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第2章 2-1 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 既容易计算又是较好的近似值 二、微分的定义 1、定义 2、可微与连续的关系 证 定理 函数f(x)在点x可微则f(x)在点x连续 三、导数定义 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 2. 曲线的切线斜率 曲线在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 导数的定义 定义 . 设函数在点 存在,并称此极限为 记作: 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点处可导, 在点的导数. 关于导数的说明： 如果 存在， 处导数为无穷大 在处不可导则称 可导与不可导 如果 不存在， 在处可导则称 如果则称在 某点的导数与导函数. 开区间(a,b)内每一个确定的值x0都对应着 一个确定的f(x0),它们构成了一个新的函数， 就是导函数，简称导数。 函数的导数，是对某一区间内任意点而言 的，也就是导函数。求函数在一点处的导数， 一般是先求f(x),再求 f(x0)=f(x)|x=x 例 求函数f(x)=|sinx|在x=0处的导数 导数与单侧导数的关系 解 因为f -(0) f +(0) 所以函数f(x)=|sinx|在x=0处不可导 单侧导数 四、可微和可导的关系 定理 函数y=f(x)在点x0可微 证 (1) 必要性 (2) 充分性 五、利用定义求导数和微分方法 ： 步骤: 例1 解 例2 解 例3 解 更一般地 例如, 例4 解 例5 解 原式 是否可按下述方法作: 例6. 证明函数 在 x = 0 不可导. 证: 不存在 , 例7. 设存在, 求极限 解: 原式 例8 在x=0处可导,求常数a,b,c=? 解：在x=0处连续,故 所以，a=0,c=1,因 例9. 设, 问 a 取何值时,在 都存在 , 并求出 解: 故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 抽象函数的导数 （1）已知f(x)在x0处可导，求下列极限。 (2)设f(x)偶函数，且f (0)存在，证明f (0)=0 证明：因f (0)= (4). 设f(x)=(xa)(x) ,其中(x) 在x=a处连续, 求f (a). 解: 因为 (5). 设存在, 且 求 所以 (6)设 f(x)在点x=a处可导，求. 解： (7) 解 例. 设函数 f
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