[理学]分形几何校本课程.doc

校本课程材料包-讲义分形几何与分形艺术欣赏高二年段 袁小林分形几何与分形艺术欣赏欧几里德欧氏几何与分形几何有何区别呢？同学们学习在小学开始接触几何这门学科了，在初中初步学习了平面几何，在高中学习平面解析几何和立体几何。但同学们所学的这些几何都是经典几何学，以规则的几何图形如圆、三角形等为研究对象，属于欧氏几何（欧几里德几何）范畴。除了欧氏几何，还有其它的非欧几何，比如分形几何。观察下面的绘画作品，感受这些作品反映出的不同几何特征。 经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以这些基本形（方、圆、锥、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。分形几何的创始人芒德勃罗为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，芒德勃罗（Mandelbrote）提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。比较经典几何学与分形几何学，它们的差别在于：一它们对自然形体描述不同：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。二它们对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异：经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。经典几何学建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；分形几何学建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。在经典几何学下，艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家是通过运动或过程的方式，表达内心的情感，生成画面。这种画面是生长出来的，不是事先已经有了方案，然后建构出来的。欧几里得几何分形几何经典的（2000多年的历史）现代数学怪物（30多年的历史）基于特征长度与比例无特征长度与比例适合于人工制品实用于大自然现象图形规则图形不规则图形的结构层次有限图形的结构层次无限局部一般不具有整体的信息局部往往具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越复杂图形复杂，其背后的规则经常是简单的用公式描述用（递归或迭代）算法描述认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：我们正在学习什么？或者说：什么是分形？什么是分形？让我们来看下面的一个例子。举一个最常见的例子：西兰花瓣下西兰花的一小枝，你会发现这一小枝西兰花与原来的大枝除了大小上，形状上十分相似。再在这一小枝上瓣小更小的一枝西兰花，所得到的这一更小西兰花与原来的在形状上依然十分相似。又比如：下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。如右上图所示的图形，你会发现小圆内部结构与大圆内部结构是自相似的，换句话说，小圆内部不断重复着大圆内部的结构。以上图形的呈现一个共同特点就是物体的部分与整体相似，清楚了这一点，就可以形成对分形概念的感性认识。分形就是那些有趣的东西，它的每一个小小的组成部分，都和整体一样，只是进行了一定的缩小。分形最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已分形艺术的现实应用即使你不懂得其中深奥的数学哲理，分形图片所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，也会为之感动。分形搭起了科学与艺术的桥梁。分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，分形搭起了科学与艺术的桥梁。分形理论与数字图像处理技术结合起来，使生成的分形图形可人工干预，以产生协调自然，丰富多彩，并具有较高艺术性的图案。无疑，这些分形图形将对绘画、雕塑、建筑设计、印染工业、装演和广告设计等产生深远的影响。随着分形理论的进一步发展与完善，用分形理论产生出的分形图形其应用的前景也会得到广泛地推广。1.分形模拟自然景象图片1 分形山上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。图片2 花 图片3 分形风景2.分形的动画（电影）应用由于分形能够用递推函数加以描述，所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比，可达1：1000，在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影星际旅行：可汗的愤怒中新行星的诞生以及吉地的返回中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。分形山3.装演设计在房屋装演设计中，特别是在艺术家的工作室内，如果用上分形图形来进行装修，那么整个房子就更加显示出艺术的色彩。图2.1就是用分形图形制作的壁画。 1999年9月，中国邮电电信总局发行了一套四枚的分形几何中国电信IC电话卡，图2.2是这套IC卡的电话卡折。这套卡正面，第一张是著名的sierpinski三角形，第二、三、四张选用几种自然界的分形图形:瀑布和沙漠、松枝和海洋生物、海岸和山脉，它们既属于分形几何范畴，又是色彩缤纷、婀娜多姿的自然.景观，卡的背面选用四幅“分形艺术”作品，从艺术和科学两个视角同时欣赏更加耐人寻味，极具收藏价值 分形几何图2.2分形几何中国电信IC电话卡和GOOLE的分形图标为了纪念法国数学家GstonJulia，以搜索引擎而闻名世界的网站gogoel把它的图标曾经改成图2.1中右面的图样，图标上面的数学公式就是数论中有名的Julia序列。4服装设计、明信片、在纺织行业，己经有印有分形图案的丝巾、布料成品乃至成衣制品。分形图形在印刷行业有更广阔的用途。立体印刷是印刷技术中的一种。当从不同角度去观察图形时就会出现图形变化的动画效果，图2.3是用立体印刷把分形图形印制在名信片上和笔筒外表面上的成品照片。