以称之为证明理论，我将可以 解决世界上所有的基础问题。 所有有意义的论述都将被证明或 证伪，那样就不存在悬而未决的命 题了。 希尔伯特的梦想 构造一个形式系统，它既是完备的， 又是一致的。 在数学结构的真理与形式系统的定理 之间建立一种完美的一一对应的关系。 把整个数学真理全部形式化，以防止 悖论跨越自然语言与数学语言的界限而 侵入纯洁的数学世界。 定理陈述 证明机器 结果：真假 希尔伯特的形式系统 证明机器 希尔伯特 1900年 1928年9月波伦亚国际数学家大会 “数学基础问题”（四个问题） 基本问题：可否证明每一个 真的数学陈述。 梦想与悖论 希尔伯特纲领 梦想的破灭 哥德尔 Kurt Godel (1906-1978) 1906年4月28日出生于捷克的布尔诺Brno 1924年 入维也纳大学，理论物理 1929年获奥地利国籍，完成博士论文 1931年不完备性定理发表 1940年定居普林斯顿 1948年加入美国国籍 1978年1月14日在普林斯顿去世 哥德尔和它的父母及哥哥，约1910年 哥德尔和阿黛勒德结婚照 维也纳 一九三八年9月30日 哥德尔与爱因斯坦，普林斯顿 一九五零年8月 罗素与怀特海：数学原理 John Kemeny：这是一本“被每个哲 学家所讨论，而实际上又无人读过的 名著。” 符号哥德尔数意义 1非 2或 3如果那么 4存在 = 5等于 06零 s 7的直接后继 （8标点符号 ）9标点符号 基本逻辑符号的哥德尔配数（简化本） 逻辑公式 ： 存在着一个数x，它是数y的直接后继 。 x、y：数值变元; 用大于10的素数来表示 。 令 x = 11、y = 13。 x = 11、y = 13 8，4，11，9，8，11，5，7，13，9 符号哥德尔数意义 1非 2或 3如果那么 4存在 =5等于 06零 s7的直接后继 （8标点符号 ）9标点符号 8，4，11，9，8，11，5，7，13，9 莱布尼兹、希尔伯特 用数来表示概念或词句 应用“哥德尔配数法”使语法算术化 数学原理中的每一条陈述，都可以 安排一个唯一的数与之对应。 说谎者悖论（Liars paradox） 避开难以捉摸的真与假的概念 用“可证性”的概念代替“真” 利用哥德尔的编码方案，可以编码上述论断 通过46条推理，得到这条陈述，称为哥德尔句G 这个句子是错的 这个陈述是不可证的 如果哥德尔陈述G是可证的 由于G是真的，根据论断，它不可证 在这个系统中，陈述G和它的否定都成立 这个陈述G是不可证的 所以，这个系统是不一致的 如果哥德尔陈述G是不可证的 这个系统是不完备的 由于陈述G是真的，但是却不可证 这个陈述G是不可证的 哥德尔不完备定理: 对于算术 的任何一致的形式化系统，都存 在着一个命题G，在这个系统中 不可