《初等积分法》PPT课件.ppt

1. 变量分离的方程 9-2 初等积分法 例如 等都是变量分离的方程. 则不是变量分离的方程. 而方程 Date1 分离变量方程的解法分离变量方程的解法: : 设y=y(x)(axb)是方程（9.5）的解，则有 若 则上式可化为 再若已知 则由 一阶微分方程形式不变性，上式可写成 Date2 于是有 其中C 为任意常数. 即微分方程（9.5）的使 的解y(x)必满足（9.6）. 反过来，若由函数方程 能确定出隐函数y(x)(其中G(y)与F(x)分别是 的原函数）， 则y(x)就是微分方程(9.5)的解.因此当 时,只需求隐函数方程 的解. Date3 解法解法: : 将方程(9.5)分离变量,得 变量x,y已分离在方程两端， 然后两端积分，得 则 (隐式解)(显式解) 通解. 程的一个解, 此解可能不包含在通解中, 此时称之为奇解 显然y(x)= 也是方 Date4 例 1 求解微分方程 解 然后两端积分得 当当 时分离变量，得时分离变量，得 为任意常数,即 当 时， .故若令 则（9.7）式可写成 又 显然也是方程的一个解，这个解也可表成 Date5 其中C是任意常数. 因而将此解与（9.8）式表示的解 合并，得所求方程的通解为 例 1 求 的全部解，并作积分曲线的图形. 解 当 时，分离变量得 两端积分得 Date6 故通解为 C为任意常数. 又y=0时 ，故 也是其一 个解.这个解不包含在通解中. Date7 2. 可化为变量分离方程的几类方程 (1) 形如 该方程是关于新未知函数z的变量分离方程. 例 4 求 的全部解. 解令z=x+y+1,则 当 即 Date8 分离变量并积分锝 即 其中C是任意常数. 又可看出也是 方程的解. 故方程还有特解 Date9 (2) 形如 其中右端的函数f(x,y) 是齐次函数 .的方程, 齐次方程 f(x,y)是齐次函数是指对于任意的 若f(x,y)可以写成 的函数 则它一定是齐次函数. 例如 是齐次方程. 因为 Date10 齐次方程 的解法： 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用代替 u, 便得原方程的通解. 分离变量: Date11 例 5 求解方程 解首先将方程写作 令 代入原方程得 分离变量 : Date12 两端积分得 即原方程通解为 (C 为任意常数) 例 5 求解方程 解将方程写作 令方程可化为 Date13 即 积分得 即 又 也是方程(9.14)的解. 原方程的解为 及 Date14 (3) 形如 的方程. 当 时，方程(9.15)的右端为x,y的齐次函数. 当 中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论. 有唯一解.记此解为 .即 满足 于是 Date15 则方程(9.5)化为 这是关于u,v的齐次方程. 变量分离的方程 Date16 变量分离的方程 形如 例 5 求解方程 解 这里分子分母中的x,y项的系数成比例.令 则 分离变量并积分得 Date17 由此可求出通积分 再用x,y表示z，得原方程的通积分 其中C 为任意常数. 3. 一阶线性微分方程 如方程 等都是线性方程. 而 等都是非线性方程. Date18 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; Date19 对应齐次方程通解 齐次方程通解非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date20 例 8 解方程 解 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 Date21 例9 求解伯努利方程 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解 (线性方程) Date22 补例 3 求方程 的通解. 即 通解为 解 以 除方程的两端，得 Date23 补 例 解方程 解 把所给方程变形为 Date24 4. 全微分方程与积分因子 则称 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程 则 求解步骤: 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . Date25 例 10 求解微分方程 解因为 因而 故其通积分为 C为任意常数. 例 11 求解微分方程 解因为 Date26 且它们在全平面上连续，所以方程为全微分方程.求原 函数u(x,y).由 . 对x积分得 其中 为待定的可微函数.上式对y求偏导数得 另一方面， 代入（9.28）式得 Date27 故原方程通解为 C为任意常数. Date28 补例 求解 解 因为故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （3） Date29 (2) 积分因子： 命题 满足 或 则 定义 若方程M(x, y)dx+N(x, y)dy=0不是全微分方程,但 存在 一个函数 使方程 m(x, y)M(x, y)dx+m(x, y)N(x,y)dy=0 是全微分方程，则函数m(x, y) 叫做此方程的积分因子 若方程 中的函数 是该微分方程的一个积分因子 Date30 例 12 求解微分方程 解 因而不是 全微分方程，但所以 得全微分方程 通积分为 C为任意常数. Date31 比较简单的情形下可用观察法求积分因子. 例如，方程 y d x - x d y = 0 不是全微分方程， 但 由于 可知 是一个积分因子. 易知 1 / x y , 都是积分因子.乘上其中任何一个并积分， 便能得到所求方程的通解： 又例如，方程 （1 + x y) y d x + ( 1 - x y ) x d y = 0 也不是全微分方程，但将它的各项重新合并，得 y d x + x d y ) + x y ( y d x - x d y ) = 0 , Date32 积分得通解为 即 容易看出 为积分因子，乘上它，方程变为 Date33 常见的全微分表达式 可选用积分因子 Date34 解法： 5. 可降阶的二阶微分方程 (1) 不显含未知函数y的方程 令 ， 则方程化为关于新未 知 函数 的一阶方程 若求出该方程的通积分为 再求解一阶微分方程 即可. 例 14 求解方程 解 方程不显含未知函数y,令 ， 则方程 降为一阶方程 Date35 分离变量并积分得 通积分为 亦即 对上式两端积分得原函数的通解为 其中 为任意常数. Date36 (2) 不显含自变量x的方程 解法： 令 ，并将y看作自变量，则 则方程降为一阶方程 设其通积分为 即得 再解此一阶微分方程即可. Date37 例