而图2.4是普通印刷技术制成的分形名片和分形书签。图2.3名信片和笔筒分形 图2.4名片面和书签服装设计 此外，在陶瓷制品、书籍封面设计和礼品包装上，也出现了富于表现的分形图案。在利用分形方法创造出与众不同的景观方面已完成了一些开拓性的工作，电影中出现了分形风景，分形动画也在游戏、宣传广告和电视片头中有了更为广泛的应用。(2)将分形图形用于信息加密防伪。(3)其它领域的应用刘华杰博士认为分形图像有如下用途： 1、将高精度分形图形具体应用在建筑设计中，可以考虑将整面墙壁用一幅分形图装饰。 2、研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。 3、设计分形时装。 4、将分形图形用于信息加密防伪。 5、印制分形贺卡、明信片和小台历分形在科学哲学打开了一个完全崭新几何学大门，应用广泛，这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。它的是如此，它的特性是如此迷人。由计算机模拟制作的山峰，也已被IBM公司应用于广告宣传中。分形的视觉效果更使分形装饰布和分形壁纸必将成为人们日后的新宠。分形明信片和分形广告已推出了十多年，分形日历也早已问世。意义.分形几何学能为自然界中存在的各种景物提供逼真的描述。这些景物形态复杂、不规则，而且显得十分的粗糙，使得采用传统的几何工具进行描述遇到了极大的困难，而分形模型却能很好地描述自然景物，因为自然界中的许多实际景物本身大体上就是分形，或者反过来说，按照分形几何方法构造的形体非常像许多自然景物。分形几何在近十几年来得到很大发展，它最重要、最直接的应用领域是计算机科学，它为自然景物的模拟提供了理论基础及造型方法。目前，分形是非线性科学中的一个前沿课题。一般地可把分形看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称，由于在许多学科中的迅速发展，分形成为一门描述自然界中许多不规则事物及现象的规律性的学科。因此人们意识到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解自然界和社会。分形图形生成技术在各个领域得到了广泛的应用，也推动了分形理论的发展，随着对逼真程度和审美要求的不断提高，从简单的Mandelbrot集和Julia集，到科幻电影上的分形风景，以及近年来印有分形纺织纹样的分形时装，无不昭示着分形图形正慢慢从科学家们的思想中走进我们身边的真实世界。一些用户己经不再满足观看各种分形图片和分形产品，而是希望自己能够参与设计分形图形。因此，能用尽可能通俗易懂的方式，如何在一个实时、交互的信息交流界面，使不太了解复杂科学理论的用户可以通过简单操作计算机，修改少量参数生成分形图形，同时完成一定的颜色调整、图形的比较及存储等相关功能，生成有一定艺术价值的分形图形，已成为当前一个被众多的计算机、数学及至艺术工作者所关注的新课题，我们的课题就是在这样的背景下提出来的。分形是无标度意义下，具有无穷细节的自相似的形，体现了自然界的无序和变幻无穷的美。而利用分形理论来生成的计算机图形，是用一般的平面图形设计软件很难生成的具有自相似的图形，且一般的平面图形设计的软件生成的图形都是按照经典的欧氏几何来进行图形的算法的建立，这样就很难逼真、形象地描述自然界的美构造出绚丽多彩的分形图形。随着计算机在图像处理方面的技术的成熟，用计算机生成分形图形，使人们能获得外观新颖奇特、内容丰富多彩的平面图形。人们对这一领域表现出了极大的关注，这是一种全新的图形设计的构思来源和方法，具有广阔的应用前景。第二章 分形几何与分形艺术1分形几何普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。1.1定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）满足下式条件 Dim(A)dim(A) 的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 有著简单的递归定义。（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。1.2分形几何学的基本思想 分形几何学的基本思想是客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。1.3 分形几何学的特征 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 图 1 Mandelbrot集合图 2 Mandelbrot集合局部放大 图 3 Mandelbrot集合局部放大2 分形艺术2.1概念：分形艺术的英文表述：fractal art，不规则几何元素Fractal，是由IBM研究室的数学家曼德布洛特（Benoit.Mandelbrot，1924-2010）提出。其维度并非整数的几何图形，而是在越来越细微的尺度上不断自我重复，是一项研究不规则性的科学。分形艺术图片 2.1特点“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工 第3章 经典分形与Mandelbrot集3.1 Cantot集生成过程3.2 分形树 图1 图2 图3 3.3 勾股树3.4 Sierpinski三角形（谢尔宾斯基垫）3.5Koch曲线它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如图1.5(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。将一根线段三等份，并将中间段用以该段为边的等边三角形的另外两边替代。 科赫（Koch）曲线迭代分形图形的计算机实现分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。1. 用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。2. 表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】1. 在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。2. 新建参数n33. 顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,。