《几何应用,习题》PPT课件.ppt

例例5 5 已知已知 为为 的两个不同解的两个不同解, , 为为AX = 0的基础解系的基础解系,k1,k2是两个是两个 任意常数任意常数, ,则则 的通解为的通解为: 1 5.35.3 方程组的几何应用方程组的几何应用 2 矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨 论几何空间中的平面、直线的位置关系论几何空间中的平面、直线的位置关系. . r(A)r(A b)时时, ,两平面两平面平行平行但不重合但不重合 r(A)=r(A b)=1时时, ,两平面两平面重合重合 r(A)=r(A b)=2时时, ,两平面两平面相交相交于一条直线于一条直线 1. 1. 两个平面的位置关系两个平面的位置关系 不全为0 3 此时方程组有无穷多解此时方程组有无穷多解, ,有一个自由未知量有一个自由未知量, , 可求出可求出通解为：通解为： 即即 t为任为任 意常数意常数. . 为直线的参数方程为直线的参数方程. . 注注 特解代表交线上的一个点特解代表交线上的一个点, ,导出组的导出组的 基础解系代表交线的方向向量基础解系代表交线的方向向量. . 4 2. 2. 三个平面的位置关系三个平面的位置关系 三平面重合,方程组 有无穷多解. 三平面交于一条直线, 方程组有无穷多解. 不全为0 5 三平面交于一点, 方程组有唯一解. 三平面平行, 方程组无解. 6 三个法向量共面, 方程组无解. 三个法向量中任意 两个不成比例. 三个法向量中有两 个无关,两个成比例. 交成2或3条平行直线 7 M1M2 , M1M3 , M1M4共面向量 = 0M1M2 , M1M3 , M1M4 3.3.空间四点空间四点M i i (xi, yi , zi ) (i=1,2,3,4)共面共面 8 4 4 . .平面三点平面三点Mi(xi , yi) (i=1,2,3) 共线共线 M1M2 , M1M3 向量共线 9 例例1 1 设三直线交于一点设三直线交于一点, ,即方程组即方程组 设设 证明平面上的三条直线证明平面上的三条直线 交于一点的交于一点的线性无关线性无关, ,而而 线性相关线性相关. . 有唯一解有唯一解 证证 即即 10 是方程组是方程组 线性无关线性无关, ,而而线性相关线性相关. . 线性无关线性无关, ,而而线性相关线性相关. .若 若 则则可由可由线性表示线性表示, ,且表法唯一且表法唯一. .设设 即即 的唯一解的唯一解, ,即三直线交于一点即三直线交于一点. . 11 线性代数与解析几何线性代数与解析几何 第二十讲第二十讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 第五章第五章 线性方程组线性方程组 习习 题题 课课 12 几何应用 线 性 方 程 组 三种形式 有解判定 有解判定 齐次 非齐次 求解方法 求解方法 解的性质解的结构 平面位置关系的判定 解的性质解的结构 13 例例1 1 已知已知 (1) a,b为何值时为何值时,不能不能表为表为 的线性组合的线性组合. (2) a,b为何值时为何值时,可唯一表可唯一表为为 的线性组合的线性组合. 14 解解 (1) 不能不能表为表为的线性组合的线性组合 (2) 可唯一表可唯一表为为的线性组合的线性组合 无解无解. 有唯一解有唯一解. 15 当当时 时, , 这时这时不能不能表为表为的线性组合的线性组合. . 当当任意时 任意时, , 可唯一表可唯一表为为的线性组合 的线性组合. .这时 行 16 已知线性方程组A44X=0有基础解系 则该方程的一个特解是 例例2 2 解解 设设 17 行行 解系线性表示解系线性表示, ,所以不是解所以不是解. . 应选应选( (B)B). . 故故 可由可由 线性表示线性表示, , 所以所以 是该是该 方程组的一个解方程组的一个解, , 不能由基础不能由基础 18 例例3 3 时仅有零解时仅有零解. . 时必有非零解时必有非零解. . 时必有非零解时必有非零解. 时仅有零解时仅有零解. 解解只有零解只有零解 有非零解有非零解 这时这时 即可即可. 故应选(D). 