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整数裂项后延减前伸 差数除以N例谈整数裂项河南省太康县城关镇建南小学（461400） 对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例1、 计算12233445989999100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。12=（123-012）（13）23=（234-123）（13）34=（345-234）（13）45=（456-345）（13）9899=（9899100-979899）（13）99100=（99100101-9899100）（13）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99100101-012）3。解：12+23+34+45+9899+99100 =（99100101-012）3 =333300例2、 计算355779979999101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、997、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。35=（357-135）（23）57=（579-357）（23）79=（7911-579）（23）9799=（9799101-959799）（23）99101=（99101103-9799101）（23）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。 解：35+57+79+9799+99101 =（99101103-135）（23） =10298826 =171647 例3、 计算123234345969798979899分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。 123=（1234-0123）（14） 234=（2345-1234）（14） 345=（3456-2345）（14） 969798=（96979899-95969798）（14） 979899=（979899100-96979899）（14）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（979899100-0123）（14）。解：123+234+345+969798+979899 =（979899100-0123）（14） =23527350例4、 计算101622162228707682768288分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。解：101622+162228+707682+768288 =（76828894-4101622）（64） =2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例5、 计算11+22+33+9999+100100分析：nn=(n-1)n+n解：11+22+33+9999+100100 =1+（12+2）+（23+3）+（9899+99）+（99100+100） =（12+23+9899+99100）+（1+2+3+99+100） =991001013+（1+100）1002 =333300+5050 =338350例6、 计算12+34+56+9798+99100分析：(n-1)n=(n-2)n+n解：12+34+56+78+9798+99100 =2+（24+4）+（46+6）+（68+8）+（9698+98）+（98100+100） =（24+46+68+9698+98100）+（2+4+6+8+98+100） =981001026+（2+100）502 =169150例7、 计算111+222+333+999999+100100100分析：nnn=(n-1)n(n+1)+n解：111+222+333+999999+100100100 =1+（123+2）+（234+3）+（9899100+99）+（99100101+100） =（123+234+9899100+99100101）+（1+2+3+99+100） =991001011024+（1+100）1002 =25492400例8、 计算13+24+35+46+98100+99101解：13+24+35+46+98100+99101 =（13+35+99101）+（24+46+98100） =（99101103-135）6+13+981001026=171650+166600=338250例9、 计算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100） =122+232+342+1001012 =（12+23+34+100101）2 =（1001011023）2 =171700将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂项。式长要转