4. 添加新的映射, 。第 3 步第 4 步5. 继续添加映射。6. 改变参数n可观察图形变化。第 5 步第 6 步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】1. 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。2. 以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；3. 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。第 2 步第 3 步4. 新建参数n4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。【步骤】1. 在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。2. 填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3. 新建参数n4，选择A、B和n，作深度迭代，。第2 步第 3 步4. 选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在的中点时，整个树显出对称美。【分形树】【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。【过程】1. 在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。 2. 度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量的大小。3. 双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。4. 双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。第 3 步第4 步5. 新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。6. 移动C点的位置，改变树枝的形状。【KOCH 曲线】瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。【步骤】1. 画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。2. 隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。3. 新建参数n3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示）4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。5. 改变参数n，观察图形变化。【KOCH雪花】因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然 连续，但处处不可微，即没有切线。【步骤】1. 在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。2. 以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。【数学之美】【步骤】1. 任取两点A、B，并作正方形ABCD。2. 在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。3. 双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果AE/AB为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。4. 新建参数n5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代， 。如下图所示：5. 选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。【H迭代】【步骤】1. 在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。2. 以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。3. 同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。（如下图所示）4. 隐藏不必要的点，新建参数n4。顺次选择A、B两点、参数n，作深度迭代，. 5. 单击迭代，隐藏各点的标签。【蜂巢】蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。【步骤】1. 屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，A点逆时针旋转120度得到点D。2. 新建参数n5。选择A、B和参数n，作深度迭代，。3. 单击迭代，得到蜂巢的图像。上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域，提供了一般的科学方法和思考方式。就目前所知，它有很高程度的应用普遍性。这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构。此处结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维数(几何维数)小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至可能是意识点、思维点的分布。 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域分形的应用领域n 图像，数据压缩方面的研究。 如：对某一个静态场景的分形压缩。n 自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶n 分形生长模型对我们来说，由许多非常有趣的分形值得我们去学习。这里所列举的只是其中的一小部分，还有很多其它类型的分形可以产生山、3D树以及分形音乐。