设设则则方程组方程组 19 设矩阵设矩阵Ann且且A0, , 记记A的前的前n1 列形成的矩阵为列形成的矩阵为A1, A的第的第n列为列为b. . 问问: : 线性方程组线性方程组A1X=b是否有解是否有解？为什么为什么？ 解解1:1: 无解无解, , 因为因为r(A1)=n1 r(A1,b)=r(A)=n 系数矩阵与增广矩阵的秩不等系数矩阵与增广矩阵的秩不等. . 解解2 2：因为因为A可逆可逆, , A的的n个列向量组线性个列向量组线性 无关无关, , 所以所以b不能由前不能由前n-1个向量线性个向量线性 表示表示, ,即原方程组即原方程组A1X=b无解无解. . 例例4 4 20 已知向量组已知向量组1, 2, 3是齐次线性方程是齐次线性方程 组组AX=0的基础解系的基础解系, , 则下列向量组中也可则下列向量组中也可 以作为以作为AX=0的基础解系的是的基础解系的是( ).( ). (A)(A) 1+2, 2+3, 3-1 (B) 1-2, 2-3, 3-1 ( (C) C) 1, 1-2, 1+2 (D) (D) 1, 1+2, 1+3 解解 利用前面学习的结论利用前面学习的结论, , 把这些向量组把这些向量组 用用1, 2, 3表示出来表示出来, , 观察相应的矩阵观察相应的矩阵. . 例例5 5 21 例例6 6 已知已知是是的基础 解系,则 的基础解系还可以表示成 (A) 的一个等价向量组. (B) 的一个等秩向量组 . (C) (P是可逆阵). (D) 的基础解系(P是可逆阵). 解解 (A) 错. 个数可能n . (B) 错.可能不是解. (C) 错.可能不是解. 22 (D) 对. 的基础解系含有n-r r个 解向量, 又又 是 的的n-r 个线性无关的解向量个线性无关的解向量, , 即为基础解系即为基础解系. . 23 例例7 7 已知已知 是是线性方程组线性方程组 的非零解的非零解向量向量, , 试试判断判断 的线性相关性的线性相关性 . . 解解 线性无关线性无关( (不共面不共面). ). 线性无关线性无关 ， 24 例例8 8 设设 是线性方程组是线性方程组 的基础解系的基础解系 求线性方程组求线性方程组 的基础解系的基础解系. . 解解 即 是的基础解系的基础解系. . 又又线性无关线性无关 25 设设是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AX=b0的解的解, , 1,2,n-r 是导出组是导出组AX=0的基础解系的基础解系, , 证明证明: : ( (1) 1) , 1,2,n-r 线性无关线性无关; ; (2) (2) +1, +2, +n-r, 是是AX=b 的的 n-r +1个线性无关的解向量线性无关的解向量. . 例例9 9 左乘A得 故故 , 1,2,n-r 线性无关线性无关. . 线性无关线性无关 证证 (1)(1) 26 (2) 再证它们线性无关. 是是 的解, 由(1)知线性无关线性无关, , 故故 +1, +2, +n-r, 是是 若有 AX=b 的的 n-r +1个线性无关的解向量个线性无关的解向量. . 27 例例1010 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组AX=b(b0), 是是它的它的 个个线性无关的解向量线性无关的解向量, ,证明它的证明它的 任任一个解向量都可以表示为一个解向量都可以表示为 其中其中 证证 AX=0的的基础解系含基础解系含n-r个线性无关的 个线性无关的 解向量解向量, ,而由解的性质知而由解的性质知 是是 AX=0 的解的解, ,下证他们线性无关下证他们线性无关. . 28 线性无关线性无关, ,是是 AX=0 的基础解系的基础解系, ,所以所以 AX=b的的通解为通解为 ： 线性无关线性无关, , 29 为任意常数且为任意常数且 ki 30 因为因为, , 如果如果AX=0, , 则则AT (AX)=0, , 所以所以 ( (I) I)的解都是的解都是( (II)II)的解的解. . 设设A为为mn阶阶实矩阵实矩阵, , 则方程组则方程组 ( (I):I):AX=0, (II):, (II):ATAX=0为同解方程组为同解方程组. . 