这些类型分形我们将在以后的分形应用里专门谈论。现在，我们首先从迭代函数系统开始明天的内容。按照科学家的话来说，这种特性叫做“自相似”，正是因为这个特性，分形才非常有用，因为大自然中许多东西都具有这种特性。不信，你仔细观察一下身边的景物，特别是那些植物你可以用迭代函数系统来创作形态各异的分形作品。讲授普通高级中学分形几何初步实验教科书的内容：1、分形“病态”的“数学怪物” 计1课时2、英国的海岸线有多长研究性课题：科赫雪花曲线的周长与面积 计1课时3、特征长度与分形的自相似性4、分数维及其计算 5、什么是分形 计2课时阅读材料：曼德尔布罗特生平简介（学生自行阅读）研究性课题：字符串替换法作科赫雪花曲线 计1课时6、分形几何学的意义与前景、总复习。 计1课时我们可以看到右边那一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。换句话说，右边较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇。因此我们可以说西兰花簇是一个分形的实例。海岸线雪花雪花雪花雪花分形几何与欧几里得几何有什么不同？分形是一种粗糙的或破碎的几何图形，它的组成部分可以被无限细分，而且它的局部的形状一般与整体相似。分形一般是自相似的和标度不变的。曼德勃罗在解释“分形”一词时说：“我由拉丁语形容词fractus创造了词“分形”（fractal）。相应的拉丁语动词fragere意味着打破和产生不规则的碎块。从而可见（对我们的需要是何等地合适！），除了破碎的（如像碎片或曲折），fractus也应当具不规则的含义，这两个含义都被保存在碎片（fragment）中”（大自然的分形几何，p4）。有许多数学结构是分形，例如：谢尔宾斯基三角形、科切雪花、皮亚诺曲线、曼德勃罗集、洛仑兹吸引子等。分形同样可以描述许多真实世界的对象，如云彩、山脉、湍流和海岸线等，当然它们不是单纯的分形形状。曼德勃罗曾给出了一个分形的数学定义：一个几何对象，它的豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数。这不仅有些抽象，而且也不是一个令人满意的定义，因为还有好多分形，没有被该定义涵盖。后来曼德勃罗又给出了一个比较通俗的定义：部分与整体以某种形式相似的形。该定义仍然不能表达分形的全部意思，但会使很多初学者开始理解分形了，虽然还不能全部理解。那么究竟什么是分形呢？应该说，到目前还没有严格的定义。现在一般用法尔科内（分形集几何学）对分形集合F的描述来判某一对象是否是分形：（1）F具有精细的结构。即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节；（2）F是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；（3）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的；（4）F在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数；（5）在多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生。(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。欧几里德几何学与分形几何学2 分形几何与欧氏几何的比较描述对象特征长度表达方式维数欧氏几何学人类创造的简单的标准物体有用数学公式0或正整数（1或2或3）分形几何学大自然创造的复杂的真实物体无用迭代语言一般是分数（也可以是整数4.分形在哲学上的意义复杂与简单的统一：分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面. 分形在认知哲学上的意义分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。 超级观察者是传统哲学和经典物理学的一个基本前提，即假定有一位理想的观察者能够不受观察对象的任何影响，经过精密观察和严密思考能够对观察对象的属性给出绝对正确的界定。从笛卡尔以来，这个超级观察者基本上已被等同于人类理性，而当理性难以说明问题的时候，哲学家和科学家都不约而同地抬出上帝的观念来搪塞。比如牛顿为了解决第一推动力的问题，不得不回到神学。爱因斯坦反对量子力学的重要理由就是“上帝不掷骰子。”然而，这种超级观察者神话在现代物理学那里，已经遭到了决定性的打击。艺术中的几何和几何艺术多少世纪以来,数学总是影响着艺术和艺术家.如投影几何、黄金分割、比例、视觉幻影、对称、图案和花样等,它们不仅影响着艺术家的设计思路,而且影响着各种艺术流派,如原始的、古典的、文艺复兴时期的、近代的、流行的或艺术装饰的等.一位油画家要在一张画布上画出一幅立体的场景,他必须确定从不同的距离和位置观察时,物体会产生怎样的改变.这便是文艺复兴时期艺术活动的主要部分和投影几何发展的领域.投影几何涉及图形及其投影的空间关系和性质等,因此它包含了透视法的问题.艺术家为了创作他们的现实主义的立体油画,文艺复兴时期的艺术家们利用了新建立的投影几何概念投影点、消失点等.艺术家推断,假如人们透过窗户去观察一个景观,并且眼睛保持在一个焦点上,这时视点集中,外面的景观似乎是投影到窗户上而被看到,这样窗户便可能充当画布那样的幕.各种各样的图案赋予了艺术家创造的灵感,他们把这种现实从窗户转移到画布上来.艺术与投影几何多少世纪以来,数学总是影响着艺术和艺术家.如投影几何、黄金分割、比例、视觉幻影、对称、图案和花样等,它们不仅影响着艺术家的设计思路,而且影响着各种艺术流派,如原始的、古典的、文艺复兴时期的、近Fractal指的是不规则的几何元素，而Fractal art则是指横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响的分形艺术。分形艺术源自数学与艺术审美的统一，为科学和艺术搭起了一座桥梁。与普通的PS不同，分形艺术的创作使用的是数学手段，作者需要有很深的数学功底，同时在颜色和造型方面也有基本的积累。其实，上述概念描述的仍很抽象，但通过以下40余幅作品足可以让你的感官记住什么是“分形艺术”，一起来欣赏。1、分形图案 分形图是一种较为流行的艺术图形。所谓分形，就是指组成部分与整体以某种方式相似，局部放大后可以在某种程度上再现整体，如图25所示，为一颗树