例例1111 所以所以( (II)II)的解也是的解也是( (I) I)的解的解. . 又又AXRmAX0. . 故故 ( (I) I) 与与( (II)II)同解同解. . 证证 反之反之, , 若若X Rn 是是ATAX=0的任一解的任一解, , 则有则有 XT(ATAX) =0 即即 (AX) TAX = |AX|2 = 0 31 本题可进一步得出本题可进一步得出 r(A)=r(ATA) 因为因为AX=0与与ATAX=0同解，故基础同解，故基础 解系相同解系相同. .则基础解系所含无关的解向量则基础解系所含无关的解向量 的个数相同的个数相同, , 即即n-r(A)=n-r(ATA). 所以所以 r(A)=r(ATA). . 若若A为为mn 阶阶实矩阵实矩阵, ,则则 32 预预 习习 6.1 6.1 33 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 第二十三讲第二十三讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 6.16.1 特征值与特征特征值与特征向量向量 第六章第六章 特征值、特征向量特征值、特征向量 及相似矩阵及相似矩阵 34 . . l l特征值与特征向量的概念；特征值与特征向量的概念； l l特征值与特征向量求法；特征值与特征向量求法； l l特征值与特征向量的性质；特征值与特征向量的性质； l l实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的特征值与特征向量. . 本节的主要内容本节的主要内容 35 在工程技术中有许多与振动和稳定性在工程技术中有许多与振动和稳定性 有关的问题（如：机械、电子、土木、化有关的问题（如：机械、电子、土木、化 工、生态学、核物理、弹性力学、气体力工、生态学、核物理、弹性力学、气体力 学学), ), 在数学中在数学中, , 解微分方程组及简化矩阵解微分方程组及简化矩阵 的计算等的计算等, , 都会遇到这样的都会遇到这样的问题问题： 1. 1. 对于给定的对于给定的3阶方阵阶方阵A, , 是否存在是否存在非零列非零列 向量向量X, ,使向量使向量AX与与X平行平行？ 2. 2. 如果存在这样的如果存在这样的X, , 则该如何求这个则该如何求这个X ？ AX=X 问题的提出：问题的提出： 36 设设则对于则对于有有 而对于而对于 可见有些向量可见有些向量X, , 有有AX与与X平行平行这个性这个性 质质, ,而其它向量则没有这个性质而其它向量则没有这个性质. . 有这样性有这样性 质的向量称为特征向量质的向量称为特征向量. . 例例1 1 37 1. 1.定义定义 设设A是是n阶方阵阶方阵, ,若存在数若存在数 及及非零非零列列 向量X, 使得 则称则称 是是A的的特征值特征值, , X是是A的属于的属于 特征值特征值 的的特征向量特征向量. . 6.1.1 6.1.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 1. 1.若若X= =0,则A0=0,()成立成立. . 2. 2.几何意义几何意义: :向量向量AX= = 注注 AX= X, 38 l l求方阵求方阵A的特征值的特征值: : 称称 即即 为矩阵为矩阵A的的特征多项式特征多项式, 征值的征值的问题就问题就转化为求转化为求特征方程根特征方程根的问题的问题. . AX= X(X 0) 有非零解有非零解 为矩阵为矩阵A的的特征方程特征方程,求矩阵特求矩阵特 2. 2. 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 39 l l求方阵求方阵A的特征向量的特征向量: : 求求所对应的特征向量问题就转化为所对应的特征向量问题就转化为 求齐次线性方程组的求齐次线性方程组的非零解非零解问题问题. . 由齐次线性方程组解的性质知特征向由齐次线性方程组解的性质知特征向 量有以下量有以下2 2条条性质性质: : (1)(1)X是属于是属于 的特征向量,则 (2)(2) 是属于是属于 的特征向量,则 的非零解的非零解 40 对对A的特征值的特征值 , ,称方程组 的解空间